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上极限和下极限的运算

## 13.1.4 上极限和下极限的运算
与极限运算满足的四则运算法则不同，上极限和下极限的运算法则要复杂一些．这里只以例题的形式讲一个加法规则．

例题 13.3 证明：
（1）在下式右边不是不定式时成立不等式：

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n
$$

（2）在 $\left\{x_n\right\}$ 收玫时则成立等式：

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n
$$

证（1）的证明可以用上极限表达式（13．1）如下推导得到：

$$
\begin{aligned}
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) & =\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{x_k+y_k\right\} \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{k \geqslant n}\left\{x_k\right\}+\sup _{k \geqslant n}\left\{y_k\right\}\right) \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{x_k\right\}+\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{y_k\right\}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n .
\end{aligned}
$$

这里在最后一式中的两个上极限均为有限数时成立．
对于其中出现无穷大的情况，不如直接讨论．由对称性可知只要讨论 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n$为无穷大的情况。

设 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$ ，但 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n$ 不是 $-\infty$ ，则右边是 $+\infty$ ，因此无论左边如何不等式总是成立的。

设 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ，但 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n$ 不是 $+\infty$ ．这时从定理13．1知道 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ，而数列 $\left\{y_n^n\right\}$ 有上界．这时 $\left\{x_n+y_n\right\}$ 也是负无穷大量，因此不等式两边相等．
（2）从上述（1）中的不等式就有

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n .
$$

然后有

$$
\begin{aligned}
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n & =\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left[x_n+y_n+\left(-x_n\right)\right] \\
& \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)+\overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}\left(-x_n\right) \\
& =\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)-\lim _{n \rightarrow \infty} x_n,
\end{aligned}
$$

将右边最后一项移到左边并与前面的不等式合并即可．
注 也可以用上极限和下极限的定义或定理 13.2 来证明有关上极限和下极限的各种性质，下面就是对例题 13.3 中的（1）的不同证法．

直接从上极限定义证明例题 13.3 之（1）只讨论右边两项均为有限数的情况．由于两个数列这时都有上界，因此左边也是有限数．
这时存在子列 $\left\{x_{n_k}+y_{n_k}\right\}$ ，使得

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left(x_{n_k}+y_{n_k}\right)=\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)
$$

从 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 中取子列 $\left\{x_{n_{k_j}}\right\}$ ，使得 $\lim _{j \rightarrow \infty} x_{n_{k_j}}$ 有意义．这时 $\lim _{j \rightarrow \infty} y_{n_{k_j}}$ 也有意义．为简明起见，不妨设 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}$ 和 $\lim _{k \rightarrow \infty} y_{n_k}$ 已经有意义。于是得到

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}+\lim _{k \rightarrow \infty} y_{n_k} \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n
$$

用定理 13.2 证明例题 13.3 之（1）也只对于右边两项均有限的情况作出证明．从上极限的性质知道 $\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n \geqslant N$ ：

$$
x_n<\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\frac{\varepsilon}{2}, \quad y_n<\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n+\frac{\varepsilon}{2}
$$

于是当 $\forall n \geqslant N$ 时也有

$$
x_n+y_n<\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n+\varepsilon
$$

这表明

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n+\varepsilon
$$

由于这对每一个 $\varepsilon>0$ 成立，因此就得到所求证的不等式．
下面是与上极限和下极限有关的一个有多方面应用的重要例题．
例题13．4 设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件 $a_{n+m} \leqslant a_n a_m \forall n, m \in N$ ，则有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_n}{n}=\inf _{n \geqslant 1}\left\{\frac{\ln a_n}{n}\right\} .
$$

证 将等式右边记为 $\alpha$ ，则可见有

$$
\alpha \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_n}{n}
$$

又从 $\alpha$ 为下确界可见，对 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ，使得

$$
\frac{\ln a_N}{N}<\alpha+\varepsilon
$$

固定这个 $N$ ，可以将每个自然数 $n$ 写为 $n=m N+k$ ，其中 $0 \leqslant k<N$ ．从题设条件有不等式

$$
a_n=a_{m N+k} \leqslant a_N^m a_k
$$

取对数后可以得到

$$
\frac{\ln a_n}{n} \leqslant \frac{m}{n} \ln a_N+\frac{1}{n} \ln a_k \leqslant \frac{m N}{n}(\alpha+\varepsilon)+\frac{1}{n} \ln a_k .
$$

在这个不等式两边令 $n \rightarrow \infty$ ．右边第一项的极限为 $\alpha+\varepsilon$ ，而第二项中的 $a_k$ 至多只取 $N$ 不同值，因此极限为 0 ．因数列之间的不等式在取上极限时仍保持，即有

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_n}{n} \leqslant \alpha+\varepsilon
$$

由于 $\varepsilon>0$ 的任意性，就得到

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_n}{n} \leqslant \alpha
$$

将这个不等式与（13．3）合并，可见 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln a_n}{n}$ 一定有意义，且等于 $\alpha$ ．
注 例题中的 $\alpha$ 不一定是有限数。当 $\alpha$ 为有限数时数列 $\left\{\frac{\ln a_n}{n}\right\}$ 收玫，而当 $\alpha=-\infty$ 时，这个数列一定是负无穷大量．此外，由这个例题可见，在正数列满足条件 $a_{n+m} \leqslant a_n a_m \forall n, m \in N$ 时，极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}$ 一定存在。

最后指出，对于第四章中的每一种函数极限，同样可以定义上极限和下极限，这样就可以对于极限不存在时的函数性态作出进一步的刻画．例如

$$
\begin{aligned}
& \varlimsup_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}=1, \quad \varliminf_{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}=-1 \\
& \varlimsup_{x \rightarrow+\infty} \sin x=1, \quad \varliminf_{x \rightarrow+\infty} \sin x=-1 \\
& \varlimsup_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{1+x^6 \sin ^2 x}=+\infty, \quad \varliminf_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{1+x^6 \sin ^2 x}=0 .
\end{aligned}
$$

其中最后一个例子就是例题 11.34 中的被积函数，它在 $[0,+\infty)$ 上的广义积分收玫．

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