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上极限和下极限的运算

## 13.1.4 上极限和下极限的运算
与极限运算满足的四则运算法则不同，上极限和下极限的运算法则要复杂一些．这里只以例题的形式讲一个加法规则．

例题 13.3 证明：
（1）在下式右边不是不定式时成立不等式：

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) \leqslant \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n
$$

（2）在 $\left\{x_n\right\}$ 收玫时则成立等式：

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n
$$

证（1）的证明可以用上极限表达式（13．1）如下推导得到：

$$
\begin{aligned}
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) & =\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{x_k+y_k\right\} \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sup _{k \geqslant n}\left\{x_k\right\}+\sup _{k \geqslant n}\left\{y_k\right\}\right) \\
& =\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{x_k\right\}+\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geqslant n}\left\{y_k\right\}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n+\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n .
\end{aligned}
$$

这里在最后一式中的两个上极限均为有限数时成立．
对于其中出现无穷大的情况，不如直接讨论．由对称性可知只要讨论 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n$为无穷大的情况。

设 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$ ，但 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n$ 不是 $-\infty$ ，则右边是 $+\infty$ ，因此无论左边如何不等式总是成立的。

设 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ，但 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} y_n$ 不是 $+\infty$ ．这时从定理13．1知道 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=-\infty$ ，而数列 $\left\{y_n^n\right\}$ 有上界．这时 $\left\{x_n+y_n\right\}$ 也是负无穷大量，因此不等式两边相等．
（2）从上述（1）中的不等式就有

$$
\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(x_n+y_n\right) \leqslant \lim _{n \rightarrow \infty}

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