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压缩映射原理

## 13.2.1 压缩映射原理
在第二章介绍迭代数列时引入了不动点概念（见定义 2．13）。此后又在许多问题中看到求方程 $f(x)=0$ 的根和求 $g(x)=x-f(x)$ 的不动点是等价的．（参见第五章总练习题的题 6 和题 7．）这一小节将讨论如何求不动点，或至少求其近似值．

先引入压缩映射的概念。
定义 13.2 设函数 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 上定义，且存在常数 $k, 0 \leqslant k<1$ ，使得对 $\forall x, y \in[a, b]$ ，成立 $|\varphi(x)-\varphi(y)| \leqslant k|x-y|$ ，则称 $\varphi$ 是 $[a, b]$ 上的压缩映射．

定理 13.5 （压缩映射原理）设 $\varphi$ 是 $[a, b]$ 上的压缩映射，同时存在迭代数列 $\left\{x_n\right\} \subset[a, b], x_{n+1}=\varphi\left(x_n\right) \forall n$ ，则 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 中存在惟一的不动点 $\xi$ ，且成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$ ．

证 从映射的压缩性可以先证明不动点若存在则一定惟一．设有 $\varphi\left(\xi_1\right)=\xi_1$ ，又有 $\varphi\left(\xi_2\right)=\xi_2$ ，则

由于 $0 \leqslant k<1$ ，因此只能有 $\xi_1=\xi_2$ ．
由于压缩映射一定连续 ${ }^{(1)}$ ，因此只要能够证明迭代数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，在迭代公式 $x_{n+1}=\varphi\left(x_n\right)$ 中令 $n \rightarrow \infty$ ，就可以知道其极限 $\xi$ 满足 $\xi=\varphi(\xi)$ ，即是 $\varphi$ 的不动点。

余下的问题是证明 $\left\{x_n\right\}$ 收玫．
为此对于正整数 $n$ 和 $p$ ，估计 $x_n$ 与 $x_{n+p}$ 之差如下：

$$
\begin{aligned}
\left|x_n-x_{n+p}\right| & =\left|\varphi\left(x_{n-1}\right)-\varphi\left(x_{n+p-1}\right)\right| \leqslant k\left|x_{n-1}-x_{n+p-1}\right| \\
& \leqslant k^2\left|x_{n-2}-x_{n+p-2}\right| \leqslant \cdots \cdots \leqslant k^n\left|x_0-x_p\right| \leqslant k^n(b-a)
\end{aligned}
$$

可见对于给定的 $\varepsilon>0$ ，由于 $0 \leqslant k<1$ ，存在 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时就有 $\left|x_n-x_{n+p}\right|<\varepsilon$ 。而且这与 $p$ 无关。这样就证明了压缩映射下的迭代数列一定是基本数列。根据 Cauchy 收敛准则，$\left\{x_n\right\}$ 收敛。

例题 13.5 证明：开普勒 Kepler 方程 $x=\varepsilon \sin x+b$ 于参数 $|\varepsilon|<1$ 时存在惟一实根．

证 记 $\varphi(x)=\varepsilon \sin x+b$ ，则可以从

$$
|\sin x-\sin y|=2\left|\cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\right| \leqslant|x-y|
$$

或者用 Lagrange 微分中值定理，得到

可见 $\varphi(x)$ 在 $R$ 上是压缩映射。由于 Kepler 方程的根就是 $\varphi$ 的不动点，因此已经知道 Kepler 方程若有根则一定惟一。

余下的问题是需要定出一个有界区间，使得迭代数列 $\left\{x_n\right\}$ 落在其中．
从 $|\varphi(x)| \leqslant|\varepsilon|+|b|=a>0$ 可见，$\varphi$ 的值域不超出 $[-a, a]$ ，于是不论初值 $x_0$ 如何，从 $x_1$ 开始的所有 $x_n \in[-a, a]$ ．用压缩映射原理就知道 Kepler 方程存在根．

注 如 $\S 3.2$ 的练习题 3 所示，本题也可以用 $f(x)=x-\varepsilon \sin x$ 在 $|\varepsilon|<1$ 时的严格单调性和反函数存在定理来解决。这时由于 $f$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$ ，因此对每一个 $b$ ，方程 $f(x)=b$ 的解存在惟一。

比较以上两个不同的证明方法，用压缩映射原理的优点之一是它同时给出了实际计算的可能性，而且可以对迭代过程中的误差作出估计。下面对此作出解释。

从以下估计

$$
\begin{aligned}
\left|x_n-\xi\right| & =\left|\varphi\left(x_{n-1}\right)-\varphi(\xi)\right| \leqslant k\left|x_{n-1}-\xi\right| \\
& \leqslant k\left(\left|x_{n-1}-x_n\right|+\left|x_n-\xi\right|\right)
\end{aligned}
$$

就可以解出

$$
\left|x_n-\xi\right| \leqslant \frac{k}{1-k} \cdot\left|x_n-x_{n-1}\right|
$$

这就是所谓的事后估计．即在迭代过程中，每迭代一次，就可以从前次的 $x_{n-1}$ 和这

次的 $x_n$ 估计出当前误差范围．
在（13．4）的右边再反复用压缩条件，又可以得到所谓的事前估计：

$$
\left|x_n-\xi\right| \leqslant \frac{k^n}{1-k} \cdot\left|x_1-x_0\right|
$$

它的右边使我们可以在一开始就用 $x_0, x_1$ 和压缩系数 $k$ 估计出为了达到指定的精度，至少需要做多少次迭代计算。

最后指出，压缩映射原理的一个很大的优点是容易推广到高维空间甚至无穷维空间中去，而 $\S 2.3 .5$ 中的几何方法只能用于一维问题．

下面是 Newton 曾经考虑过的例子。
例题13．6 试用压缩映射原理求方程 $x^3-2 x-5=0$ 在 $x=2$ 附近的根，要求误差不超过 $10^{-4}$ 。

解 从方程左边的多项式在 $x=2,3$ 时异号可见方程在 $[2,3]$ 内有根．以下先将上述方程的求根问题转化为求某个函数的不动点问题。这里有多种选择，例如 $x=\sqrt[3]{2 x+5}, x=\sqrt{2+\frac{5}{x}}, x=\frac{1}{2}\left(x^3-5\right)$ 等．
可以看出用 $g(x)=\sqrt[3]{2 x+5}$ 满足 $g([2,3]) \subset[2,3]$ ．又通过求导估计有

$$
\max _{2 \leqslant x \leqslant 3}\left|g^{\prime}(x)\right|=\frac{2}{3 \sqrt[3]{(2 x+5)^2}} \leqslant g^{\prime}(2)=\frac{2}{9 \sqrt[3]{3}} \approx 0.154080
$$

因此可以从 $x_0=2$ 开始作迭代计算，得到

$$
\begin{aligned}
& x_1=g\left(x_0\right)=2.080084, x_2=g\left(x_1\right)=2.092351, x_3=g\left(x_2\right)=2.094217, \\
& x_4=g\left(x_3\right)=2.094501, x_5=g\left(x_4\right)=2.094544 .
\end{aligned}
$$

可以证明这里的小数后前 4 位都是正确的（留作练习题）．

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