最后更新: 2025-03-16 10:28 查看: 187 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

压缩映射原理

## 13.2.1 压缩映射原理
在第二章介绍迭代数列时引入了不动点概念（见定义 2．13）。此后又在许多问题中看到求方程 $f(x)=0$ 的根和求 $g(x)=x-f(x)$ 的不动点是等价的．（参见第五章总练习题的题 6 和题 7．）这一小节将讨论如何求不动点，或至少求其近似值．

先引入压缩映射的概念。
定义 13.2 设函数 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 上定义，且存在常数 $k, 0 \leqslant k<1$ ，使得对 $\forall x, y \in[a, b]$ ，成立 $|\varphi(x)-\varphi(y)| \leqslant k|x-y|$ ，则称 $\varphi$ 是 $[a, b]$ 上的压缩映射．

定理 13.5 （压缩映射原理）设 $\varphi$ 是 $[a, b]$ 上的压缩映射，同时存在迭代数列 $\left\{x_n\right\} \subset[a, b], x_{n+1}=\varphi\left(x_n\right) \forall n$ ，则 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 中存在惟一的不动点 $\xi$ ，且成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\xi$ ．

证 从映射的压缩性可以先证明不动点若存在则一定惟一．设有 $\varphi\left(\xi_1\right)=\xi_1$ ，又有 $\varphi\left(\xi_2\right)=\xi_2$ ，则

由于 $0 \leqslant k<1$ ，因此只能有 $\xi_1=\xi_2$ ．
由于压缩映射一定连续 ${ }^{(1)}$ ，因此只要能够证明迭代数列 $\left\{x_n\right\}$ 收玫，在迭代公式 $x_{n+1}=\varphi\left(x_n\right)$ 中令 $n \rightarrow \infty$ ，就可以知道其极限 $\xi$ 满足 $\xi=\varphi(\xi)$ ，即是 $\varphi$ 的不动点。

余下的问题是证明 $\left\{x_n\right\}$ 收玫．
为此对于正整数 $n$ 和 $p$ ，估计 $x_n$ 与 $x_{n+p}$ 之差如下：

$$
\begin{aligned}
\left|x_n-x_{n+p}\right| & =\l

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