最后更新: 2026-06-29 15:45 查看: 89 次纠错评论(0) 课件开VIP

本章重难点解析与思维导图

## 本章思维导图
 
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}
  </style>

我们基本上只研究正态分布，我们记**样本均值**为$\bar{X}$,**样本方差**是$S^2$,**总体均值**是$\mu$,**总体方差**是$\sigma^2$
当使用样本估算总体时，分为四种情况：
①总体均值$\mu$已知,总体方差$\sigma^2$已知
②总体均值$\mu$已知,总体方差$\sigma^2$未知
③总体均值$\mu$未知,总体方差$\sigma^2$已知
④总体均值$\mu$未知,总体方差$\sigma^2$已知

则有下列结论： 
$$
E(\bar{X})=\mu, \quad D(\bar{X})=\sigma^2 / n ，E\left(S^2\right)=\sigma^2
$$

即：样本的期望=总体的期望。 样本均值的方差 = 总体方差除以样本量， 样本的方差期望=总体的方差

我们一般只研究①②，对于③④稍微了解即可。

**定理一** 设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本， $\bar{X}$ 是样本均值，则有

$$
\bar{X} \sim N\left(\mu, \sigma^2 / n\right) .
$$

公式解读：样本均值服从 均值是$\mu$， 方差是$\sigma^2 /n$ 的正态分布

把上式标准化就是
$$
\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sqrt{n} \sim N(0,1)  
$$

**定理二**  
$$
\begin{equation*}
\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)  
\end{equation*}
$$

公式解读：用(n−1)乘样本方差再除以总体方差，服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。 这里要注意样本方差乘以的是$(n-1)$而不是n，因为自由度少了1. 见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3980)

**定理三**
$$
\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1) .
$$

公式解读：用样本标准差替代总体标准差构造的标准化均值统计量，服从自由度为$n-1$的t分布

**定理四**
若 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_m$ 分别表示取自两个正态总体 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 和 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$的简单随机样本， $\bar{X}, \bar{Y}$ 和 $S_1^2, S_2^2$ 分别表示其样本均值和方差，则有
（1）$\frac{\frac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\frac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F(n-1, m-1) ;$
（2）$\sqrt{\frac{m n(n+m-2)}{n+m}} \frac{(\bar{X}-\bar{Y})-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{(n-1) S_1^2+(m-1) S_2^2}} \sim t(n+m-2)$ ．（当 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 时）

上面四的定理，是进行统计分析的基础。

##  别搞混：独立同分布随机变量求和 / 样本均值

设单个随机变量 $X$：
$$
E(X)=\mu,\quad D(X)=\sigma^2
$$
取 $n$ 个独立同分布样本：$X_1,X_2,\dots,X_n$

1. **独立同分布总和** $S = X_1+X_2+\dots+X_n$
期望（均值）：
$$
E(S) = E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = n\mu
$$
方差（独立变量方差可加）：
$$
D(S) = D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n D(X_i) = n\sigma^2
$$

> 独立同分布求和，采样越多，方差越大，例如测量学生身高，假设平均身高是170，你测量一个学生172，则数据波动为2. 你测量2个学生 172，165，则数据波动为 -5 ~ 2.

2. **样本均值** $\bar{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$
期望：
$$
E(\bar X) = \frac1n E(S) = \mu
$$
方差：
$$
D(\bar X) = D\left(\frac1n S\right) = \frac{1}{n^2}D(S) = \frac{\sigma^2}{n}
$$

> 特别要注意：$D(\bar{X})=\sigma^2 / n$ ,他表示你取样越多，样本均值误差越小。 比如你估算全班学生的身高，标准差$\sigma=2$，则 $\sigma^2=4$：取1个样本：$D(\bar{X})=\dfrac{4}{1}=4$ ，取4个样本平均：$D(\bar{X})=\dfrac{4}{4}=1$，离散程度明显缩小。所有，取样越多，数据误差越小。

一句话区分
- 全部加起来（总和）：均值放大 $n$ 倍，方差放大 $n$ 倍；
- 取平均（样本均值）：均值不变，方差缩小为原来的 $\dfrac1n$。

#### 版本1 
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#### 版本2
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