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Banach空间

三．Banach 空间
定义 2．1．8．完备的赋范线性空间称为 Banach 空间。
一般要证明一个空间是 Banach 空间需要三步：
（1）定义线性运算，验证是线性空间；
（2）赋以范数，定义并验证范数三条；
（3）验证完备性。
下面给出一些具体的 Banach 空间的例。
1．$n$ 维欧氏空间 $R ^n$

$$
R ^n=\left\{\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right): \xi_k \in R \right\}
$$

（1）对于任给的 $R ^n$ 中元 $x=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)$ 与 $y=\left(\eta_1, \cdots, \eta_n\right)$ 以及 $k \in K$ ，定义加法和数乘运算：

$$
x+y=\left(\xi_1+\eta_1, \cdots, \xi_n+\eta_n\right), \quad k x=\left(k \xi_1, \cdots, k \xi_2\right)
$$

易知 $\left( R ^n,+, \cdot\right)$ 构成线性空间。
（2）对任意的 $x \in R ^n$ ，记 $x=\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)$ ，定义

$$
\|x\|=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

下面验证 $\|\cdot\|$ 是范数。（i），（ii）显然；（iii）由式（1．1）可得

$$
\left.\|x+y\|=\left(\sum_{k=1}^n\left|\xi_k+\eta_k\right|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left[\left(\sum_{k=1}^n \xi_k^2\right)^{\frac{1}{2}}+\sum_{k=1}^n \eta_k^2\right)^{\frac{1}{2}}\right]^2=\|x\|+\|y\|
$$

因此，$\|\cdot\|$ 是范数。
（3）＂依范数收玫＂与＂依范数诱导的距离收敛＂等价，由第一章 $R ^n$ 距离意义下的完备知 $\left( R ^n,\|\cdot\|\right)$ 完备。因此， $R ^n$ 是 Banach 空间。

2．连续函数空间 $C[a, b]$

$$
C[a, b]=\{x(t): x(t) \text { 为 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\}
$$

（1）对任给的 $C[a, b]$ 中的元 $x=x(t), y=y(t)$ 以及 $k \in K$ ，定义加法和数乘运算为通常的函数加法和函数数乘：

$$
(x+y)(t)=x(t)+y(t), \quad(k x)(t)=k x(t)
$$

易知 $(C[a, b],+, \cdot)$ 构成线性空间。

（2）对任意的 $x \in C[a, b]$ ，记 $x=x(t)$ ，定义

$$
\|x\|=\max _{t \in[a, b]}|x(t)|
$$

下面验证 $\|\cdot\|$ 是范数。（i），（ii）显然；（iii）

$$
\begin{aligned}
\|x+y\| & =\max _{t \in[a, b]}|x(t)+y(t)| \leq \max _{t \in[a, b]}[|x(t)|+|y(t)|] \\
& \leq \max _{t \in[a, b]}|x(t)|+\max _{t \in[a, b]}|y(t)|=\|x\|+\|y\|
\end{aligned}
$$

因此，$\|\cdot\|$ 是范数。
（3）＂依范数收敛＂与＂依范数诱导的距离收敛＂等价，由第一章 $C[a, b]$ 距离意义下的完备知 $(C[a, b],\|\cdot\|)$ 完备。因此，$C[a, b]$ 是 Banach 空间。

3．测度空间 $(\Omega, \Sigma, \mu)$ 上的 $p$ 次幂 L－可积函数空间 $L^p(\Omega, \Sigma, \mu),(1 \leq p<\infty)$ ，简记为 $L^p(\Omega)$

$$
L^p(\Omega)=\left\{x(t): \int_{\Omega}|x(t)|^p d \mu<+\infty\right\}
$$

（1）易知，$L^p(\Omega)$ 在通常的函数加法和函数数乘运算下构成线性空间。
（2）对任意的 $x \in L^p(\Omega)$ ，记 $x=x(t)$ ，定义

$$
\|x\|=\left(\int_{\Omega}|x(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}}
$$

显然，$\|\cdot\|$ 满足范数定义的（i），（ii）；要验证（iii）需要做如下准备：
定义 2．1．9．若 $p, q \in R ^{+}$满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，则称 $p$ 与 $q$ 互为共轭数。
引理 2．1．1．（Young 不等式）设 $p$ 与 $q$ 互为共轭数，则对 $\forall a, b \in R$ 都有
$$
|a b| \leq \frac{|a|^p}{p}+\frac{|b|^q}{q}
$$

引理 2．1．2．（Hölder 不等式）设 $E$ 为可测集，$x(t), y(t)$ 为 $E$ 上的可测函数，则

$$
\int_E|x(t) y(t)| d \mu \leq\left(\int_E|x(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_E|y(t)|^q d \mu\right)^{\frac{1}{q}}
$$

其中，$p$ 与 $q$ 互为共轭数。
引理 2．1．3．（Minkowski 不等式）设 $E$ 为可测集，$x(t), y(t)$ 为 $E$ 上的可测函数， $1 \leq p<\infty$ ，则

$$
\left(\int_E|x(t)+y(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}} \leq\left(\int_E|x(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_E|y(t)|^p d \mu\right)^{\frac{1}{p}}
$$

其中，$p$ 与 $q$ 互为共轭数。
可见，Minkowski 不等式即范数定义的（iii）．因此，$\|\cdot\|$ 是范数。
定理 2．1．1．$\left(L^p(\Omega),\|\cdot\|\right),(1 \leq p<\infty)$ 是 Banach 空间。
证明 只需证 $L^p(\Omega)$ 完备。设 $\left\{x_n\right\} \subset L^p(\Omega)$ 为柯西列，则由命题1．4．4，存在子列 $\left\{x_{n_k}\right\} \subset\left\{x_n\right\}$ 满足

$$
\left\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\| \leq \frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \cdots
$$

对每个 $m \in N$ ，令

$$
y_m=\left|x_{n_1}\right|+\sum_{k=1}^m\left|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right|
$$

则由范数的三角不等式有

$$
\left\|y_m\right\| \leq\left\|x_{n_1}\right\|+\sum_{k=1}^m\left\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\|<\left\|x_{n_1}\right\|+\sum_{k=1}^m \frac{1}{2^k}<\left\|x_{n_1}\right\|+1
$$

注意到 $\left\{y_m\right\}$ 非负可测，由 Fatou 引理

$$
\int_{\Omega} \liminf _{m \rightarrow \infty} y_m(t) d \mu \leq \liminf _{m \rightarrow \infty} \int_{\Omega} y_m(t) d \mu=\liminf _{m \rightarrow \infty}\left\|y_m\right\|^p \leq\left(\left\|x_{n_1}\right\|+1\right)^p
$$

又 $\left\{y_m(t)\right\}$ 为单调递增数列，故 $\lim _{m \rightarrow \infty} y_m(t)$ 总存在（有限或 $+\infty$ ），从而

$$
\int_{\Omega} \lim _{m \rightarrow \infty} y_m(t) d \mu \leq\left(\left\|x_{n_1}\right\|+1\right)^p
$$

这说明 $\lim _{m \rightarrow \infty} y_m \in L^p(\Omega)$ 且 $\lim _{m \rightarrow \infty} y_m(t)$ 几乎处处有限，故无穷级数

$$
\left|x_{n_1}(t)\right|+\sum_{k=1}^{\infty}\left|x_{n_{k+1}}(t)-x_{n_k}(t)\right|
$$

几乎处处收敛。从而
$$
x_{n_{m+1}}(t)=x_{n_1}(t)+\sum_{k=1}^m\left(x_{n_{k+1}}(t)-x_{n_k}(t)\right)
$$

几乎处处收玫，即存在几乎处处有限的极限函数 $x_{\infty}(t)$（可测），使得

$$
x_{\infty}(t)=\lim _{m \rightarrow \infty} x_{n_m}(t), \quad \text { a. e. } t \in \Omega
$$

再由

$$
\left|x_{\infty}(t)\right| \leq\left|x_{n_1}(t)\right|+\sum_{k=1}^{\infty}\left|x_{n_{k+1}}(t)-x_{n_k}(t)\right|=\lim _{m \rightarrow \infty} y_m \in L^p(\Omega)
$$

可得 $x_{\infty} \in L^p(\Omega)$ ．又

$$
\begin{aligned}
\left\|x_{\infty}-x_{n_m}\right\| & =\left\|\sum_{k=m}^{\infty}\left(x_{n_{k+1}}(t)-x_{n_k}(t)\right)\right\| \\
& \leq \sum_{k=m}^{\infty}\left\|x_{n_{k+1}}(t)-x_{n_k}(t)\right\| \leq \sum_{k=m}^{\infty} \frac{1}{2^k} \rightarrow 0, \quad m \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$
故 $x_{n_m} \xrightarrow{\|\cdot\|} x_{\infty}$ ．再由命题 1．4．2 知，$x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} x_{\infty}$ ．
4．几乎处处有界可测函数空间 $L^{\infty}(\Omega, \Sigma, \mu)$ ，简记为 $L^{\infty}(\Omega)$

$$
L^{\infty}(\Omega)=\{x(t): x(t) \text { 在 } \Omega \text { 上几乎处处有界 }\}
$$

（1）易知，$L^{\infty}(\Omega)$ 在通常的函数加法和函数数乘运算下构成线性空间。
（2）对任意的 $x \in L^{\infty}(\Omega)$ ，记 $x=x(t)$ ，定义

$$
\|x\|=\inf _{\substack{E_0 \subset \Omega \\ m\left(E_0\right)=0}} \sup _{t \in \Omega-E_0}|x(t)|
$$

$$
\sup _{t \in \Omega-E_n}|x(t)|<\frac{1}{n}
$$

令 $E_0=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ ，则 $m\left(E_0\right)=0$ ，且在 $\Omega-E_0=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\Omega-E_n\right)$ 上有

$$
|x(t)|<\sup _{t \in \Omega-E_n}|x(t)|<\frac{1}{n}, \quad \forall n \in N
$$

令 $n \rightarrow \infty$ 可得 $x(t)=0$ ，a．e．$t \in \Omega$ ，从而 $x=\theta$ ．
（ii）$\|k x\|=|k|\|x\|$ 显然。
（iii）$\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$ ．
设 $x, y \in L^{\infty}(\Omega)$ ，由 $\|x\|,\|y\|$ 的定义，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $E_1, E_2 \subset \Omega$ ，满足 $m\left(E_1\right)=$ $m\left(E_2\right)=0$ ，且

$$
\sup _{t \in \Omega-E_1}|x(t)| \leq\|x\|+\frac{\varepsilon}{2}
$$
$$
\sup _{t \in \Omega-E_2}|y(t)| \leq\|y\|+\frac{\varepsilon}{2}
$$

又 $m\left(E_1 \cup E_2\right)=0$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\|x+y\| & \leq \sup _{t \in \Omega-\left(E_1 \cup E_2\right)}|x(t)+y(t)| \\
& \leq \sup _{t \in \Omega-\left(E_1 \cup E_2\right)}|x(t)|+\sup _{t \in \Omega-\left(E_1 \cup E_2\right)}|y(t)| \\
& \leq \sup _{t \in \Omega-E_1}|x(t)|+\sup _{t \in \Omega-E_2}|y(t)| \\
& \leq\|x\|+\|y\|+\varepsilon
\end{aligned}
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 得到 $\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$ ．

定理 2．1．2．$L^{\infty}(\Omega)$ 是 Banach 空间。
证明

5．$p$ 次幂可和数列空间 $\ell^p, ~(1 \leq p<\infty)$

$$
\ell^p=\left\{\left\{\xi_n\right\}: \sum_{n=1}^{\infty} \xi_n<+\infty\right\}
$$

（1）对任给的 $\ell^p$ 中的元 $x=\left\{\xi_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ 以及 $k \in K$ ，定义加法和数乘运算为通常的数列加法和数乘：

$$
x+y=\left\{\xi_n+\eta_n\right\}, \quad k x=\left\{k \xi_n\right\}
$$

易知，$\left(\ell^p,+, \cdot\right)$ 构成线性空间。
（2）对任意的 $x \in \ell^p$ ，记 $x=\left\{\xi_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ ，定义

$$
\|x\|=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$

下面验证 $\|\cdot\|$ 是范数。（i），（ii）显然；要验证（iii）需要做如下准备：类似引理 2．1．2， 2．1．4 可以证明离散形式的 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式：
引理 2．1．4．（Hölder 不等式）设 $\left\{\xi_n\right\} \in \ell^p,\left\{\eta_n\right\} \in \ell^q$ ，则

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n \eta_n\right| \leq\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\eta_n\right|^q\right)^{\frac{1}{q}}
$$

其中，$p$ 与 $q$ 互为共轭数。
引理 2．1．5．（Minkowski 不等式）设 $E$ 为可测集，$x(t), y(t)$ 为 $E$ 上的可测函数， $1 \leq p<\infty$ ，则

$$
\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n+\eta_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\xi_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|\eta_n\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$

其中，$p$ 与 $q$ 互为共轭数。
可见，Minkowski 不等式即范数定义的（iii）．因此，$\|\cdot\|$ 是范数。
（3）＂依范数收玫＂与＂依范数诱导的距离收敛＂等价，由第一章 $\ell^p$ 距离意义下的完备知 $\left(\ell^p,\|\cdot\|\right)$ 完备。因此，$\ell^p$ 是 Banach 空间。

6．有界数列空间 $\ell^{\infty}$
（1）易知，$\ell^{\infty}$ 在通常的数列加法和数乘运算下构成线性空间。
（2）对任意的 $x \in \ell^{\infty}$ ，记 $x=\left\{\xi_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ ，定义

$$
\|x\|=\sup _n\left|\xi_n\right|
$$

下面验证 $\|\cdot\|$ 是范数。（i），（ii）显然；（iii）记 $x=\left\{x i_n\right\}, y=\left\{\eta_n\right\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
\|x+y\| & =\sup _n\left|\xi_n+\eta_n\right| \leq \sup _n\left[\left|\xi_n\right|+\left|\eta_n\right|\right] \\
& \leq \sup _n\left|\xi_n\right|+\sup _n\left|\eta_n\right|=\|x\|+\|y\|
\end{aligned}
$$

（3）＂依范数收玫＂与＂依范数诱导的距离收玫＂等价，由第一章 $\ell \infty$ 距离意义下的完备知 $\left(\ell^{\infty},\|\cdot\|\right)$ 完备。因此，$\ell^{\infty}$ 是 Banach 空间。

7．有界变差函数空间 $B V[a, b]$
定义2．1．10．设 $x(t)$ 为 $[a, b]$ 上的实值函数，对 $[a, b]$ 的任一分割 $\Delta=\left\{t_0, t_1, \cdots, t_n\right\}$ ，其中 $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ ，则和式

$$
\bigvee_x\left(t_0, \cdots, t_n\right)=\sum_{i=1}^n\left|x\left(t_i\right)-x\left(t_{i-1}\right)\right|
$$

称为函数 $x$ 关于分割 $\Delta$ 的变差；

$$
\bigvee_a^b(x)=\sup \left\{\bigvee_x\left(t_0, \cdots, t_n\right):\left\{t_0, \cdots, t_n\right\} \text { 是 }[a, b] \text { 上的分割 }\right\}
$$

称为 $x(t)$ 在 $[a, b]$ 上的全变差。若 $\bigvee_a^b(x)<+\infty$ ，则称 $x(t)$ 是 $[a, b]$ 上的有界变差函数，用 $B V[a, b]$ 表示 $[a, b]$ 上的有界变差函数的全体。

单调函数，满足 Lipschitz 条件的函数，处处可导且导数一致有界函数，绝对连续函数都是有界变差函数，但连续函数不一定是有界变差函数 ${ }^3$ 。

易知，$B V[a, b]$ 按函数的加法，数乘构成线性空间。在 $B V[a, b]$ 上定义范数：

$$
\|x\|=|x(a)|+\underset{a}{b}(x), \quad \forall x \in B V[a, b]
$$

（i）$\|x\| \geq 0,\|\theta\|=0$ 显然。若 $\|x\|=0$ ，则有 $x(a)=0$ ，且全变差为 0 ，从而 $x(t) \equiv 0$ ．
（ii）$\|k x\|=|k|\|x\|$ 显然。
（iii）$\|x+y\| \leq\|x\|+\|y\|$ ．由于

$$
|(x+y)(a)|=|x(a)+y(a)| \leq|x(a)|+|y(a)|
$$
又对任意的分割：$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ ，都有

$$
\left|(x+y)\left(t_{k+1}\right)-(x+y)\left(t_k\right)\right| \leq\left|x\left(t_{k+1}\right)-x\left(t_k\right)\right|+\left|y\left(t_{k+1}\right)-y\left(t_k\right)\right|
$$

故 $\bigvee_a^b(x+y) \leq \bigvee_a^b(x)+\bigvee_a^b(y)$ ，从而 $\|k x\|=|k|\|x\|$ ．
定理 2．1．3．$B V[a, b]$ 是 Banach 空间。
证明

注 2．1．3．＂依范数收敛＂与＂依范数诱导的距离收敛＂等价，由第一章相应的距离空间可分性的结果可得： $R ^n, C[a, b], L^p[a, b], \ell^p$ 是可分的 Banach 空间；$L^{\infty}[a, b], \ell^{\infty}$ 是不可分的 Banach 空间。

例 2．1．1．若对 $C[a, b]$ 空间赋予范数：

$$
\|x\|_2=\left(\int_a^b|x(t)|^2 d \mu\right)^{\frac{1}{2}}
$$

则 $\left(C[a, b],\|\cdot\|_2\right)$ 不完备。事实上，取 $c \in(a, b)$ ，作函数

$$
x_0(t)=\left\{\begin{array}{cl}
-1, & t \in[a, c) \\
0, & t=c \\
1, & t \in(c, b]
\end{array}\right.
$$

显然 $x_0(t) \notin C[a, b]$ ．但

$$
\left(\int_a^b\left|x_0(t)\right|^2 d \mu\right)^{\frac{1}{2}}=\int_a^b 1 d \mu=b-a<+\infty
$$

故 $x_0(t) \in L^2[a, b]$ ．又 $C[a, b]$ 在 $L^2[a, b]$ 中稠密，从而存在 $\left\{x_n\right\} \subset C[a, b]$ 使得 $x_n \xrightarrow{\|\cdot\|_2}$ $x_0,(n \rightarrow \infty)$ ，但 $x_0 \in C[a, b]$ ．因此，$C[a, b]$ 在 $\|\cdot\|_2$ 下不完备。

实际上，$\left(C[a, b],\|\cdot\|_2\right)$ 的完备化空间即为 $L^2[a, b]$ ．
注 2．1．4．赋范线性空间是特殊的距离空间，由距离空间完备化定理，任意赋范线性空间都可以完备化为 Banach 空间。

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