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商空间

四．商空间
定义 2．1．11．设 $X$ 为赋范线性空间，$E \subset X$ 为线性子空间，对任意的 $x, y \in X$ ，定义如下等价关系：

$$
x \sim y \quad \Leftrightarrow \quad x-y \in E
$$

称为 $x$ 与 $y$ 关于 $E$ 等价。
记 $\tilde{x}=\{y \in X: y \sim x\}$ 称为 $x$ 的等价类，易知，$\tilde{x}$ 也可表示为 $\tilde{x}=x+E$ ．

命题 2．1．2．这些等价类满足：
（i）等价类与代表元的选取无关：若 $y \in \tilde{x}$ ，即 $y \sim x$ ，则 $\tilde{y}=\tilde{x}^4$ ；
（ii）等价类两两互不相交；
（iii）每个 $x \in X$ 都属于且只属于某一个等价类。
证明（i）设 $y \in \tilde{x}$ ，即 $y \sim x$ ，则 $y-x \in E$ ．下面证 $y+E=x+E$ ．任取 $z \in y+E$ ，则存在 $e \in E$ 使得 $z=y+e=x+(y-x+e) \in x+E$ ，故 $y+E \subset x+E$ 。同理可证 $x+E \subset y+E$ ．
（ii）对 $\forall x, y \in X$ ，若 $\tilde{x} \cap \tilde{y} \neq \varnothing$ ，即 $\exists z \in(x+E) \cap(y+E)$ ，则存在 $e_1, e_2 \in E$ 使得 $z=x+e_1=y+e_2$ 。从而 $x-y=e_2-e_1 \in E$ ，故 $x \sim y$ 。再由（i）得 $\tilde{x}=\tilde{y}$ ．
（iii）对 $\forall x \in X$ ，显然 $x \in \tilde{x}$ ，再由（ii）知结论成立。
用 $X / E=\{\tilde{x}: x \in X\}$ 表示所有关于 $E$ 的等价类构成的集合，在其上定义加法和数乘运算：

$$
\tilde{x}+\tilde{y}=\widetilde{x+y}, \quad k \tilde{x}=\widetilde{k x}
$$

先验证其合理性：
（1）若 $\tilde{x_1}=\tilde{x}, \tilde{y_1}=\tilde{y}$ ，则 $\tilde{x_1}+\tilde{y_1}=\widetilde{x+y}$ ；
（2）若 $\tilde{x_1}=\tilde{x}$ ，则 $k \tilde{x_1}=\widetilde{k x}$ ．
只验证（1），类似可证（2）．只需 $\widetilde{x_1+y_1}=\widetilde{x+y}$ ，由命题2．1．2（i）知只需验证 $x_1+$ $y_1 \sim x+y$ ．由于 $\tilde{x_1}=\tilde{x}, \tilde{y_1}=\tilde{y}$ ，则 $x_1 \sim x, y_1 \sim y$ ，即 $x_1-x \in E, y_1-y \in E$ ．从而

$$
\left(x_1+y_1\right)-(x+y)=\left(x_1-x\right)+\left(y_1-y\right) \in E
$$

易知，$(X / E,+, \cdot)$ 构成线性空间，注意 $E=\theta+E=\tilde{\theta}$ 充当了 $X / E$ 的零元。设 $X$ 为赋范线性空间，$E \subset X$ 为闭线性子空间，在 $X / E$ 上定义

$$
\|\tilde{x}\|=\inf \{\|y\|: y \in \tilde{x}\}, \quad \tilde{x} \in X / E
$$

下面验证 $\|\cdot\|$ 是范数，该范数称为商范数。
（i）$\|\tilde{x}\| \geq 0$ 显然。 $\|\tilde{\theta}\|=\inf \{\|y\|: y \in \tilde{\theta}=E\}=\|\theta\|=0$ 。
若 $\|\tilde{x}\|=0$ ，由＂inf＂定义，存在 $\left\{y_n\right\} \subset \tilde{x}$ 使得 $\left\|y_n\right\| \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ．又对每个 $n \in N , y_n \in x+E$ ，故存在 $e_n \in E$ 使得 $y_n=x+e_n$ ．于是

故 $e_n \xrightarrow{\|\cdot\|}-x$ ，再由 $E$ 闭知 $-x \in E$ ，从而 $x \in E=\tilde{\theta}$ ．再由 2．1．2（i）得 $\tilde{x}=\tilde{\theta}$ ．
（ii）验证 $\|k \tilde{x}\|=|k|\|\tilde{x}\|$ ．

$$
\begin{aligned}
\|k \tilde{x}\|=\|\widetilde{k x}\| & =\inf \{\|y\|: y \in \widetilde{k x}\}=\inf \left\{|k|\left\|\frac{y}{k}\right\|: \frac{y}{k} \in \tilde{x}\right\} \\
& =|k| \inf \{\|z\|: z \in \tilde{x}\}=|k|\|\tilde{x}\|
\end{aligned}
$$

（iii）验证 $\|\tilde{x}+\tilde{y}\| \leq\|\tilde{x}\|+\|\tilde{y}\|$ ．

$$
\begin{aligned}
\|\tilde{x}+\tilde{y}\|=\|\widetilde{x+y}\| & =\inf \{\|x+y\|: x \in \tilde{x}, y \in \tilde{y}\} \\
& \leq\left\|x^{\prime}+y^{\prime}\right\| \leq\left\|x^{\prime}\right\|+\left\|y^{\prime}\right\|, \quad \forall x^{\prime} \in \tilde{x}, y^{\prime} \in \tilde{y}
\end{aligned}
$$

上式先对 $x^{\prime} \in \tilde{x}$ 取＂inf＂，在对 $y^{\prime} \in \tilde{y}$ 取＂inf＂，可得 $\|\tilde{x}+\tilde{y}\| \leq\|\tilde{x}\|+\|\tilde{y}\|$ ．
定义2．1．12．设 $X$ 为赋范线性空间，$E \subset X$ 为闭子空间，则 $X$ 关于 $E$ 的等价类的全体 $X / E$ 在商范数下构成赋范线性空间，称为商空间。

定理 2．1．4．设 $X$ 为 Banach 空间，$E \subset X$ 为闭子空间（从而也是 Banach 空间），则 $X / E$ 在商范数下是 Banach 空间。

证明

例 2．1．2．在 $L^p[a, b]$ 中，规定几乎处处相等的函数为同一个元，实际上可以从商空间的角度来描述：作

$$
L ^p[a, b]=\{x(t): x(t) \text { 为 }[a, b] \text { 上 } p \text { 次幂 } L \text {-可积函数 }\}
$$

注意，规定 $L ^p[a, b]$ 中两个函数只要在某一点处函数值不同就认为是两个不同的元。令

$$
L_0=\{f(t): f(t)=0, \text { a.e. } t \in[a, b]\}
$$

易知，$L_0$ 是 $L ^p[a, b]$ 的闭线性子空间。则有 $L^p[a, b]= L ^p[a, b] / L_0$ ．

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