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赋范线性空间中的级数

五．赋范线性空间中的级数
定义 2．1．13．设 $X$ 为赋范线性空间，定义无穷级数

$$
\sum_{n=1}^{\infty} x_n=x_1+x_2+\cdots, \quad \text { 其中, } x_n \in X
$$

对每个 $n \in N$ ，记 $s_n=\sum_{k=1}^n x_k$ ，若 $\left\{s_n\right\}$ 收敛，即存在 $x \in X$ 使得 $\left\|s_n-x\right\| \rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛，$x$ 称为该无穷级数的和，记为 $x=\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ ．

命题 2．1．3．设 $X$ 为赋范线性空间，
（i）若 X 完备，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left\|x_n\right\|$ 收敛，则无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛；
（ii）若任意的 $\sum_{n=1}^{\infty}\left\|x_n\right\|$ 收敛都蕴含 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ 收敛，则 $X$ 完备，从而是 Banach 空间。
证明（i）只需证 $\left\{s_n\right\}$ 收玫，又 $X$ 完备，只需证 $\left\{s_n\right\}$ 是柯西列。

$$
\left\|s_{n+p}-s_n\right\|=\left\|x_{n+1}+\cdots+x_{n+p}\right\| \leq\left\|x_{n+1}\right\|+\cdots+\left\|x_{n+p}\right\|
$$

由于 $\sum_{n=1}^{\infty}\left\|x_n\right\|$ 收玫，故上述右端 $\rightarrow 0,(n \rightarrow \infty)$ ．从而 $\left\{s_n\right\}$ 是柯西列。再注意到范数的连续性，

$$
\left\|\sum_{n=1}^{\infty} x_n\right\|=\left\|\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n x_k\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\sum_{k=1}^n x_k\right\| \leq \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left\|x_k\right\|=\sum_{n=1}^{\infty}\left\|x_n\right\|
$$

（ii）任取 $\left\{x_n\right\} \subset X$ 为柯西列，则由命题 1．4．4，存在子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 满足

$$
\left\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\|<\frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \cdots
$$

从而

$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\|<\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}=1
$$

由题设知，$\sum_{k=1}^{\infty}\left(x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right)$ 收敛，从而无穷级数 $x_{n_1}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right)$ 收敛，记其和为 $x$ ，故其前 $k$ 项和 $s_k=x_{n_k}$ 收玫到 $x$ 。 又若柯西列的某子列收敛，则整个柯西列必收敛到相同极限，故 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，从而 $X$ 完备。

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