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正交与正交分解

3.2 正交与正交分解

一．正交与正交补
定义 3．2．1．设 $H$ 为内积空间，$x, y \in H$ 为非零元，则 Schwarz 不等式

$$
|\langle x, y\rangle| \leq\|x\|\|y\| \quad \Rightarrow \quad-1 \leq \frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|} \leq 1
$$

定义

$$
\alpha=\arccos \frac{\langle x, y\rangle}{\|x\|\|y\|}
$$

称为 $x$ 与 $y$ 的央角。
定义 3．2．2．设 $H$ 为内积空间，$x, y \in H$ ，若 $\langle x, y\rangle=0$ ，则称 $x$ 与 $y$ 正交，记为 $x \perp y$ 。

显然，零元与任何元都正交，两个非零元正交即二者的夹角为 $\frac{\pi}{2}$ ．
定理 3．2．1．（勾股定理）设 $H$ 为内积空间，$x, y, z \in H$ 满足 $z=x+y$ 且 $x \perp y$ ，则 $\|z\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$ ．

证明 由于 $x \perp y$ ，故 $\langle x, y\rangle=\langle y, x\rangle=0$ ，从而

$$
\|z\|^2=\|x+y\|^2=\langle x+y, x+y\rangle
$$
$$
\begin{aligned}
& =\langle x, x\rangle+\langle x, y\rangle+\langle y, x\rangle+\langle y, y\rangle \\
& =\|x\|^2+\|y\|^2
\end{aligned}
$$

定理得证。
定义 3．2．3．设 $H$ 为内积空间，$M, N \subset H, x \in H$ ，若

$$
\langle x, y\rangle=0, \quad \forall y \in M
$$

则称 $x$ 与 $M$ 正交，记为 $x \perp M$ ．若

$$
\langle x, y\rangle=0, \quad \forall x \in M, \forall y \in N
$$

则称 $M$ 与 $N$ 正交，记为 $M \perp N$ ．
定义 3．2．4．设 $H$ 为内积空间，$M \subset H$ ，则与 $M$ 正交的元的全体称为 $M$ 的正交补，记为 $M^{\perp}$ ，即

$$
M^{\perp}=\{x \in H: x \perp M\}
$$

命题 3．2．1．设 $H$ 为内积空间，$M \subset H$ ，则下列性质成立：

（i）$\theta \in M^{\perp}$ ；
（ii）若 $\theta \in M$ ，则 $M \cap M^{\perp}=\{\theta\}$ ，否则 $M \cap M^{\perp}=\varnothing$ ；
（iii）$\{\theta\}^{\perp}=H, H^{\perp}=\{\theta\}$ ；
（iv）若 $N \subset M$ ，则 $N^{\perp} \supset M^{\perp}$ ；
（v）$M \subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ ；
（vi）$M^{\perp}$ 是闭线性子空间；
（vii）若存在开球 $U\left(x_0, r\right) \subset M$ ，则 $M^{\perp}=\{\theta\}$ ．
证明（i），（iii），（iv）显然。
（ii）由（i）和题设知 $\{\theta\} \subset M \cap M^{\perp}$ ．反过来，若 $x \in M \cap M^{\perp}$ ，则 $x \in M, x \in M^{\perp}$ ，故 $\langle x, x\rangle=0$ ，从而 $x=\theta$ ，这说明 $M \cap M^{\perp} \subset\{\theta\}$ ．因此，$M \cap M^{\perp}=\{\theta\}$ ．

若 $\theta \notin M$ ，显然有 $M \cap M^{\perp}=\varnothing$ ．
（v）对 $\forall x \in M$ ，都有 $x \perp M^{\perp}$ ，故 $x \in\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ ，从而 $M \subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$ ．
（vi）设 $x, y \in M^{\perp}$ ，则对 $\forall z \in M$ ，都有 $\langle x, z\rangle=0,\langle x, z\rangle=0$ ，从而对 $\forall k \in K$ ，有

$$
\langle k x+y, z\rangle=k\langle x, z\rangle+\langle y, z\rangle=0
$$

故 $k x+y \in M^{\perp}$ ，因此 $M^{\perp}$ 是线性子空间。
设 $x_n \in M^{\perp}, x_n \xrightarrow{\|\cdot\|} x$ ，则对 $\forall z \in M$ ，都有 $\left\langle x_n, z\right\rangle=0$ ，由内积的连续性可得

$$
\langle x, z\rangle=\left\langle\lim _{n \rightarrow \infty} x_n, z\right\rangle=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\langle x_n, z\right\rangle=0
$$

故 $x \in M^{\perp}$ ，从而 $M^{\perp}$ 闭。
（vii）设 $y \in M^{\perp}$ ，由于 $U\left(x_0, r\right) \in M$ ，则 $y \perp U\left(x_0, r\right)$ ，从而 $y \perp k U\left(x_0, r\right), \forall k \in K$ ．又对 $\forall x \in H$ ，都存在 $k_0 \in K$ 使得 $x \in k_0 U\left(x_0, r\right)$ ，故 $y \perp x$ ，注意到 $x \in H$ 的任意性，必有 $y=\theta$ ．

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