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最佳逼近问题

二．最佳逼近问题
定义3．2．5．设 $X$ 为赋范线性空间，$C \subset X, x \in X-C$ ，若存在点 $y_0 \in C$ 使得

$$
\left\|x-y_0\right\|=d(x, C)=\inf _{y \in C}\|x-y\|
$$

则称 $y_0$ 是 $x$ 在 $C$ 中的最佳逼近元。
最佳逼近元问题就是研究：最佳逼近元是否存在？若存在，是否唯一？
定理 2．2．2 表明赋范线性空间中任一点 $x \in X$ 在有限维子空间 $X_0$ 中必存在最佳逼近元。

命题 3．2．2．若 $X$ 是严格凸的赋范线性空间，则最佳逼近元若存在，必唯一。
证明 假设存在 $y \neq z \in C$ 都是 $x$ 在 $C$ 中的最佳逼近元，即

$$
\|x-y\|=\|x-z\|=d(x, C) \triangleq d
$$

不妨设 $d>0$ ．则 $\frac{x-y}{d}, \frac{x-z}{d} \in S(X)$ ，从而由 $X$ 的严格凸性，对 $\forall \lambda \in(0,1)$ 有

$$
\begin{aligned}
\|x-[\lambda y+(1-\lambda) z]\| & =\|\lambda(x-y)+(1-\lambda)(x-z)\| \\
& =d\left\|\lambda \frac{x-y}{d}+(1-\lambda) \frac{x-z}{d}\right\| \\
& < d
\end{aligned}
$$

这与 $d$ 的定义矛盾。
定理 3．2．2．（Hilbert 空间最佳逼近定理）设 $H$ 为 Hilbert 空间， $C \subset H$ 为非空闭凸集，则对 $\forall x \in H$ ，都在 $C$ 中存在唯一的最佳逼近元。

证明（1）存在性．不妨设 $C$ 为 $H$ 的真子集，且 $x \notin C$ ．记 $d=\inf _{y \in C}\|x-y\|$ ，则存在 $\left\{y_n\right\} \subset C$ 使得

$$
\left\|x-y_n\right\| \rightarrow d, \quad n \rightarrow \infty
$$

由于 $C$ 是凸集，则对 $\forall n \neq m$ 有 $\frac{y_n+y_m}{2} \in C$ ，从而

$$
\left\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\| \geq d, \quad n \neq m
$$

由平行四边形法则，

$$
\begin{aligned}
\left\|y_n-y_m\right\|^2 & =\left\|\left(y_n-x\right)+\left(x-y_m\right)\right\|^2 \\
& =2\left\|y_n-x\right\|^2+2\left\|x-y_m\right\|^2-\left\|\left(y_n-x\right)-\left(x-y_m\right)\right\|^2 \\
& =2\left\|y_n-x\right\|^2+2\left\|x-y_m\right\|^2-4\left\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2 \\
& \leq 2\left\|y_n-x\right\|^2+2\left\|x-y_m\right\|^2-4 d^2
\end{aligned}
$$

令 $n, m \rightarrow \infty$ ，得 $\left\|y_n-y_m\right\| \rightarrow 0$ ．故 $\left\{y_n\right\}$ 是 $H$ 中的柯西列，又 $H$ 完备，$C$ 闭，故存
在 $y_0 \in C$ 使得 $y_n \rightarrow y_0,(n \rightarrow \infty)$ ．再由范数的连续性，可得

$$
d=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|x-y_n\right\|=\left\|x-\lim _{n \rightarrow \infty} y_n\right\|=\left\|x-y_0\right\|
$$

（2）唯一性．假设存在 $z_0 \in C$ 满足 $\left\|x-z_0\right\|=d$ ．由 $C$ 凸，则 $\frac{y_0+z_0}{2} \in C$ ，从而

$$
\left\|x-\frac{y_0+z_0}{2}\right\| \geq d
$$

再由平行四边形法则，可得

$$
\begin{aligned}
\left\|y_0-z_0\right\|^2 & =\left\|\left(y_0-x\right)+\left(x-z_0\right)\right\|^2 \\
& =2\left\|y_0-x\right\|^2+2\left\|x-z_0\right\|^2-\left\|\left(y_0-x\right)-\left(x-z_0\right)\right\|^2 \\
& =2 d^2+2 d^2-4\left\|x-\frac{y_0+z_0}{2}\right\|^2 \\
& \leq 4 d^2-4 d^2=0
\end{aligned}
$$

从而，$y_0=z_0$ ．

注 3．2．1．一般无限维 Banach 空间的闭凸子集，最佳逼近元不一定存在。
定理 3．2．3．（锐角定理）设 $H$ 为内积空间，$C \subset H$ 为闭凸子集，对 $\forall x \in H$ ， $y_0$ 是 $x$ 在 $C$ 中的最佳逼近元，当且仅当

$$
\operatorname{Re}\left\langle x-y_0, y_0-y\right\rangle \geq 0, \quad \forall y \in C
$$

证明 对 $\forall y \in C$ ，令

$$
\varphi_y(t)=\left\|x-\left[t y+(1-t) y_0\right]\right\|^2, \quad t \in[0,1]
$$

则 $y_0$ 是 $x$ 在 $C$ 中的最佳逼近元，当且仅当

$$
\varphi_y(t) \geq \varphi_y(0), \quad \forall y \in C, \forall t \in[0,1]
$$

下面证明式（3．3）与（3．2）等价：

$$
\begin{aligned}
\varphi_y(t) & =\left\|\left(x-y_0\right)+t\left(y_0-y\right)\right\|^2 \\
& =\left\langle\left(x-y_0\right)+t\left(y_0-y\right),\left(x-y_0\right)+t\left(y_0-y\right)\right\rangle \\
& =\left\|x-y_0\right\|^2+t\left\langle x-y_0, y_0-y\right\rangle+t\left\langle y_0-y, x-y_0\right\rangle+t^2\left\|y-y_0\right\|^2 \\
& =\left\|x-y_0\right\|^2+2 t \cdot \operatorname{Re}\left\langle x-y_0, y_0-y\right\rangle+t^2\left\|y_0-y\right\|^2
\end{aligned}
$$

注意到，$\varphi_y^{\prime}(0)=2 \operatorname{Re}\left\langle x-y_0, y_0-y\right\rangle, \varphi_y(0)=\left\|x-y_0\right\|^2$ ，则有

$$
\varphi_y(t)-\varphi_y(0)=\varphi_y^{\prime}(0) \cdot t+t^2\left\|y_0-y\right\|^2
$$

从而，式 $(3.3) \Leftrightarrow \varphi_y(t)-\varphi_y(0) \geq 0 \Leftrightarrow \varphi_y^{\prime}(0) \geq 0 \Leftrightarrow$ 式（3．2）．

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