最后更新: 2025-04-27 21:39 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

Hahn-Banach延拓定理

一．Hahn－Banach 延拓定理及推论
设 $X$ 为赋范线性空间，则 $X$ 的共轭空间：

$$
X^*=\{f: f \text { 为 } X \text { 上有界线性泛函 }\}
$$

问题：是否有足够多的有界线性泛函可以区分 $X$ 中的元？即对 $\forall x_1 \neq x_2 \in X$ ，是否存在 $f \in X^*$ 使得 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ？从几何上看，这相当于一种分离。

定义 5．1．1．设 $f$ 为 $E \subset X$ 上的线性泛函，若 $F$ 为 $X$ 上的线性泛函，且满足

$$
F(x)=f(x), \quad \forall x \in E
$$

则称 $F$ 为 $f$ 在 $X$ 上的一个延拓；若再有 $\|F\|=\|f\|$ ，则称为保范延拓。
引理 5．1．1．（Zorn 引理）设 $X$ 为非空半序集，若 $X$ 的任一全序子集都有上界，则 $X$ 有极大元。

定理 5．1．1．（实 Hahn－Banach 延拓定理）设 $X$ 为实贱范线性空间，$X_0$ 为 $X$ 的线性子空间，$f$ 为 $X_0$ 上的有界线性泛函，则 $f$ 可保范延拓到 $X$ 上，即存在 $F \in X^*$ 使得
（i）$F(x)=f(x), \forall x \in X_0$ ；
（ii）$\|F\|=\|f\|_{X_0}$ ．

一．Hahn－Banach 延拓定理及推论
设 $X$ 为赋范线性空间，则 $X$ 的共轭空间：

$$
X^*=\{f: f \text { 为 } X \text { 上有界线性泛函 }\}
$$

定义 5．1．1．设 $f$ 为 $E \subset X$ 上的线性泛函，若 $F$ 为 $X$ 上的线性泛函，且满足

$$
F(x)=f(x), \quad \forall x \in E
$$

下面选取 $f_1\left(x_1\right)$ 的值以保证（ii）成立。对 $\forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in X_0$ ，有

$$
\begin{aligned}
f\left(x^{\prime}\right)+f\left(x^{\prime \prime}\right) & =f\left(x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right) \leq\|f\|_{X_0}\left\|x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right\| \\
& \leq\|f\|_{X_0}\left\|x^{\prime}-x_1\right\|+\|f\|_{X_0}\left\|x_1+x^{\prime \prime}\right\|
\end{aligned}
$$

故

$$
f\left(x^{\prime}\right)-\|f\|_{X_0}\left\|x^{\prime}-x_1\right\| \leq\|f\|_{X_0}\left\|x_1+x^{\prime \prime}\right\|-f\left(x^{\prime \prime}\right), \quad \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in X_0
$$

从而

$$
\sup _{x \in X_0}\left\{f(x)-\|f\|_{X_0}\left\|x-x_1\right\|\right\} \leq \inf _{x \in X_0}\left\{\|f\|_{X_0}\left\|x_1+x\right\|-f(x)\right\}
$$

取 $f_1\left(x_1\right) \in\left[\sup _{x \in X_0}\left\{f(x)-\|f\|_{X_0}\left\|x-x_1\right\|\right\}, \inf _{x \in X_0}\left\{\|f\|_{X_0}\left\|x_1+x\right\|-f(x)\right\}\right]$ ，由于

$$
\left\|f_1\right\|=\sup _{x \in S\left(X_1\right)} f_1(x) \geq \sup _{x \in S\left(X_0\right)} f_1(x)=\sup _{x \in S\left(X_0\right)} f(x)=\|f\|_{X_0}
$$

故只需验证

$$
\left|f_1\left(x+\lambda x_1\right)\right| \leq\|f\|_{X_0}\left\|x+\lambda x_1\right\|, \quad \forall x \in X_0, \lambda \in R
$$

为此先证明

$$
f_1\left(x+\lambda x_1\right) \leq\|f\|_{X_0}\left\|x+\lambda x_1\right\|, \forall x \in X_0, \lambda \in R
$$

若 $\lambda=0$ ，则式（5．2）显然成立；
若 $\lambda>0$ ，注意到 $\left.f_1\left(x_1\right) \leq \inf _{x \in X_0}\left\{\|f\|_{X_0}\left\|x_1+x\right\|-f(x)\right\}\right]$ ，则有

$$
\begin{aligned}
f_1\left(x+\lambda x_1\right) & =f(x)+\lambda f_1\left(x_1\right)=\lambda\left[f\left(\frac{x}{\lambda}\right)+f_1\left(x_1\right)\right] \\
& \leq \lambda\left[f\left(\frac{x}{\lambda}\right)+\|f\|_{X_0}\left\|\frac{x}{\lambda}+x_1\right\|-f\left(\frac{x}{\lambda}\right)\right] \\
& =\lambda\|f\|_{X_0}\left\|\frac{x}{\lambda}+x_1\right\| \\
& =\|f\|_{X_0}\left\|x+\lambda x_1\right\|
\end{aligned}
$$

若 $\lambda<0$ ，注意到 $f_1\left(x_1\right) \geq \sup _{x \in X_0}\left\{f(x)-\|f\|_{X_0}\left\|x-x_1\right\|\right\}$ ，则有

$$
\begin{aligned}
f_1\left(x+\lambda x_1\right) & =f(x)+\lambda f_1\left(x_1\right)=-\lambda\left[f\left(-\frac{x}{\lambda}\right)-f_1\left(x_1\right)\right] \\
& \leq-\lambda\left[f\left(-\frac{x}{\lambda}\right)-f\left(-\frac{x}{\lambda}\right)+\|f\|_{X_0}\left\|-\frac{x}{\lambda}-x_1\right\|\right] \\
& =-\lambda\|f\|_{X_0}\left\|-\frac{x}{\lambda}-x_1\right\| \\
& =\|f\|_{X_0}\left\|x+\lambda x_1\right\|
\end{aligned}
$$

综上式（5．2）成立。再在式（5．2）中，把 $x$ 换成 $-x, \lambda$ 换成 $-\lambda$ ，可得

$$
f(-x)-\lambda f_1\left(x_1\right) \leq\|f\|_{X_0}\left\|-x-\lambda x_1\right\|
$$

从而

$$
f(x)+\lambda f_1\left(x_1\right) \geq-\|f\|_{x_0}\left\|x+\lambda x_1\right\|, \quad \forall x \in X_0, \lambda \in R
$$

因此，式（5．1）成立。
（2）任取 $x_2 \in X-X_1$ ，令 $X_2=\left\{x+\lambda x_2: x \in X_1, \lambda \in R \right\}$ ，用类似（1）的方法，可构造出 $f_1$ 保范延拓到 $X_2$ 上的线性泛函 $f_2$ ．依次类推 $\cdots \cdots$

记 $X_0$ 上 $f$ 的保范延拓的全体为：

$$
F =\left\{\left(X_\alpha, f_\alpha\right): X_0 \subset X_\alpha \subset X, f_\alpha(x)=f(x), \forall x \in X_0,\left\|f_\alpha\right\|=\|f\|\right\}
$$

在 $F$ 上定义半序：

$$
\left(X_1, f_1\right) \preccurlyeq\left(X_2, f_2\right) \Leftrightarrow X_1 \subset X_2, f_2(x)=f_1(x), \forall x \in X_1
$$

构成半序集。对 $\{ F , \preccurlyeq\}$ 中任一全序子集 $\left\{ F _0, \preccurlyeq\right\}$ ，令

$$
X_{ F _0}=\bigcup_{\left(X_\alpha, f_\alpha\right) \in F _0} X_\alpha, \quad f_{ F _0}(x)=f_\alpha(x), \forall x \in X_\alpha
$$

则 $\left(X_{ F _0}, f_{ F _0}\right)$ 是 $\left\{ F _0, \preccurlyeq\right\}$ 的上界，由 Zorn 引理，$\{ F , \preccurlyeq\}$ 存在极大元，记为 $\left(X_{ F }, f_{ F }\right)$ 。
下面证明 $X_{ F }=X$ ．若不然，则 $\exists \tilde{x} \in X-X_{ F }$ ，按照前面（1）的方法可构造 $\tilde{X}=$ $\operatorname{span}\left\{X_{ F }, \tilde{x}\right\}$ 以及 $\tilde{f}$ 满足

$$
\left(X_{ F }, f_{ F }\right) \preccurlyeq(\tilde{X}, \tilde{f}), \quad \text { 但 } \quad\left(X_{ F }, f_{ F }\right) \neq(\tilde{X}, \tilde{f})
$$

这与 $\left(X_{ F }, f_{ F }\right)$ 为极大元矛盾。因此，$X_{ F }=X$ ，再取 $F=f_{ F }$ 即可。
注 5．1．1．（i）证明中＂$f_1\left(x_1\right)$＂的选取可能不唯一，故线性泛函的保范延拓也可能不唯一；
（ii）定理中的范数改成半范数 ${ }^1$ ，结论也成立。

证明 设 $f(x)=\varphi(x)+i \psi(x)$ ，其中，$\varphi(x), \psi(x)$ 分别为 $f(x)$ 的实部和虚部，则 $\varphi, \psi$ 为 $X_0$ 上的实有界线性泛函。由于 $f$ 是（复）线性的，则 $f(i x)=i f(x)$ ，即

$$
\varphi(i x)+i \psi(i x)=i \varphi(x)-\psi(x)
$$

故 $\varphi(i x)=-\psi(x)$ ，代入 $f(x)$ 得

$$
f(x)=\varphi(x)-i \varphi(i x)
$$

故只需考虑 $\varphi$ 的延拓，不妨将 $X, X_0$ 看作实赋范线性空间，由实 Hahn－Banach 延拓定理，$\varphi$ 可保范延拓到 $X$ 上，记为 $\Phi$ ．令

$$
F(x)=\Phi(x)-i \Phi(i x), \quad \forall x \in X
$$

则 $F$ 即为满足条件的保范延拓。

推论 5．1．1．（Hahn－Banach 定理推论）设 $X$ 为赋范线性空间，则对 $\forall x_0 \in X, x_0 \neq \theta$ ，都存在 $f \in S\left(X^*\right)$ 使得 $f\left(x_0\right)=\left\|x_0\right\|$ ．

证明 令 $X_0=\left\{\lambda x_0: \lambda \in K \right\}$ ，则 $X_0$ 是 $X$ 的线性子空间，定义 $X_0$ 上的泛函：

$$
f_0\left(\lambda x_0\right)=\lambda\left\|x_0\right\|, \quad \forall \lambda x_0 \in X_0
$$

易知，$f_0$ 是线性的。又对 $\forall x \in X_0$ ，记 $x=\lambda x_0$ ，则

故

$$
\left\|f_0\right\|_{X_0}=\sup _{x \in S\left(X_0\right)}\left|f_0(x)\right|=\sup _{x \in S\left(X_0\right)}\|x\|=1
$$

从而，$f_0$ 是 $X_0$ 上的有界线性泛函，再由 Hahn－Banach 定理，存在 $X$ 上的有界线性泛函 $f$ 满足

$$
\|f\|=\left\|f_0\right\|=1, \quad f\left(x_0\right)=f_0\left(x_0\right)=\left\|x_0\right\|
$$

结论成立。
注 5．1．2．（i）若 $X \neq\{\theta\}$ ，则 $X$ 上必有非零线性泛函；
（ii）对 $\forall x_1 \neq x_2 \in X$ ，必存在有界线性泛函 $f$ 使得 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ；
（iii）设 $x_0 \in X$ ，若对 $\forall f \in X^*$ 都有 $f\left(x_0\right)=0$ ，则必有 $x_0=\theta$ ．

证明（i）显然；（ii）$x_1-x_2 \neq \theta$ ，则由推论 5．1．1，存在 $f \in S\left(X^*\right)$ 使得 $f\left(x_1-x_2\right)=$ $\left\|x_1-x_2\right\| \neq 0$ ，故 $f\left(x_1\right) \neq f\left(x_2\right)$ ．
（iii）否则，存在 $f \in S\left(X^*\right)$ 使得 $f\left(x_0\right)=\left\|x_0\right\| \neq 0$ ．
推论 5．1．2．设 $X$ 为赋范线性空间，$X_0$ 为 $X$ 的线性子空间，若 $x_0 \in X$ ，且 $d\left(x_0, X_0\right)>$ 0 ，则存在 $f \in S\left(X^*\right)$ 使得
（i）$f(y)=0, \forall y \in X_0$ ；
（ii）$f\left(x_0\right)=d\left(x_0, X_0\right)$ ．
证明 令 $X_1=\left\{y+\lambda x_0: y \in X_0, \lambda \in K \right\}$ ，则 $X_1$ 是 $X$ 的线性子空间，定义 $X_1$ 上的泛函：

$$
f_0\left(y+\lambda x_0\right)=\lambda d\left(x_0, X_0\right), \quad \forall y+\lambda x_0 \in X_1
$$

则易知 $f_0$ 是线性的，又

$$
\begin{gathered}
f_0(y)=f_0\left(y+0 \cdot x_0\right)=0, \quad \forall y \in X_0 \\
f_0\left(x_0\right)=f_0\left(\theta+1 \cdot x_0\right)=d\left(x_0, X_0\right)
\end{gathered}
$$

故 $f_0$ 满足（i）（ii）．下面证明 $\left\|f_0\right\|=1$ ．

对 $\forall x \in X_1-X_0$ ，记 $x=y+\lambda x_0$ ，则 $\lambda \neq 0$ ，故

$$
\begin{aligned}
\left|f_0(x)\right| & =\left|f_0\left(y+\lambda x_0\right)\right|=|\lambda| d\left(x_0, x_0\right) \\
& \leq|\lambda|\left\|x_0-\frac{y}{-\lambda}\right\|=\left\|\lambda x_0+y\right\|=\|x\|
\end{aligned}
$$

从而，$\left\|f_0\right\| \leq 1$ ．又对 $y \in X_0$ ，有

两端关于 $y \in X_0$ 取＂inf＂得

$$
\left\|f_0\right\| d\left(x_0, X_0\right)=\left\|f_0\right\| \inf _{y \in X_0}\left\|x_0-y\right\| \geq d\left(x_0, X_0\right)
$$

故 $\left\|f_0\right\| \geq 1$ ．因此，$\left\|f_0\right\|=1$ ．再由 Hahn－Banach 延拓定理，$f_0$ 可保范延拓到 $X$ 上，即为要求的 $f$ ．

注 5．1．3．该推论实际上是一种分离性质，若 $X_0$ 是闭线性子空间，$x_0 \neq X_0$ ，则 $d\left(x_0, X_0\right)>0$ ，于是结论成立，即可以用有界线性泛函 $f \in S\left(X^*\right)$ 把 $x_0$ 和 $X_0$ 分开：

$$
d\left(x_0, X_0\right)=f\left(x_0\right)>f(y)=0, \quad \forall y \in X_0
$$

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