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凸集分离定理

定义 5．1．2．设 $X$ 为实赋范线性空间，$\theta \neq f \in X^*, r \in R$ ，称

$$
H_f^r=\{x \in X: f(x)=r\}
$$

为 $X$ 中的超平面。
超平面是平面上直线，空间中平面概念的推广。特别地，

$$
H_f^0=\{x \in X: f(x)=0\}=\operatorname{ker}(f)
$$

命题 5．1．1．$H_f^0$ 是 $X$ 的极大线性子空间 ${ }^2$ ，即对 $\forall x_0 \notin H_f^0$ ，都有 $X=H_f^0 \oplus\left\{\lambda x_0\right\}$ ．
证明 易知 $H_f^0$ 是 $X$ 的真闭线性子空间，任取 $x_0 \in X-H_f^0$ ，则对 $\forall x \in X$ ，做分解：

$$
x=y+z, \quad y \in H_f^0
$$

则 $f(x)=f(y+z)=f(y)+f(z)=f(z)$ ．从而

$$
f(z)=\frac{f(x)}{f\left(x_0\right)} f\left(x_0\right)=f\left(\frac{f(x)}{f\left(x_0\right)} x_0\right)
$$

故 $z=\frac{f(x)}{f\left(x_0\right)} x_0$ ，于是

$$
x=y+\frac{f(x)}{f\left(x_0\right)} x_0 \in\left\{y+\lambda x_0: y \in H_f^0, \lambda \in K \right\}
$$

这表明，$X=H_f^0 \oplus\left\{\lambda x_0\right\}$ ．因此，$H_f^0$ 是 $X$ 的极大线性子空间。

注 5．1．4．$H_f^r$ 闭，且存在 $x_0 \in X$ 使得，$H_f^r=x_0+H_f^0$ ．实际上，取 $x_0 \in X$ 满足 $f\left(x_0\right)=r$ 即可；由 $H_r^0$ 闭可知，$H_f^r$ 闭。

定义 5．1．3．设 $E \subset X$ ，若存在 $f \in X^*$ 及 $r \in R$ ，使得

$$
f(x) \leq r, \quad \forall x \in E \quad \text { 或 } \quad f(x) \geq r, \quad \forall x \in E
$$

则称集合 $E$ 在超平面 $H_f^r$ 的一侧；若再存在 $x_0 \in E \cap H_f^r$ ，则称超平面 $H_f^r$ 在 $x_0$ 处支撑集合 $E$ 。

例 5．1．1．赋范线性空间的闭球 $B(\theta, r)$ ，在其球面 $S=\{x \in X:\|x\|=r\}$ 上的每一点处，都存在支撑超平面 $H_f^r$ ．

证明 若 $x_0 \in S$ ，则由 Hahn－Banach 定理推论，存在 $f \in S\left(X^*\right)$ 使得，$f\left(x_0\right)=$ $\left\|x_0\right\|=r$ ，故 $x_0 \in H_f^r$ ．又对 $\forall x \in B(\theta, r)$ ，有 $f(x) \leq\|f\|\|x\|=\|x\| \leq r$ 。

定义 5．1．4．设 $E, F \subset X$ ，若存在 $f \in X^*$ 及 $r \in R$ ，使得

$$
\left\{\begin{array} { l l } 
{ f ( x ) \leq r , } & { \forall x \in E } \\
{ f ( x ) \geq r , } & { \forall x \in F }
\end{array} \quad \text { 或 } \quad \left\{\begin{array}{ll}
f(x) \geq r, & \forall x \in E \\
f(x) \leq r, & \forall x \in F
\end{array}\right.\right.
$$

则称超平面 $H_f^r$ 分离集合 $E$ 和 $F$ ；若＂$\leq, \geq$＂换成＂$<,>$＂则称为严格分离。
定理 5．1．3．（Hahn－Banach 定理几何形式，凸集分离定理）设 $X$ 为赋范线性空间， $E_1, E_2 \subset X$ 为非空凸集，且 $E_1 \cap E_2=\varnothing, E_1^{\circ} \neq \varnothing$ ，则存在 $r \in R$ 及非零线性泛函 $f \in X^*$ 使得超平面 $H_f^r$ 可分离 $E_1$ 和 $E_2$ ，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x) \leq r, \quad \forall x \in E \\
f(x) \geq r, \quad \forall x \in F
\end{array} \quad \text { 或 } \quad \sup _{x \in E_1} f(x) \leq \inf _{y \in E_2} f(y)\right.
$$

引理 5．1．2．设 $X$ 为赋范线性空间，$f$ 为 $X$ 上的有界线性泛函，则

$$
\inf _{y \in U\left(x_0, r\right)} f(y)<f\left(x_0\right)<\sup _{y \in U\left(x_0, r\right)} f(y)
$$

证明 假设 $\inf _{y \in U\left(x_0, r\right)} f(y)=f\left(x_0\right)$ ．取 $z \in X$ 满足 $\|z\|=r / 2$ 且 $f(z) \neq 0$ ，则 $x_0 \pm$ $z \in U\left(x_0, r\right)$ ，若 $f(z)>0$ ，则

$$
f\left(x_0\right) \leq f\left(x_0-z\right)=f\left(x_0\right)-f(z)<f\left(x_0\right)
$$

矛盾。若 $f(z)<0$ ，则

$$
f\left(x_0\right) \leq f\left(x_0+z\right)=f\left(x_0\right)+f(z)<f\left(x_0\right)
$$

矛盾。故 $\inf _{y \in U\left(x_0, r\right)} f(y)<f\left(x_0\right)$ ．另一个不等式类似可证。

定理 5．1．4．（Ascoli 定理）设 $X$ 为赋范线性空间，$E \subset X$ 为非空凸集，则对 $\forall x_0 \in$ $X-E$ ，都存在 $f \in X^*$ 及 $r \in R$ ，使得

$$
f(x)<r<f\left(x_0\right), \quad \forall x \in E
$$

证明 由 $E$ 闭，$x_0 \neq E$ ，则存在 $\delta>0$ 使得，$U\left(x_0, \delta\right) \cap E=\varnothing$ ．又 $U\left(x_0, \delta\right)$ 凸， $x_0$ 是它的内点，故由 Hahn－Banach 定理几何形式，存在 $\theta \neq f \in X^*$ 使得

$$
\sup _{x \in E} f(x) \leq \inf _{y \in U\left(x_0, \delta\right)} f(y)<f\left(x_0\right)
$$

注意到，上式右端的不等式是因为 $\inf _{y \in U\left(x_0, \delta\right)} f(y)$ 不可能在 $x_0$ 点处取到。再取 $r \in$ $\left(\sup _{x \in E} f(x), f\left(x_0\right)\right)$ 即可。

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