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泛函分析
第六章 线性算子的谱理论
线性算子的谱理论
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2025-04-27 21:52
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线性算子的谱理论
线性算子的谱理论是与解算子方程紧密联系的,它起源于代数方程,线性方程组,积分方程和微分方程的特征值问题。实际上在泛函分析产生的早期,Volterra, Fredholm,Hilbert 等人就曾研究过该问题,同时它也是泛函分析经久不衰的研究课题。 6.1 线性算子的谱理论 一.谱的概念 先来回顾特征值的概念,对于有限维( $n$ 维)线性空间 $X$ 上的线性算子 $T \in L(X)$ ,是与 $n \times n$ 维矩阵一一对应的。用 $I$ 表示恒等算子,根据矩阵特征值理论,对于 $\lambda \in C$ ,只有两种情况: (1)$(\lambda I-T) x=\theta$ 有非零解 即存在 $x_0 \neq \theta$ ,满足 $T x_0=\lambda x_0$ ,此时,称该 $\lambda$ 为 $T$ 的特征值,称 $x_0$ 为与特征值 $\lambda$ 对应的特征向量。 (2)$(\lambda I-T) x=\theta$ 无非零解 此时,$(\lambda I-T)^{-1}$ 存在,这样的 $\lambda$ 称为 $T$ 的正则值。 有限维线性空间 $X$ 按这些特征值,可以分解成若干关于算子 $T$ 的不变子空间,从而刻画了线性算子的基本性质。 特征值从本质上描述了线性算子的本身结构和作用方式,反映了线性算子有没有逆算子,在什么范围内有逆算子,逆算子是否连续等一系列问题。从而,特征值可用来刻画相应的方程的解的构造,物理学和工程中一些概念或现象就是用算子的特征值描述的。 将有限维空间的特征值概念,一般化到无限维空间,就是谱。 定义 6.1.1.设 $X$ 为 Banach 空间,$T: D(T) \rightarrow X$ 为线性算子,称集合 $$ \rho(T)=\left\{\lamb
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