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有界线性算子的谱

二．有界线性算子的谱
设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ 。若 $\operatorname{dim}(X)<+\infty$ ，根据矩阵的特征值理论，算子 $T$ 的特征值就是特征多项式

$$
\operatorname{det}(\lambda I-T)=0
$$

的根，由代数学基本定理，特征值总是存在的，故 $\sigma(T) \neq \varnothing$ ．

但该方法不能直接推广到无限维空间，考虑到多项式根的存在性也可用解析函数的 Liouville 定理证明，下面设法利用解析性来做推广。我们将证明：有界线性算子的谱集非空，且是复数域C中的有界闭集（紧集）。

定义6．1．3．定义算子值函数：$\rho(T) \rightarrow L(X)$ 为

$$
\lambda \rightarrow(\lambda I-T)^{-1} \triangleq R_\lambda(T), \quad \forall \lambda \in \rho(T)
$$

称为算子 $T$ 的预解式。
引理 6．1．1．设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ ，若 $\|T\| \leq 1$ ，则 $(I-T)^{-1} \in L(X)$ ，且

$$
(I-T)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} T^n, \quad\left\|(I-T)^{-1}\right\| \leq \frac{1}{1-\|T\|}
$$

证明 考虑无穷级数 $\sum_{n=0}^{\infty} T^k=I+T+T^2+\cdots$ 记 $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}$ ，不妨设 $n>m$ ，注意到 $\|T\|<1$ ，则有

$$
\left\|s_n-s_m\right\|=\left\|\sum_{k=m}^{n-1}\right\| \leq \sum_{k=m}^{n-1}\|T\|^k \rightarrow 0, \quad m \rightarrow \infty
$$

从而 $\left\{s_n\right\} \subset L(X)$ 是柯西列，又 $L(X)$ 完备，故存在 $s \in L(X)$ 使得 $s_n \xrightarrow{\|\cdot\|} s$ ．
由于 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T^n\right\| \leq \lim _{n \rightarrow \infty}\|T\|^n=0$ ，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} T^n=\theta$ ．又对每个 $n \in N$ ，有

$$
(I-T)\left(I+T+\cdots+T^{n-1}\right)=\left(I+T+\cdots+T^{n-1}\right)(I-T)=I-T^n
$$

两端令 $n \rightarrow \infty$ 得

$$
(I-T) \cdot \sum_{n=0}^{\infty} T^k=\sum_{n=0}^{\infty} T^k \cdot(I-T)=I
$$

这表明 $I-T$ 有逆算子，且 $(I-T)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} T^n$ ，且

$$
\left\|(I-T)^{-1}\right\|=\left\|\sum_{n=0}^{\infty} T^n\right\| \leq \sum_{n=0}^{\infty}\|T\|^n \leq \frac{1}{1-\|T\|}
$$

定理 6．1．1．设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ ．若 $|\lambda|>\|T\|$ ，则 $\lambda \in \rho(T)$ ，且

$$
R_\lambda(T)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}, \quad\left\|R_\lambda(T)\right\| \leq \frac{1}{|\lambda|-\|T\|}
$$

证明 设 $\lambda \in C$ 满足 $|\lambda|>\|T\|$ ，则 $\left\|\frac{T}{\lambda}\right\|=\frac{\|T\|}{\lambda}<1$ ．注意到引理 6．1．1，则有

$$
(\lambda I-T)^{-1}=\left[\lambda\left(I-\frac{T}{\lambda}\right)\right]^{-1}=\frac{1}{\lambda}\left(I-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1}=\frac{1}{\lambda} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{T}{\lambda}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}
$$

且

$$
\left\|(\lambda I-T)^{-1}\right\|=\left\|\frac{1}{\lambda}\left(I-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1}\right\| \leq \frac{1}{|\lambda|} \cdot \frac{1}{1-\frac{\|T\|}{|\lambda|}}=\frac{1}{|\lambda|-\|T\|}
$$

故 $(\lambda I-T)^{-1} \in L(X)$ ，因此，$\lambda \in \rho(T)$ ．
定理 6．1．2．设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ ，则 $\rho(T)$ 是开集。
证明 任取 $\lambda_0 \in \rho(T)$ ，则 $\left(\lambda_0 I-T\right) T-1 \in L(X)$ ．注意到

$$
\lambda I-T=\left(\lambda_0 I-T\right)-\left(\lambda_0-\lambda\right) I=\left(\lambda_0 I-T\right)\left[I-\left(\lambda_0-\lambda\right)\left(\lambda_0 I-T\right)^{-1}\right]
$$

由引理 6．1．1 知，只要 $\left\|\left(\lambda_0-\lambda\right)\left(\lambda_0 I-T\right)^{-1}\right\|<1$ ，即 $\left|\lambda-\lambda_0\right|<\frac{1}{\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|} \triangleq \delta$ ，就有 $\left[I-\left(\lambda_0-\lambda\right)\left(\lambda_0 I-T\right)^{-1}\right]^{-1}$ 存在，记为 $B \in L(X)$ ．从而

$$
(\lambda I-T)^{-1}=B\left(\lambda_0 I-T\right)^{-1} \in L(X)
$$

这说明 $U\left(\lambda_0, \delta\right) \in \rho(T)$ ，故 $\lambda_0$ 是 $\rho(T)$ 的内点。再由 $\lambda_0$ 的任意性知 $\rho(T)$ 是开集。
引理 6．1．2．（第一预解公式）设 $\lambda, \mu \in \rho(T)$ ，则

$$
R_\lambda(T)-R_\mu(T)=(\mu-\lambda) R_\lambda(T) R_\mu(T)
$$

证明 直接计算，

$$
\begin{aligned}
R_\lambda(T) & =(\lambda I-T)^{-1}=(\lambda I-T)^{-1}(\mu I-T)(\mu I-T)^{-1} \\
& =(\lambda I-T)^{-1}[(\mu-\lambda) I+\lambda I-T)(\mu I-T)^{-1} \\
& =(\mu-\lambda)(\lambda I-T)^{-1}(\mu I-T)^{-1}+(\mu I-T)^{-1} \\
& =(\mu-\lambda) R_\lambda(T) R_\mu(T)+R_\mu(T)
\end{aligned}
$$
定理 6．1．3．预解式 $R_\lambda(T)$ 在 $\rho(T)$ 内是关于 $\lambda$ 的算子值解析函数。
证明（1）先证 $R_\lambda(T)$ 关于 $\lambda$ 连续。
设 $\lambda_0 \in \rho(T)$ ，由定理 6．1．2 证明及引理 6．1．1 知，只要 $\left|\lambda-\lambda_0\right|<\frac{1}{2\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|}$ ，就有

$$
\begin{aligned}
\left\|R_\lambda(T)\right\| & \leq\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|\left\|\left[I-\left(\lambda_0-\lambda\right) R_{\lambda_0}(T)\right]^{-1}\right\| \\
& \leq\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\| \frac{1}{1-\left|\lambda_0-\lambda\right|\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|} \\
& <2\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|
\end{aligned}
$$

再由第一预解式，可得

$$
\begin{aligned}
\left\|R_\lambda(T)-R_{\lambda_0}(T)\right\| & \leq\left|\lambda-\lambda_0\right|\left\|R_\lambda(T)\right\|\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\| \\
& \leq 2\left\|R_{\lambda_0}(T)\right\|^2\left|\lambda-\lambda_0\right| \rightarrow 0, \quad \lambda \rightarrow \lambda_0
\end{aligned}
$$

故 $R_\lambda(T)$ 关于 $\lambda$ 连续。
（2）再证 $R_\lambda(T)$ 关于 $\lambda$ 可微。对 $\forall \lambda_0 \in \rho(T)$ ，由第一预解公式，

$$
\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_0} \frac{R_\lambda(T)-R_{\lambda_0}(T)}{\lambda-\lambda_0}=-\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_0} R_\lambda(T) R_{\lambda_0}(T)=-R_{\lambda_0}^2(T)
$$

故 $R_\lambda(T)$ 在 $\lambda_0$ 点可微，再由 $\lambda_0$ 的任意性知结论成立。
定理 6．1．4．设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ ，则 $\sigma(T) \neq \varnothing$ ．
证明 假设 $\sigma(T)=\varnothing$ ，则 $\rho(T)= C$ ．由定理6．1．3 知，$R_\lambda(T)$ 在 $C$ 上解析，故 $\left\|R_\lambda(T)\right\|$ 在 C 上连续，从而在 $|\lambda| \leq\|T\|$ 上有界。再由定理6．1．1知，当 $|\lambda|>\|T\|$ 时，有

$$
R_\lambda(T)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}, \quad\left\|R_\lambda(T)\right\| \leq \frac{1}{|\lambda|-\| T| |}
$$

于是，对 $\forall \lambda \in C$ ，都有 $\left\|R_\lambda(T)\right\|$ 有界。
对 $\forall f \in L(X)^*$ ，定义数值解析函数 $u_f: C \rightarrow C$ 为

$$
u_f(\lambda)=f\left(R_\lambda(T)\right), \quad \forall \lambda \in C
$$

则 $u_f(\lambda)$ 是全平面上的有界解析函数，由 Liouville 定理，$u_f(\lambda)$ 是只依赖于 $f$ 的常值函数（与 $\lambda$ 无关）。再由 Hahn－Banach 定理推论，$L(X)^*$ 中存在足够多的线性泛函，可以区别 $L(X)$ 中不同的元素。由于对 $\forall f \in L(X)^*$ ，都有 $u_f(\lambda)$ 是常值函数，故 $R_\lambda(T)$ 是与 $\lambda$ 无关的常值算子。从而，由第一预解公式知，$R_\lambda(T) \equiv 0$ 。这与 $I=(\lambda I-T) R_\lambda(T)$ 矛盾。

定理 6．1．5．设 $X$ 为 Banach 空间，$T \in L(X)$ ，则 $\sigma(T)$ 是 $C$ 中的非空有界闭集。

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