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偏微分方程的概念

1.1 偏微分方程的概念

所谓偏微分方程，是指关于多元函数 $u\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)(n \geqslant 2)$ 及其某些偏导数的关系式

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, u, D u, D^2 u, \cdots, D^m u\right)=0,
$$

其中 $F$ 是关于自变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和末知函数 $u$ 及 $u$ 的有限多个偏导数的已知函数，而

$$
D u=\left(u_{x_1}, u_{x_2}, \cdots, u_{x_n}\right),
$$

$$
\begin{aligned}
& D^2 u=\left(u_{x_1 x_1}, \cdots, u_{x_1 x_n}, u_{x_2 x_2}, \cdots, u_{x_2 x_n}, \cdots, u_{x_{n-1} x_{n-1}}, u_{x_{n-1} x_n}, u_{x_n x_n}\right), \\
& \cdots \\
& D^m u=\left\{\left.\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1} \partial x_2^{m_2} \cdots \partial x_n^{m_n}} \right\rvert\, m_1, m_2, \cdots, m_n \text { 为非负整数, } \sum_{i=1}^n m_i=m\right\} .
\end{aligned}
$$

下面举几个常见的例子．

输运方程：

$$
u_t+ b \cdot D u=0 \text {, 其中 } b \text { 为常向量. }
$$

Hamilton－Jacobi（哈密顿－雅可比）方程： $u_t+H\left( D u, x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0$ ，其中 $H\left(p, x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 是其自变量的非线性函数．

波动方程：

$$
u_{t t}-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0 \text {, 其中 } a \text { 为正常数. }
$$

热传导方程：

$$
u_t-a^2\left(u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}\right)=0 \text {, 其中 } a \text { 为正常数. }
$$

Laplace（拉普拉斯）方程：

$$
u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}=0
$$

Poisson 方程：

$$
u_{x_1 x_1}+u_{x_2 x_2}+\cdots+u_{x_n x_n}=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) .
$$

极小曲面方程：

$$
\left(1+u_y^2\right) u_{x x}-2 u_x u_y u_{x y}+\left(1+u_x^2\right) u_{y y}=0 .
$$

Monge－Ampère（蒙日－安培）方程：

$$
\operatorname{det}\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}\right)=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \text {, 其中 } f \text { 为已知函数. }
$$

Burgers（伯格斯）方程：

$$
u_t+u u_x=u_{x x} .
$$

KdV（Korteweg－de Vries（科尔泰沃赫－德弗里斯））方程：

$$
u_t+u u_x+u_{x x x}=0 .
$$

Camassa－Holm（卡玛萨－侯姆）方程：

$$
u_t-u_{x x t}+3 u u_x=2 u_x u_{x x}+u u_{x x x} .
$$

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