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线性偏微分方程

1.4 线性偏微分方程

若方程关于未知函数及其各阶偏导数都是线性的，则称它为线性偏微分方程．例如方程（1．2），（1．4）－（1．7）都是线性偏微分方程．在线性偏微分方程中，不含有未知函数 $u$ 及它的偏导数的项称为自由项；当自由项为零时，称方程为齐次方程，如方程（1．2），（1．4）—（1．6）；否则就称为非齐次方程，如方程（1．7）．

一般的线性齐次偏微分方程可写为

$$
L u=0,
$$

线性非齐次偏微分方程可写为

$$
L u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),
$$

其中 $L$ 是某一线性偏微分算子，例如

$$
\begin{gathered}
L =\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\right), \\
L =\frac{\partial}{\partial t}-a^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}\right), \\
L =\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}
\end{gathered}
$$

等．所谓线性算子，是指对任意的函数 $u, v$ 及常数 $c$ ，总有

$$
L (u+v)= L u+ L v, \quad L (c u)=c L u .
$$

由（1．16）式，我们可得到关于线性方程的如下叠加原理．
定理 1.1 若 $u_1, u_2, \cdots, u_N$ 是线性齐次方程（1．14）的解，则 $u=c_1 u_1+$ $c_2 u_2+\cdots+c_N u_N$ 也是方程（1．14）的解；若 $u_1, u_2, \cdots, u_N$ 是线性非齐次方程（1．15）的解，则 $u=c_1 u_1+c_2 u_2+\cdots+c_N u_N$ 是线性非齐次方程

$$
L u=f \sum_{i=1}^N c_i
$$

的解，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_N$ 是任意常数．

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