最后更新: 2026-02-06 18:35 查看: 39 次纠错评论(0) 课件开VIP

附录2:一阶微分方程存在唯一性定理及解对初值的连续相依性定理的证明

## 解存在唯一性定理及连续相依性定理的证明
**1）逐次皮卡近似**
考虑由 $R ^2$ 中一个区域内的二元函数 $f(t, y)$ 确定的方程

$$
\frac{d y}{d t}=f(t, y)
$$

所谓的皮卡（Picard）映射指的是由

$$
(T \varphi)(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(\tau, \varphi(\tau)) d \tau
$$

所定义的，函数 $\varphi: t \rightarrow y$ 到函数 $T \varphi: t \rightarrow y$ 的映射．
几何上从 $\varphi$ 到函数 $T \varphi$ 的变换意味着用一条曲线 $\varphi$ 构造一条新的曲线 $T \varphi$ ， $T \varphi$ 在每一点 $t$ 的切线平行于由 $\varphi$ 所确定的方向场，而不平行于在新曲线 $T \varphi$ 上的方向场．注意到，$\varphi$ 是满足初始条件 $\varphi\left(t_0\right)=y_0$ 的解当且仅当 $\varphi=T \varphi$ ．

在压缩映射原理的启发下，现在考虑逐次皮卡近似 $\varphi, T \varphi, T^2 \varphi, T^3 \varphi, \cdots$ ，如从 $\varphi=y_0$ 开始。

为了证明逐次近似解的收敛性，构造一个完备的度量空间，在这个空间中皮卡映射是一个压缩映射。

**2）解的存在唯一性定理及解对初值的连续相依性定理的证明**
设 $T: M_1 \rightarrow M_2$ 是度量空间 $M_1$（具有度量 $\rho_1$ ）映入度量空间 $M_2$（具有度量 $\left.\rho_2\right)$ 的一个映射，并设 $L$ 是一个实数．

定义 6 若映射 $T$ 使 $M_1$ 的任何两点间的距离增加不大于 $L$ 倍，$\rho_2(T x, T y) \leqslant$ $L \rho_1(x, y)\left(\forall x, y \in M_1\right)$ ，则称映射 $T$ 满足具有常数 $L$ 的利普希茨（Lipschitz）条件（记为 $T \in \operatorname{Lip} L)$ 。若存在一个常数 $L$ ，使得 $T \in \operatorname{Lip} L$ ，则映射 $T$ 称为满足利普希茨条件，$L$ 称为利普希茨常数．

假定微分方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 的右端 $f(t, y)$ 在区域 $U$ 上关于 $y$ 满足利普希茨条件．考虑任一点 $\left(t_0, y_0\right) \in U$ ．对充分小的 $a, b$ ，矩形

$$
\Gamma=\left\{(t, y) \in R ^2| | t-t_0\left|\leqslant a,\left|y-y_0\right| \leqslant b\right\}\right.
$$

位于区域 $U$ 中．设 $C$ 和 $L$ 分别表示 $f$ 在 $\Gamma$ 中的上确界和关于 $y$ 的利普希茨常数．
现设 $K_0$ 是具有顶点 $\left(t_0, y_0\right)$ 的锥形，它的＂开口＂为 $C$ 和高度为 $a^{\prime}$ ，于是

$$
K_0=\left\{(t, y) \in R ^2| | t-t_0\left|\leqslant a^{\prime},\left|y-y_0\right| \leqslant C\right| t-t_0 \mid\right\}
$$

如果数 $a^{\prime}$ 足够小，则锥形 $K_0$ 位于矩形 $\Gamma$ 的内部．又若数 $a^{\prime}, b^{\prime}$ 足够小，则由 $K_0$ 通过把顶点平行移动到点 $\left(t_0, y^{\prime}\right)$ 而得到的每个锥形 $K_{y^{\prime}}$ 也位于矩形 $\Gamma$ 的内部，此处 $\left|y^{\prime}-y_0\right| \leqslant b^{\prime}$ ．假定数 $a^{\prime}, b^{\prime}$ 足够小，使得 $K_{y^{\prime}} \subset \Gamma$ ，将寻求方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 形如

$$
\varphi(t)=y^{\prime}+h\left(t, y^{\prime}\right)
$$

的满足初始条件 $\varphi\left(t_0\right)=y^{\prime}$ 的解 $\varphi$ ，对应的积分曲线则位于锥形 $K_{y^{\prime}}$ 的内部．
考虑由矩形区域 $D=\left\{(t, y) \in R ^2| | t-t_0\left|\leqslant a^{\prime},\left|y-y_0\right| \leqslant b^{\prime}\right\}\right.$ 映入欧氏空间 $R$的所有可能的二元连续函数 $h(t, y)$ ．设 $M$ 表示满足附加条件

$$
|h(t, y)| \leqslant C\left|t-t_0\right|
$$

的这些函数的集合．通过定义

$$
\rho\left(h_1, h_2\right)=\max _{(t, y) \in D}\left|h_1(t, y)-h_2(t, y)\right|, \quad \forall h_1, h_2 \in M
$$

在 $M$ 中引进了一个度量 $\rho$ ．
定理2 赋予度量 $\rho$ 的集合 $M$ 是一个完备的度量空间．
证明 $\forall\left\{h_n\right\} \subset M$ 为 Cauchy 列，即 $\rho\left(h_m, h_n\right) \rightarrow 0(m, n \rightarrow \infty)$ ，则 $h_n$ 在矩形区域 $D$ 上一致收敛．设 $h_n$ 一致收敛于 $h$ ，则 $h$ 是连续函数．又 $\left|h_n(t, y)\right| \leqslant C\left|t-t_0\right|$ ，令 $n \rightarrow \infty$ 得 $|h(t, y)| \leqslant C\left|t-t_0\right|$ ，可知 $h \in M$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} h_n=h$ ．

下面引入由

$$
(T h)(t, y)=\int_{t_0}^t f(\tau, y+h(\tau, y)) d \tau
$$

所定义的映射 $T: M \rightarrow M$ ．

由于 $h \in M,|h(t, y)| \leqslant C\left|t-t_0\right|$ ，点 $(\tau, y+h(\tau, y)) \in K_y$ ，因此，属于 $f$ 的定义域。

**定理3** 若 $a^{\prime}$ 充分小，则

$$
(T h)(t, y)=\int_{t_0}^t f(\tau, y+h(\tau, y)) d \tau
$$

定义了一个从空间 $M$ 到自身的一个压缩映射．
证明（1）首先证明 $T$ 将 $M$ 映入它自身．因为连续依赖于一个参数的连续函数积分是连续依赖于参数和上限的，所以函数 $T h$ 是连续的．又因为

$$
|(T h)(t, y)| \leqslant\left|\int_{t_0}^t f(\tau, y+h(\tau, y)) d \tau\right| \leqslant\left|\int_{t_0}^t C d \tau\right| \leqslant C\left|t-t_0\right|
$$

所以 $T M \subset M$ 。
（2）其次证明 $T$ 是一个压缩映射，即

$$
\rho\left(T h_1, T h_2\right) \leqslant \lambda \rho\left(h_1, h_2\right), \quad 0<\lambda<1
$$

为此，对 $\forall(t, y) \in D$ 估计 $T h_1(t, y)-T h_2(t, y)$ ，则有

$$
T h_1(t, y)-T h_2(t, y)=\int_{t_0}^t\left(f_1-f_2\right) d \tau
$$

其中

$$
f_i(\tau)=f\left(\tau, y+h_i(\tau, y)\right), \quad i=1,2
$$
因为对固定的 $\tau, f(\tau, y)$ 关于 $y$ 满足具有常数 $L$ 的利普希茨条件．因此，

$$
\left|f_1(\tau)-f_2(\tau)\right| \leqslant L\left|h_1(\tau, y)-h_2(\tau, y)\right| \leqslant L \rho\left(h_1, h_2\right),
$$

从而

$$
\left|T h_1(t, y)-T h_2(t, y)\right| \leqslant \int_{t_0}^t\left|f_1-f_2\right| d \tau \leqslant \int_{t_0}^t L \rho\left(h_1, h_2\right) d \tau \leqslant L a^{\prime} \rho\left(h_1, h_2\right)
$$

所以只需让 $L a^{\prime}<1, \lambda=L a^{\prime}$ ，则

$$
\rho\left(T h_1, T h_2\right)=\max _{(t, y) \in D}\left|T h_1(t, y)-T h_2(t, y)\right| \leqslant \lambda \rho\left(h_1, h_2\right),
$$

即 $T$ 是一个压缩映射．
推论1 如果 $f(t, y)$ 在矩形区域

$$
\Gamma=\left\{(t, y)| | t-t_0\left|\leqslant a,\left|y-y_0\right| \leqslant b\right\}\right.
$$

上连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件，则对于充分接近 $y_0$ 的任何点 $y^{\prime}$ ，存在 $t_0$ 的充分小邻域，在此邻域中，方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 存在唯一解 $y=\varphi(t)$ 连续，满足初始条件 $\varphi\left(t_0\right)=y^{\prime}$ 且这个解连续的依赖于初始值 $y^{\prime}$ ．

证明 由压缩映象定理，压缩映射 $T$ 有一个不动点 $h \in M$ ．设 $\varphi(t)=g\left(t, y^{\prime}\right)=$ $y^{\prime}+h\left(t, y^{\prime}\right)$ ，则

$$
\begin{gathered}
g\left(t, y^{\prime}\right)=y^{\prime}+\int_{t_0}^t f\left(\tau, g\left(\tau, y^{\prime}\right)\right) d \tau \\
\frac{\partial g\left(t, y^{\prime}\right)}{\partial t}=f\left(t, g\left(t, y^{\prime}\right)\right)
\end{gathered}
$$

可知对固定的 $y^{\prime}, \varphi(t)=g\left(t, y^{\prime}\right)$ 满足方程 $\frac{ d y}{d t}=f(t, y)$ 和初始条件 $\varphi\left(t_0\right)=g\left(t_0, y^{\prime}\right)=$ $y^{\prime}$ ．又由 $h \in M$ 知 $g$ 是连续的，所以 $\varphi$ 连续且连续地依赖于初值 $y^{\prime}$ ．再由不动点的唯一性得到满足初始条件解的唯一性．

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