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常微分方程
第一篇 一阶微分方程
应用举例
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2025-06-07 06:24
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应用举例
1.4.4 应用举例 例1.13(混合问题)一个水池有一个进水管 $A$ 和一个排水管 $B$ ,现水池内有 1000 kg 的盐水,$A$ 水管每分钟有浓度为 $20 \%$ 的盐水 60 kg 流入,盐水流入水池后即与水池内的盐水充分混合,使得各处盐水浓度相同.与此同时,$B$ 水管每分钟有 60 kg 的盐水从水池中流出。试建立水池内盐随时间变化的模型,并对此进行分析。 解 设 $S(t)$ 表示时刻 $t$ 水池内盐的质量,则水池内每分钟盐的变化为流入的质量-流出的质量.$A$ 管流入 $20 \% \cdot 60, B$ 管流出 $\frac{S}{1000} \cdot 60$ ,因而可建立模型如下: $$ \frac{d S}{d t}=20 \% \cdot 60-\frac{S}{1000} \cdot 60 $$ 即 $$ \frac{d S}{d t}=12-\frac{3 S}{50}=\frac{600-3 S}{50} $$ 利用变量分离法求解方程 $$ \begin{gathered} \frac{d S}{600-3 S}=\frac{d t}{50} \\ \ln |600-3 S|=-\frac{3 t}{50}+c_1 \\ 600-3 S= \pm e^{\left(-0.06 t+c_1\right)}=c e^{-0.06 t} \end{gathered} $$ 其中,$c_2= \pm c_1$ 是不等于 0 的常数,但取 $c_2=0$ 时,$S=200$ 是方程的平衡解,这样 $c_2$ 可取任意常数.整理得 $$ S=-\frac{c_2}{3} e^{-0.06 t}
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