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迹—行列式平面

## 2.6.4 迹—行列式平面
前面所见到的各种不同的一阶二维线性方程组，其解的渐近行为及相平面上的相图的结构，均由该方程组的特征值决定．为了系统地总结这种关系，本节引进该线性方程组的迹一行列式平面的概念。迹与行列式的变化引起特征值的变化，从而引起该线性方程组的相图结构的变化，而对应方程组的迹与行列式的任一对确定的值均有方程组相图的一种确定结构与之对应．这在迹一行列式平面上可以反映出来．

讨论一阶二维常系数线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) .
$$

矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$
\operatorname{det}(\lambda I- A )=\lambda^2-(a+d) \lambda+(a d-b c)
$$

$T=a+d$ 称为 $A$ 的迹，$D=a d-b c$ 称为 $A$ 的行列式，于是 $A$ 的特征方程为

$$
\lambda^2-T \lambda+D=0 ...(2.109)
$$

这里需注意的是 $\lambda$ 的系数为 $-T$ ．由此可见， $A$ 的特征值仅依赖于 $T$ 与 $D$ ．求解特征方程（2．109）得特征值

$$
\lambda=\frac{T \pm \sqrt{T^2-4 D}}{2}
$$

由此公式可知，如果 $T^2-4 D<0$ ，则 $A$ 有一对共轭复根；如果 $T^2-4 D=0$ ，则 $A$有重特征根；如果 $T^2-4 D>0$ ，则 $A$ 有两个不等实特征根。

选横轴为 $T$ 轴，纵轴为 $D$ 轴，而 $T^2-4 D=0$ ，即 $D=\frac{1}{4} T^2$ 为 $T D$ 平面上的一条抛物线，称为重根抛物线．此时 $T D$ 平面称为迹－行列式平面．给定矩阵 $A$ ，可
计算出对应的迹 $T$ 与行列式，$D$ 点 $(T, D)$ 在迹一行列式平面上的确定位置，决定了 $A$ 的特征值的类型，从而决定了一阶二维方程组 $d Y / d t= A Y$ 的平衡点附近的相图结构（图 2．45）．

![图片](/uploads/2025-06/43059a.jpg)
 
###  下面分三种类型讨论．
（1）$T^2-4 D<0$ ．此时，$D>\frac{T^2}{4}$ ，点 $(T, D)$ 位于重根抛物线的上方．由

$$
\lambda=\frac{T}{2} \pm \frac{\sqrt{T^2-4 D}}{2}
$$

可知 $\lambda_1=\frac{T}{2}+\frac{\sqrt{T^2-4 D}}{2}$ 与 $\lambda_2=\frac{T}{2}-\frac{\sqrt{T^2-4 \bar{D}}}{2}$ 为一对共轭复根，由 2．6．2 小节中的讨论知，如果点 $(T, D)$ 位于 $D$ 轴左方，则 $T<0$ ，此时平衡点 $O$ 为螺旋汇；如果点 $(T, D)$ 位于 $D$ 轴上，则 $T=0$ ，此时平衡点 $O$ 为中心；如果点 $(T, D)$ 位于 $D$轴右方，则 $T>0$ ，平衡点 $O$ 为螺旋源（图 2．46）．
 ![图片](/uploads/2025-06/1068c2.jpg)
 
 （2）$T^2-4 D=0$ ．此时，$D=\frac{T^2}{4}$ ，点 $(T, D)$ 位于重根抛物线上，$\lambda_1=\lambda_2=\frac{T}{2}$ ．如果点 $(T, D)$ 位于抛物线的左半支上，则 $T<0$ ．由 2．6．3 小节的讨论可知，平衡点 $O$ 为临界汇；如果点 $(T, D)$ 位于重根抛物线的右半支上，则 $T>0$ ，平衡点 $O$ 为临界源（图 2．47）．
 
  ![图片](/uploads/2025-06/d910e5.jpg)
  
  （3）$T^2-4 D>0$ ．此时，$D<\frac{T^2}{4}$ ，点 $(T, D)$ 位于重根抛物线的下方．$\lambda_1=$ $\frac{T}{2}+\frac{\sqrt{T^2-4 D}}{2}, \lambda_2=\frac{T}{2}-\frac{\sqrt{T^2-4 D}}{2}$ ．
（i）如果点 $T>0$ ，则 $\lambda_1>0$ ．若 $D=0$ ，则 $\lambda_2=0$ ．此时，点 $(T, D)$ 位于正 $T$轴，平衡点 $O$ 为临界鞍源点；若 $D>0$ ，则 $\lambda_1>\lambda_2>0$ ．此时，点 $(T, D)$ 位于正 $T$轴上方且在重根抛物线下方，平衡点 $O$ 为源；若 $D<0$ ，则 $\lambda_2<0<\lambda_1$ ．此时，点 $(T, D)$ 位于正 $T$ 轴下方，平衡点 $O$ 为鞍点（图2．48）．

![图片](/uploads/2025-06/6dae01.jpg)
 
 
（ii）如果点 $T<0$ ，则需分三种情况讨论．
（a）$D>0, \lambda_2<\lambda_1<0$ ，点 $(T, D)$ 位于重根抛物线下方且在负 $T$ 轴上方，平衡点 $O$ 为汇；
（b）$D=0, \lambda_2<\lambda_1=0$ ，点 $(T, D)$ 在负 $T$ 轴上，平衡点 $O$ 为临界鞍汇点；
（c）$D<0, \lambda_2<0<\lambda_1$ ，点 $(T, D)$ 在负 $T$ 轴下方，平衡点 $O$ 为鞍点（图 2．49）．

![图片](/uploads/2025-06/2b7435.jpg)
  
  
将上述结果进行总结，即可得到一阶二维常系数自治方程组的相图分布（图 2．50）．

![图片](/uploads/2025-06/0db786.jpg)

注记（1）在图 2.50 中，所有各种鞍点附近的相图，其本质是相同的，只是两个直线解的不同而已．注意到 $D$ 轴上相图中轨线的方向，可得到 14 种相图．迹一行列式平面上相图的结构信息并非全由迹 $T$ 及行列式 $D$ 给出．例如，矩阵

$$
\mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
-2 & 0
\end{array}\right), \quad \mathcal { B } =\left(\begin{array}{cc}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{array}\right)
$$

的迹均为 0 ，而行列式全为 4．因此， $d Y / d t= A Y$ 与 $d Y / d t= B Y$ 的平衡点 $O$ 均为中心，但相图中轨线的方向正好相反．因此，有时需要进一步求出对应特征值的特征向量方向可完全确定相图的局部结构．
（2）当研究带有参数的一阶二维自治线性方程组时，上述的迹一行列式方法最为有用．当参数改变时，引起矩阵的迹与行列式的改变，从而引起该线性方程组的相图发生改变．一般来说，当参数发生很小变化时，并不很影响线性方程组解的定性行为．例如，螺旋汇仍变为螺旋汇，鞍点仍变为鞍点．尽管此时随着参数的变化，矩阵的特征值与对应的特征向量也发生变化，但线性方程组的相图结构未发生本质的改变．然而，当参数的变化使得点 $(T, D)$ 的改变跨过关键点时，线性方程组的相图结构发生本质改变．例如，在图 2.50 中，由于参数的改变，使得对应的点 $(T, D)$ 由左方跨过 $D$ 轴时，对应的线性方程组的平衡点 $O$ 由螺旋汇变为中心，然后又突然变为螺旋源．线性方程组的所有轨线由趋于平衡点 $O$ ，又远离平衡点 $O$ ．此时，由参数确定的线性方程组族，当点 $(T, D)$ 越过 $D$ 轴时，发生了分歧．

（3）由图 2.50 可知，在迹－行列式平面上有三条临界线，分别为 $T$ 轴、 $D$ 轴和重根抛物线 $D=\frac{T^2}{4}$ ．如果随着参数的变化，点 $(T, D)$ 末跨过其中任一个临界线，线性方程组的相图结构本质末变，仅形式发生变化，而一旦点 $(T, D)$ 越过任一条临界线，其相图结构就发生本质改变而产生分歧。
 
 
 
下面以一实例说明上述原理．
`例` 考虑单参数线性方程组

$$
\frac{d \mathcal { Y } }{d t}= \mathcal { A } \mathcal { Y } , \quad \mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}
0 & -2 \\
\tau & 2
\end{array}\right), \quad \mathcal { Y } =\binom{x}{y} .
$$

（1）当参数 $\tau$ 从负值增大变为较大正数时，讨论方程组族的相图结构的本质改变，并求出产生分歧时 $\tau$ 的数值；
（2）研究当参数 $\tau$ 变化时，通过相图的变化，线性方程组族（2．110）的平衡点 $O$ 是如何从源变为螺旋源的，并作出 $\tau=\frac{1}{4}, \tau=\frac{1}{2}, \tau=1$ 的相图．

解（1）由 $A =\left(\begin{array}{cc}0 & -2 \\ \tau & 2\end{array}\right)$ 得 $T=2, D=2 \tau$ ．在参数 $\tau$ 的值由负数变为较大正数的过程中，对应的点 $(T, D)=(2,2 \tau)$ 在迹－行列式平面上，沿直线 $T=2$ 垂直向上变化(图2.51)
 
 ![图片](/uploads/2025-06/960b22.jpg)
 
 由相图的分布图（图 2．50），线性方程组的平衡点 $O$ 随着 $\tau$ 的值由负变正，由鞍点而变为源，其分歧的产生条件为 $D=0$ ，从而 $\tau=0$ 为产生此分歧现象的参数值．当 $\tau$ 继续增加，使 $(T, D)=(2,2 \tau)$ 越过重根抛物线时，方程组的平衡点 $O$ 由源变为螺旋源，其分歧产生的关键值为 $D=\frac{T^2}{4}$ ，即 $2 \tau=\frac{T^2}{4}$ ，于是得 $\tau=\frac{1}{2}$ ．
（2）矩阵 $\mathcal { A }$ 的特征方程

$$
\lambda^2-2 \lambda+2 \tau=0
$$

其中，$\tau$ 为参数，于是得特征值

$$
\lambda=1 \pm \sqrt{1-2 \tau} .
$$

（i）当 $0<\tau<\frac{1}{2}$ 时， $0<\sqrt{1-2 \tau}<1$ ．因此，$\lambda_1=1+\sqrt{1-2 \tau}>\lambda_2=1-\sqrt{1-2 \tau}>$ 0 ．于是平衡点 $O$ 为源且有两个直线解（图 2．52）．

![图片](/uploads/2025-06/5253ba.jpg)
 
对应 $\lambda_1=1+\sqrt{1-2 \tau}$ 的特征向量位于直线

$$
y=\left(-\frac{1+\sqrt{1-2 \tau}}{2}\right) x
$$

之上，而对应 $\lambda_2=1-\sqrt{1-2 \tau}$ 的特征向量位于直线

$$
y=\left(-\frac{1-\sqrt{1-2 \tau}}{2}\right) x
$$

之上．
当 $\tau \nearrow \frac{1}{2}$ 时，两条直线的斜率均趋于 $-\frac{1}{2}$ ．此时，线性方程组族趋于 $\tau=\frac{1}{2}$ 时的线性方程组．
（ii）当 $\tau=\frac{1}{2}$ 时， $\mathcal { A } =\left(\begin{array}{cc}0 & -2 \\ \frac{1}{2} & 2\end{array}\right)$ ．于是得 $T=2, D=1$ ．特征方程为 $\lambda^2-2 \lambda+1=0$,

从而得重特征值 $\lambda=1$ ，对应的特征向量在直线 $y=-\frac{1}{2} x$ 上，其相图如图 2.53 所示．

![图片](/uploads/2025-06/6f257b.jpg)
 
由上述可见，当 $\tau \nearrow \frac{1}{2}$ 时，两个线性无关的特征向量所在的直线解趋于同一个直线解．当 $\tau<\frac{1}{2}$ 跨过 $\frac{1}{2}$ 且继续增大时，临界螺旋源变为螺旋源．
（iii）当 $\tau>\frac{1}{2}$ 时，

$$
\lambda=1 \pm i \sqrt{2 \tau-1}
$$

其中， $i =\sqrt{-1}$ 为虚数单位．此时平衡点 $O$ 为螺旋源，并且周期为 $2 \pi / \sqrt{2 \tau-1}$（图 2．54）．

![图片](/uploads/2025-06/b39cd2.jpg)

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