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简谐振动模型

## 第3章 二阶线性常系数微分方程
许多物理、力学、化学、生态学中的数学模型均可归结为二阶线性常系数微分方程（一般称为简谐振动方程）。这类方程可以化为一阶二维线性常系数微分方程组进行定性分析，又可直接用猜测－检验方法求得解析解，然后利用所获结果解读简谐振动的一般规律．
## 3.1 简谐振动模型
### 3.1.1 质点弹簧系统模型
在2.1.1 小节中，讨论了质点弹簧系统的数学模型．设 $y(t)$ 是质量为 $m$ 的质点在 $t$ 时刻的位移，作用在质点上的弹性力为 $-k y(t)$ ，其中 $k>0$ 为弹性系数．如果考虑质点所受的阻力，假设阻力与速度大小成正比，则阻力设为 $-b \frac{d y}{d t}$ ，其中 $b \geqslant 0$为阻力系数．根据牛顿第二定律有

$$
m \frac{d^2 y}{d t^2}=-k y-b \frac{d y}{d t}
$$

经整理得

$$
m \frac{d^2 y}{d t^2}+b \frac{d y}{d t}+k y=0
$$

设 $t$ 时刻作用在质点的外力为 $f(t)$ ，则有

$$
m \frac{d^2 y}{d t^2}=-k y-b \frac{d y}{d t}+f(t)
$$

经整理有

$$
m \frac{d^2 y}{d t^2}+b \frac{d y}{d t}+k y=f(t)
$$

设 $p=\frac{b}{m}, q=\frac{k}{m}, g(t)=\frac{f(t)}{m}$ ，则有

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=g(t) ...(3.1)
$$

### 3.1.2 单摆振动模型
在 2.5.1小节中，讨论了单摆振动模型．设质量为 $m$ 的质点系于一根长度为 $l$的线上，在重力 $m g$ 的作用下，该质点在垂直于地面的平面上沿圆周摆动．设 $\varphi(t)$为 $t$ 时刻单摆与竖直线所成的角度，当 $\varphi$ 较小时，其运动方程（见（2．60））为

$$
\frac{d^2 \varphi}{d t^2}+\frac{g}{l} \varphi=0
$$

假设单摆所受的阻力为 $-\mu \frac{ d \varphi}{ d t}$ ，其中 $\mu \geqslant 0$ 为阻力系数，则有

$$
\frac{d^2 \varphi}{d t^2}+\frac{\mu}{m} \frac{d \varphi}{d t}+\frac{g}{l} \varphi=0
$$

如果沿着单摆的运动方向有一个外力 $F(t)$ 作用于它，则有（见（2．63））

$$
\frac{d^2 \varphi}{d t^2}+\frac{\mu}{m} \frac{d \varphi}{d t}+\frac{g}{l} \varphi=\frac{1}{m l} F(t)
$$

如果设 $p=\frac{\mu}{m}, q=\frac{g}{l}, g(t)=\frac{1}{m l} F(t)$ ，并以 $y(t)$ 记 $\varphi(t)$ ，则上述方程仍然化为（3．1）

### 3.1.3 RCL 电路数学模型
在电子电路中，将包含电阻 $R$（单位：$\Omega$ ），电感 $L$（单位：H），电容 $C$（单位： F ）及电源 $E$ 的串联电路称为 **RCL电路**．

选时刻 $t$ ，电路中的电流强度 $I(t)$ 为状态变量（单位：A）．由电学知识可知，在时刻 $t$ ，电流 $I(t)$ 流经 $R, L, C$ 的电压降（单位：V）分别为 $R I, L \frac{d I}{d t}, \frac{1}{C} Q$ ，其中 $Q=Q(t)$ 为 $t$ 时刻的电量（单位：C）．因为 $I(t)=\frac{ d Q}{d t}$ ，由基尔霍夫第二定律，在闭合回路中，所有支路上的电压降的代数和为零．
 ![图片](/uploads/2025-06/976314.jpg)
 
由图 3.1 所示的 RCL 电路中，设 $R, L$ ， $C$ 均为常数，当开关 $S$ 闭合后，有关系式

$$
e(t)-R I-L \frac{d I}{d t}-\frac{1}{C} Q=0
$$

经整理得

$$
L \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} Q+R I=e(t)
$$

将上式两端关于 $t$ 求导，并将 $I(t)=\frac{ d Q}{d t}$ 代入，则有

$$
L \frac{d^2 I}{d t^2}+R \frac{d I}{d t}+\frac{1}{C} I=\frac{d e(t)}{d t}
$$

如果令 $p=\frac{R}{L}, q=\frac{1}{L C}, g(t)=\frac{1}{L} \frac{d e(t)}{ d t}$ ，并以 $y(t)$ 记 $I(t)$ ，则再次得到（3．1），即

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=g(t)
$$

这是一个二阶线性常系数非齐次非自治的微分方程．由于方程（3．1）刻画了简谐振动的一般规律，故也称为强制简谐振动方程．下面的方程：

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=0 ...(3.2)
$$

称为与之相应的齐次简谐振动方程，或非强制简谐振动方程．
当 $t=0$ 时，$y(0)=y_0, y^{\prime}(0)=v_0$ ，则

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=g(t) \\
y(0)=y_0, y^{\prime}(0)=v_0
\end{array}\right.
$$

称为方程（3．1）的初值问题或 Cauchy 问题．方程（3．1）与（3．2）分别简称为非齐次方程（强制方程）和与之相应的齐次方程（非强制方程）．

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