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二阶齐次线性常系数微分方程线性原理

## 3.2 二阶齐次线性常系数微分方程

讨论齐次微分方程（3．2），即

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=0 ...(3.2)
$$

## 3.2.1 线性原理
设 $v=\frac{ d y}{d t}$ ，则上述方程化为一阶二维微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \\
\frac{d v}{d t}=-q y-p v
\end{array}\right.
$$

令 $\mathcal { Y } =(y, v)$ ，则化为向量形式

$$
\frac{d y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-q & -p
\end{array}\right) \mathcal { Y } ...(3.3)
$$

**引理3.1** 齐次微分方程（3．2）的解 $y(t)$ 与齐次微分方程组（3．3）的解是一一对应的，并且 $y(t)$ 为齐次方程（3．2）的解当且仅当 $Y (t)=\left(y(t), y^{\prime}(t)\right)$ 为方程组 （3．3）的解．

证明 设 $y(t)$ 为齐次方程（3．2）的解．令 $v(t)=\frac{ d y}{d t}$ 且 $Y =(y, v)$ ，则由上面的讨论一定有

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-q & -p
\end{array}\right) Y
$$

即 $Y (t)=(y(t), v(t))$ 为方程组（3．3）的一个解．
反之，设 $Y (t)=(y(t), v(t))$ 满足方程组（3．3），于是

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y(t)}{d t}=v(t) \\
\frac{d v(t)}{d t}=-q y(t)-p v(t)
\end{array}\right.
$$

将 $v(t)$ 的表达式代入第二式，则有

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q y=0
$$

因此，$y=y(t)$ 为齐次方程（3．2）的解．如果方程组（3．3）的两个解 $Y _1(t)=$ $\left(y_1(t), v_1(t)\right), Y _2(t)=\left(y_2(t), v_2(t)\right)$ 满足 $Y _1(t) \equiv Y _2(t)$ ，则一定有 $y_1(t) \equiv y_2(t)$ 。因此，一一对应性得证．

注记 引理3．1表明为求齐次方程（3．2）的通解，完全可以通过前几节所用的特征值－特征向量方法求出方程组（3．3）的通解而得到．但是，由齐次方程通过猜测－检验方法直接导出特征根方法更简单，而应用引理 3．1，通过方程组（3．3）的相平面进行定性分析最方便．

下面给出线性原理。

## 线性原理
定理 3.1 （线性原理）（1）设 $y_1(t)$ 与 $y_2(t)$ 为齐次方程（3．2），即

$$
\frac{d^2 y}{d t^2}+p \frac{d y}{d t}+q \dot{y}=0
$$
的解．对任意常数 $k_1, k_2, k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ 仍为齐次方程（3．2）的解；
（2）若上述 $y_1(t)$ 与 $y_2(t)$ 线性无关，则 $k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)$ 为齐次方程（3．2）的通解．

证明（1）直接验证即可．
（2）因为 $y_1(t)$ 与 $y_2(t)$ 为齐次方程（3．2）的解．令 $Y _1(t)=\left(y_1(t), y_1^{\prime}(t)\right), Y _2(t)=$ $\left(y_2(t), y_2^{\prime}(t)\right)$ ，则由引理 3．1， $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 为线性方程组（3．3），即

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-q & -p
\end{array}\right) Y
$$

的两个解．

下面证 $Y _1(0)$ 与 $Y _2(0)$ 为平面上两个线性无关的向量．
设常数 $k_1, k_2$ 满足

$$
k_1 Y _1(0)+k_2 Y _2(0)=\binom{0}{0} ...(3.4)
$$

并设

$$
Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)
$$

则由定理 $2.1, Y (t)$ 为线性方程组（3．3）的解，并且由（3．4）知

$$
\mathcal { Y } (0)=\binom{0}{0}
$$

由线性方程组（3．3）的初值问题解的唯一性定理可知

$$
Y (t)=\binom{0}{0}
$$

于是

$$
k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t) \equiv 0
$$

再由 $Y _1(t)$ 与 $Y _2(t)$ 的线性无关性知 $k_1=k_2=0$ ．因此， $Y _1(0)$ 与 $Y _2(0)$ 线性无关．设 $y(t)$ 为齐次方程 $(3.2)$ 的任一解，则由引理 3．1， $Y (t)=\left(y(t), y^{\prime}(t)\right)$ 为线性方程组（3．3）的解．令

$$
Y (0)=\binom{x_0}{y_0}
$$

则由定理 2.1 ，存在唯一实数 $k_1$ 及唯一实数 $k_2$ ，满足

$$
Y (t)=k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)
$$

因此有

$$
y(t)=k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)
$$

由此可见，$k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t)\left(k_1, k_2\right.$ 为任意常数）为齐次方程（3．2）的通解．
**注记** 两个函数 $y_1(t)$ 与 $y_2(t)$ 称为线性无关的，如果常数 $k_1, k_2$ 满足

$$
k_1 y_1(t)+k_2 y_2(t) \equiv 0
$$

则必有 $k_1=k_2=0$ ．

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