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一阶 n 维线性方程组的一般理论

## 第5章 一阶 $n$ 维线性微分方程组
在数学的实际应用中，随时间演变的数学模型往往表示为微分方程（组）．在这些微分方程（组）中，许多本身为线性的（见第 2 章），或可以对它们采用线性化的方法化为线性微分方程（组）（见第 4 章）．在第 2 章中，讨论了一阶二维常系数线性方程组，而对一阶 $n$ 维线性微分方程组（不必常系数）的讨论是本章的主要内容．

## 5.1 一阶 $n$ 维线性方程组的一般理论

讨论一阶 $n$ 维线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d y_1}{d t}=a_{11}(t) y_1+a_{12}(t) y_2+\cdots+a_{1 n}(t) y_n+g_1(t) \\
\frac{d y_2}{d t}=a_{21}(t) y_1+a_{22}(t) y_2+\cdots+a_{2 n}(t) y_n+g_2(t) \\
\quad \cdots \cdots \\
\frac{d y_n}{d t}=a_{n 1}(t) y_1+a_{n 2}(t) y_2+\cdots+a_{n n}(t) y_n+g_n(t)
\end{array}\right. ...(5.1)
$$

其中，系数函数 $a_{i j}(t)$ 及 $g_i(t)(i, j=1,2, \cdots, n)$ 在区间 $a<t<b$ 上都是连续的．引进矩阵函数
$$
\mathcal { A } (t)=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11}(t) & a_{12}(t) & \cdots & a_{1 n}(t) \\
a_{21}(t) & a_{22}(t) & \cdots & a_{2 n}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1}(t) & a_{n 2}(t) & \cdots & a_{n n}(t)
\end{array}\right)
$$

和向量函数

$$
\mathcal { Y } =\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{array}\right), \quad \mathcal { G } (t)=\left(\begin{array}{c}
g_1(t) \\
g_2(t) \\
\vdots \\
g_n(t)
\end{array}\right)
$$

就可将方程组（5．1）写成如下的向量形式：

$$
\frac{d Y }{d t}= A (t) Y + G (t)
$$

记号 $Y =\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ 与 $G (t)=\left(g_1(t), g_2(t), \cdots, g_n(t)\right)$ 与上同义．如果 $G (t) \equiv 0$ ，则（5．1）称为齐次的线性微分方程组；否则，称为非齐次的线性微分方程组．
矩阵（向量）函数的连续性等价于每个分量函数的连续性，矩阵（向量）函数的导数（积分）等价于其分量函数的导数（积分）构成的矩阵（向量）。

下面的存在唯一性定理是本章的理论基础．
**定理 5.1** 如果 $A (t)$ 及 $G (t)$ 在区间 $(a, b)$ 上连续可微，对任意的 $Y _0 \in R ^n$ ， $t_0 \in(a, b)$ ，初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d Y }{d t}= A (t) Y + G (t) \\
Y \left(t_0\right)= Y _0
\end{array}\right.
$$

存在唯一的解 $Y = Y (t)(t \in(a, b))$ ．
定理5．1的证明可应用第1章附录中的压缩映象原理，与一阶微分方程解的存在唯一性定理类似给出．以下均假设 $A (t), G (t)$ 是连续可微的．

## 5.1.1 一阶 $n$ 维齐次线性微分方程组
首先给出方程组解集的代数结构的刻画．
**定理 5.2** 齐次方程组 $d Y / d t= A (t) Y$ 的解集按通常的加法与数乘构成一个 $n$ 维的线性空间．

证明 设 $S$ 为齐次方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A (t) Y$ 的解集．对任意 $Y _1, Y _2 \in S$ ，及任意 （实）常数 $k_1, k_2$ ，直接验证可知 $k_1 Y _1+k_2 Y _2 \in S$ ．因此，$S$ 为一个线性空间．

令 $V _i=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $R ^n$ 中的 $n$ 个向量，则由定理 5．1，初值问题

$$
\begin{cases}\frac{d \mathcal { Y } (t)}{d t}= \mathcal { A } (t) \mathcal { Y } , & t \in(a, b) \\ \mathcal { Y } \left(t_0\right)= \mathcal { V } _i, & t_0 \in(a, b)\end{cases}
$$

存在唯一的解 $Y = Y _i(t)(t \in(a, b), i=1,2, \cdots, n)$ ，即 $\left\{ Y _i\right\}_{i=1}^n \subset S$ ．下面证 $\left\{ Y _i\right\}_{i=1}^n$线性无关．事实上，如果 $\sum_{i=1}^n k_i Y _i(t) \equiv 0$ ，则对 $t=t_0$ 有 $\sum_{i=1}^n k_i Y _i\left(t_0\right)=\sum_{i=1}^n k_i V _i=0$ ．因为 $\left\{ V _i\right\}_{i=1}^n$ 为 $R ^n$ 中 $n$ 个线性无关的向量，所以 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ ．因此， $\left\{ Y _i\right\}_{i=1}^n$ 线性无关．

对任意的 $Y \in S$ ．记 $\overline{ V }= Y \left(t_0\right) \in R ^n$ ，从而存在唯一的一组常数 $\left\{k_i\right\}_{i=1}^n$ ，满足

$$
\overline{ V }=\sum_{i=1}^n k_i V _i
$$

由于 $Y \in S$ 及 $S$ 的线性，$\sum_{i=1}^n k_i Y _i \in S$ 且 $Y \left(t_0\right)=\overline{ V }=\sum_{i=1}^n k_i V _i=\sum_{i=1}^n k_i Y _i\left(t_0\right)$ ，由解的唯一性知

$$
\mathcal { Y } (t)=\sum_{i=1}^n k_i \mathcal { Y } _i(t), \quad t \in(a, b)
$$

因此，$\left\{ Y _i\right\} \subset S$ 构成 $S$ 的基，于是 $S$ 的维数为 $n$ ．

**定理 5.3** 齐次线性微分方程组 $\frac{ d \mathcal { Y } }{ d t}= A (t) Y$ 在区间 $(a, b)$ 上存在 $n$ 个线性无关的解

$$
Y _1(t), Y _2(t), \cdots, Y _n(t)
$$

而且该方程组的通解为

$$
\mathcal { Y } (t)=k_1 \mathcal { Y } _1(t)+k_2 \mathcal { Y } _2(t)+\cdots+k_n \mathcal { Y } _n(t), \quad a < t < b
$$

其中 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 为任意常数．
证明 由定理 5．2，$\frac{ d Y }{ d t}= A (t) Y$ 的解集为 $n$ 维线性空间，因而存在基，记为

$$
Y _1, Y _2, \cdots, Y _n
$$

于是 $\left\{ Y _i\right\}_{i=1}^n \subset S$ 且线性无关．
对任意常数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，由 $S$ 的线性知

$$
k_1 Y _1(t)+k_2 Y _2(t)+\cdots+k_n Y _n(t)
$$

为该齐次方程组的解，并且对该齐次方程组的任一解 $Y = Y (t)$ 知 $Y \in S$ ，而 $\left\{ Y _i\right\} \subset$ $S$ 为基，故存在唯一的一组 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，满足

$$
\mathcal { Y } (t)=k_1 \mathcal { Y } _1(t)+k_2 \mathcal { Y } _2(t)+\cdots+k_n \mathcal { Y } _n(t)
$$

如果已知 $n$ 个向量函数

$$
Y _1(t), Y _2(t), \cdots, Y _n(t) ...(5.2)
$$
为齐次线性方程组 $d \mathcal { Y } / d t= \mathcal { A } (t) \mathcal { Y }$ 的 $n$ 个解，为求该方程组的通解，需要判断它们是否线性无关．为给出一个有用的判别法则，下面引入朗斯基（Wronsky）行列式的概念．

将（5．2）中各向量函数写成如下分量形式：

$$
Y _1(t)=\left(\begin{array}{c}
y_{11}(t) \\
y_{21}(t) \\
\vdots \\
y_{n 1}(t)
\end{array}\right), \cdots, Y _n(t)=\left(\begin{array}{c}
y_{1 n}(t) \\
y_{2 n}(t) \\
\vdots \\
y_{n n}(t)
\end{array}\right)
$$

则称下面的行列式：

$$
W(t)=\left|\begin{array}{cccc}
y_{11}(t) & y_{12}(t) & \cdots & y_{1 n}(t) \\
y_{21}(t) & y_{22}(t) & \cdots & y_{2 n}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y_{n 1}(t) & y_{n 2}(t) & \cdots & y_{n n}(t)
\end{array}\right|
$$

为解组（5．2）的**朗斯基行列式**．

**定理5.4** 齐次线性微分方程组 $\frac{ d Y }{ d t}= A (t) Y$ 的解组（5．2）是线性无关的充分必要条件为

$$
W(t) \neq 0, \quad a < t < b ...(5.3)
$$

证明：可以使用反证法，具体略

`例5.1`证明向量函数

$$
\mathcal { Y } _1(t)=\binom{e^t \cos t}{e^t \sin t}, \quad \mathcal { Y } _2(t)=\binom{-\sin t}{\cos t}
$$

为齐次非自治线性微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{cc}
\cos ^2 t & \frac{1}{2} \sin 2 t-1 \\
\frac{1}{2} \sin 2 t+1 & \sin ^2 t
\end{array}\right) Y ...(5.8)
$$

的两个线性无关的解，其中 $\mathcal { Y } =(x, y)$ ．
证明

$$
\frac{d Y _1}{d t}=\binom{\frac{d}{d t}\left(e^t \cos t\right)}{\frac{d}{d t}\left(e^t \sin t\right)}=\binom{e^t(\cos t-\sin t)}{e^t(\sin t+\cos t)}
$$

而且

$$
\left(\begin{array}{cc}
\cos ^2 t & \frac{1}{2} \sin 2 t-1 \\
\frac{1}{2} \sin 2 t+1 & \sin ^2 t
\end{array}\right)\binom{e^t \cos t}{e^t \sin t}=\binom{e^t \cos ^3 t+\frac{1}{2} e^t \sin t \sin 2 t-e^t \sin t}{\frac{1}{2} e^t \cos t \sin 2 t+e^t \cos t+e^t \sin ^3 t}
$$

但是由三角恒等式可知
$$
\begin{aligned}
& e^t \cos ^3 t+\frac{1}{2} e^t \sin t \sin 2 t-e^t \sin t=e^t(\cos t-\sin t) \\
& \frac{1}{2} e^t \cos t \sin 2 t+e^t \cos t+e^t \sin ^3 t=e^t(\sin t+\cos t)
\end{aligned}
$$

因此，

$$
\frac{d Y _1}{d t}=\left(\begin{array}{cc}
\cos ^2 t & \frac{1}{2} \sin 2 t-1 \\
\frac{1}{2} \sin 2 t+1 & \sin ^2 t
\end{array}\right) Y _1
$$

即 $Y _1= Y _1(t)$ 为线性微分方程组（5．8）的解。同理， $Y _2= Y _2(t)$ 也为方程组（5．8）的解．因为朗斯基行列式为

$$
W(t)=\left|\begin{array}{cc}
e^t \cos t & -\sin t \\
e^t \sin t & \cos t
\end{array}\right|=e^t \neq 0, \quad-\infty<t<+\infty
$$

所以这两个解线性无关．

**定义5.1** 齐次线性微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A (t) Y
$$

的 $n$ 个线性无关的解

$$
Y _1(t), Y _2(t), \cdots, Y _n(t)
$$
称为一个基本解组，而以此为列向量构成的矩阵

$$
\Phi (t)=\left(\begin{array}{cccc}
y_{11}(t) & y_{12}(t) & \cdots & y_{1 n}(t) \\
y_{21}(t) & y_{22}(t) & \cdots & y_{2 n}(t) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y_{n 1}(t) & y_{n 2}(t) & \cdots & y_{n n}(t)
\end{array}\right)
$$

称为一个基解矩阵，其中 $\mathcal { Y } _i=\left(y_{1 i}, y_{2 i}, \cdots, y_{n i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 。
注记 如果已知齐次线性方程组（5．9）的一个基解矩阵，则由定理 5.3 可知该方程组则的通解为

$$
\mathcal { Y } (t)= \Phi (t) K
$$

其中 $K =\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ 为任意的 $n$ 维常数向量．

## 5.1.2 一阶 $n$ 维非齐次线性微分方程组
本段讨论非齐次线性微分方程组

$$
\frac{d \mathcal { Y } (t)}{d t}= \mathcal { A } (t) \mathcal { Y } + \mathcal { G } (t), \quad a < t < b
$$

的解集的结构问题，其相应的齐次线性微分方程组为

$$
\frac{d Y (t)}{d t}= A (t) Y , \quad a < t < b
$$

**定理5.5** 若 $\Phi (t)$ 为齐次线性微分方程组（5．9）的一个基解矩阵， $\mathcal { Y } _p(t)$ 为非齐次线性微分方程组的一个特解，则非齐次方程组（5．1）的通解为

$$
\mathcal { Y } (t)= \Phi (t) K + \mathcal { Y } _p(t), \quad a < t < b
$$

其中， $\mathcal { K } =\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ 为任意一个 $n$ 维常向量．
证明 首先对任一 $n$ 维常向量 $K =\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ ，由定理 5．3， $Y _h(t)=$ $\Phi(t) K$ 为齐次方程组（5．9）的一个解，而 $Y _p(t)$ 为非齐次方程组（5．1）的一个特解，直接验证可知 $Y (t)= Y _p(t)+ Y _h(t)$ 也为非齐次方程组的解．

反之，对非齐次方程组（5．1）的任一解 $Y (t)$ 。令 $Y _h(t)= Y (t)- Y _p(t)$ ，直接验证， $Y _{ h }(t)$ 为齐次方程组（5．9）的一个解．由定理 5．3，存在唯一的一组常数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，使

$$
Y _h(t)= \Phi (t) \mathcal { K } ,
$$

其中 $K =\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ ．因此，

$$
Y (t)= \Phi (t) K + Y _p(t), \quad a < t < b
$$

所以（5．1）的通解为

$$
\mathcal { Y } (t)= \Phi (t) \mathcal { K } + \mathcal { Y } _p(t)
$$

注记 求非齐次方程组（5．1）的通解，可分如下三个步骤：
（1）求齐次方程组（5．9）的基解矩阵 $\Phi (t)$ ；
（2）求非齐次方程组（5．1）的一个特解 $Y _p(t)$ ；
（3）由（1）与（2）的结果得 $Y (t)= \Phi (t) K + Y _p(t)$ 为（5．1）的通解。
下面介绍常数变易法，由此方法可以从齐次方程组（5．9）的基解矩阵求出非齐次方程组（5．1）的一个特解．

**引理5.1** 设 $\Phi (t)$ 为齐次方程组（5．9）的基解矩阵，$t_0 \in(a, b)$ ，则

$$
Y _p(t)= \Phi (t) \int_{t_0}^t \Phi ^{-1}(\tau) \mathcal { G } (\tau) d \tau, \quad a < t < b  ...(5.10)
$$
 
为非齐次方程组（5．1）满足 $Y _p\left(t_0\right)=0$ 的一个特解。
证明 假设方程组（5．1）具有如下形式的特解：

$$
Y _p(t)= \Phi (t) C (t), \quad Y _p\left(t_0\right)=0  ...(5.11)
$$

其中， $C (t)=\left(c_1(t), c_2(t), \cdots, c_n(t)\right)$ 为待定的向量函数．
将（5．11）代入方程组（5．1）得到
                                                           
$$
\Phi ^{\prime}(t) C (t)+ \Phi (t) C ^{\prime}(t)= A (t) \Phi (t) C (t)+ G (t)  ...(5.12)
$$

因为 $\Phi (t)$ 为齐次方程组（5．9）的基解矩阵，从而有

$$
\Phi ^{\prime}(t)= \mathcal { A } (t) \Phi (t)
$$

将此式代入（5．12）得到

$$
\Phi (t) \mathcal { C } ^{\prime}(t)= \mathcal { G } (t), \quad a < t < b  ...(5.13)
$$

因为 $\Phi (t)$ 的各列向量线性无关，所以对应的朗斯基行列式 $\operatorname{det} \Phi (t) \neq 0$ ．由此可知 $\Phi (t)$ 是非奇异矩阵，因而 $\Phi ^{-1}(t)$ 存在．

由（5．13）得

$$
C ^{\prime}(t)=\Phi^{-1}(t) G (t)
$$

由 $C \left(t_0\right)=0$ ，将上式两端从 $t_0$ 到 $t$ 进行积分得到

$$
C (t)=\int_{t_0}^t \Phi^{-1}(\tau) G (\tau) d \tau
$$
代回（5．11）得

$$
Y _p(t)= \Phi (t) \int_{t_0}^t \Phi ^{-1}(\tau) \mathcal { G } (\tau) d \tau
$$

由 $C \left(t_0\right)=0$ 得 $Y _p\left(t_0\right)=0$ ．
由引理 5.1 及定理 5.3 ，有如下结果：

**定理5.6** 若 $\Phi (t)$ 为齐次线性微分方程组（5．9）的基解矩阵，则非齐次线性微分方程组（5．1）的通解为

$$
Y (t)= \Phi (t)\left( K +\int_{t_0}^t \Phi ^{-1}(\tau) G (\tau) d \tau\right)
$$

其中， $\mathcal { K } =\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ 为 $n$ 维的任意常向量．

`例5.2`求解初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d Y (t)}{d t}=\left(\begin{array}{cc}
\cos ^2 t & \frac{1}{2} \sin 2 t-1 \\
\frac{1}{2} \sin 2 t+1 & \sin ^2 t
\end{array}\right) Y +\binom{\cos t}{\sin t}, \\
Y (0)=\binom{0}{1},
\end{array}\right.
$$

其中， $Y =(x, y)$ ．

解 由例 5．1，相应的齐次线性微分方程组有一个基解矩阵

$$
\Phi (t)=\left(\begin{array}{cc}
e^t \cos t & -\sin t \\
e^t \sin t & \cos t
\end{array}\right) .
$$

利用线性代数知识，易求出

$$
\Phi ^{-1}(t)=\left(\begin{array}{cc}
e^{-t} \cos t & e^{-t} \sin t \\
-\sin t & \cos t
\end{array}\right), \quad \Phi ^{-1}(0)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
$$

则通解为

$$
\mathcal { Y } (t)= \Phi (t)\left(\binom{k_1}{k_2}+\int_0^t \Phi ^{-1}(\tau)\binom{\cos \tau}{\sin \tau} d \tau\right) .
$$

由 $Y (0)=\binom{0}{1}$ 得 $\binom{k_1}{k_2}=\Phi^{-1}(0)\binom{0}{1}=\binom{0}{1}$ ，从而初值问题的解为

$$
\begin{aligned}
\binom{x(t)}{y(t)} & = \Phi (t)\left[\binom{0}{1}+\int_0^t\left(\begin{array}{cc}
e^{-\tau} \cos \tau & e^{-\tau} \sin \tau \\
-\sin \tau & \cos \tau
\end{array}\right)\binom{\cos \tau}{\sin \tau} d \tau\right] \\
& =\left(\begin{array}{cc}
e^t \cos t & -\sin t \\
e^t \sin t & \cos t
\end{array}\right)\left[\binom{0}{1}+\left(\int_0^t e^{-\tau} d \tau\right.\right. \\
& =\left(\begin{array}{cc}
e^t \cos t & -\sin t \\
e^t \sin t & \cos t
\end{array}\right)\binom{1-e^{-t}}{1} \\
& =\binom{\left(e^t-1\right) \cos t-\sin t}{\left(e^t-1\right) \sin t+\cos t}
\end{aligned}
$$

非齐次方程组（5．1）的通解可立刻求出。然而一般来说，无法求出 $\Phi(t)$ 的有限形式，非齐次方程组的通解在理论上是存在的。因此，定理 5.6 并末完全解决非齐次线性微分方程组（5．1）的求解问题，但可用其进行定性分析，而且对一些特例可求出其具体形式，因此，它仍是很重要的．

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