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一阶 n维常系数线性方程组

## 5.2 一阶 $n$ 维常系数线性方程组

本节讨论一阶 $n$ 维齐次常系数线性微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y , \quad A =\left(a_{i j}\right)_{n \times n} ...(5.15)
$$

的基解矩阵的具体结构，通过线性代数的方法，求出方程组（5．15）的一个基解矩阵。当 $n=1$ 时，矩阵 $A$ 即为一个实数 $a$ ，此时方程组（5．15）化为简单的一阶线性微分方程

$$
\frac{d y}{d t}=a y ...(5.16)
$$

微分方程（5．16）的通解为 $y(t)=c e^{a t}$ ，其中 $c$ 为任意常数．此时，$e^{a t}$ 就是微分方程 （5．16）的一个（一维）基解矩阵。由此可猜想：常系数线性微分方程组（5．15）有一个基解矩阵 $e ^{t A }$ ．下面进行探索．

## 5.2.1 矩阵指数函数的定义及其性质
设 $M$ 为一切 $n$ 阶（实常数）矩阵组成的集合．在线性代数中，按矩阵的加法及数与矩阵的乘法， $M$ 构成一个 $n^2$ 维的线性空间．

对任意的 $A \in M$ ，设 $A =\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，定义 $A$ 的模为

$$
\| A \|=\sum_{i, j=1}^n\left|a_{i j}\right|
$$

则直接验证可知
（1）$\| A \| \geqslant 0$ ，而且 $\| A \|=0$ 当且仅当 $A$ 为零矩阵；
（2）$\|k A \|=|k| \cdot\| A \|$ 对任意 $A \in M$ 及实常数 $k$ 成立；
（3）对任意的 $A , B \in M$ 有不等式

$$
\| A + B \| \leqslant\| A \|+\| B \|
$$

现在，仿照实数中的绝对值 $|\cdot|$ ，在 $M$ 中有了模 $\|\cdot\|$ ，就可以仿照实数域中的数学分析，定义矩阵序列的收敛、柯西矩阵序列和矩阵无穷级数及其（绝对）收敛性

的概念，而且易证在 $M$ 中任何柯西序列都收敛于 $M$ 中的矩阵（矩阵类似于实数，矩阵的模类似于实数的绝对值）．在 $M$ 中有矩阵的乘法，即对任意的 $A , B \in M$ 有 $A B \in M$ 且
（4）$\| A B \| \leqslant\| A \|\| B \|$ ．
由性质（4），对自然数 $k \geqslant 1$ 有

$$
\left\| A ^k\right\| \leqslant\| A \|^k .
$$

约定 $A ^0= I$ ，其中 $I$ 为 $n$ 阶单位阵。

**引理5.2** 设 $A \in M$ ，矩阵的幂级数

$$
I + A +\frac{1}{2!} A ^2+\cdots+\frac{1}{k!} A ^k+\cdots
$$

是收敛的，并且绝对收敛．
证明 设 $B _n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} A ^k$ ，则 $\left\{ B _n\right\} \subset M$ 。对一切 $n>m \geqslant 1$ 有

$$
\left\| B _n- B _m\right\|=\left\|\sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k!} A ^k\right\| \leqslant \sum_{k=m+1}^n \frac{\| A \|^k}{k!} \rightarrow 0,
$$

因而 $\left\{ B _n\right\}$ 为 $M$ 中柯西列，故存在 $B \in M$ 有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} B _n= B
$$
记 $\mathcal { B } =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{ \mathcal { A } ^k}{k!}$ ．
因 $\left\|\frac{1}{k!} A ^k\right\| \leqslant \frac{\| A \|^k}{k!}$ ，而数项级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\| A \|^k}{k!}$ 收敛，因而 $\sum_{k=1}^{\infty}\left\|\frac{ A ^k}{k!}\right\|$ 收敛，故 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A ^k$ 绝对收敛．

**定义5.2** 设 $A \in M$ ，定义

$$
e^{ A }=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} A ^k ...(5.17)
$$

称为矩阵 $A$ 的**指数函数**．

**引理5.3** 矩阵的指数函数有下面的性质：
（1）若 $A , B \in M$ 且 $A B = B A$ ，则

$$
e^{ A } e^{ B }=e^{ A + B } ...(5.18)
$$

（2）若 $A \in M$ ，则 $e ^{ A }$ 可逆且

$$
\left(e^{ A }\right)^{-1}=e^{- A }  ...(5.19)
$$

（3）若 $D \in M$ 且非奇异，则

$$
e^{ D A D ^{-1}}= D e ^{ A } D ^{-1} ...(5.20)
$$

证明（1）通过计算有

$$
e^{( A + B )}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{( A + B )^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\sum_{l=0}^k \frac{ A ^l B ^{k-l}}{l!(k-l)!}\right] .
$$

另一方面，由绝对收敛（矩阵）级数的乘法原理得

$$
e^{ A ^B}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{ A ^i}{i!}\left(\sum_{j=0}^{\infty} \frac{ B ^j}{j!}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\sum_{l=0}^k \frac{ A ^l B ^{k-l}}{l!(k-l)!}\right] .
$$

于是

$$
e^{ A + B }=e^{ A } e^{ B }
$$

（2）由于 $A$ 与 $- A$ 可交换，故在（5．18）中，令 $B =- A$ 得 $\left( e ^{ A }\right)^{-1}= e ^{- A }$ ．
（3）计算可得

$$
\begin{aligned}
e^{ D A D ^{-1}} & =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left( D A D ^{-1}\right)^k}{k!}= I +\sum_{k=1}^{\infty} \frac{ D A ^k D ^{-1}}{k!} \\
& = D \sum_{k=0}^{\infty} \frac{ A ^k}{k!} D ^{-1}= D e^{ A } D ^{-1}
\end{aligned}
$$

## 5.2.2 一阶 $n$ 维常系数线性微分方程组的基解矩阵
利用矩阵的指数函数，可以给出以下结论：
**定理5.7** 矩阵指数函数 $\Phi (t)= e ^{t A }$ 是常系数齐次线性微分方程组 $Y ^{\prime}(t)=$ $A Y (t)$ 的基解矩阵，而且 $\Phi (0)= \mathcal { I }$ 。

证明 在 $(a, b)$ 上，矩阵指数函数

$$
\Phi (t)=e^{t \mathcal { A } }= \mathcal { I } +t \mathcal { A } +\frac{t^2}{2!} \mathcal { A } ^2+\cdots+\frac{t^k}{k!} \mathcal { A } ^k+\cdots
$$

可以逐项微分（类似数学分析中 $e ^{t a}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} a^k$ ）得

$$
\begin{aligned}
\frac{d \Phi (t)}{d t} & =\frac{d}{d t} e^{t \mathcal { A } }= \mathcal { A } +t \mathcal { A } ^2+\frac{t^2}{2!} \mathcal { A } ^3+\cdots+\frac{t^{k-1}}{(k-1)!} \mathcal { A } ^k+\cdots \\
& = \mathcal { A } \left( \mathcal { I } +t \mathcal { A } +\frac{t^2}{2!} \mathcal { A } ^2+\cdots+\frac{t^k}{k!} \mathcal { A } ^k+\cdots\right) \\
& = \mathcal { A } e^{t \mathcal { A } }= \mathcal { A } \Phi (t)
\end{aligned}
$$

因此， $\Phi (t)$ 的每个列向量均为解且 $\Phi (0)= \mathcal { I }$ ，所以 $\operatorname{det}[ \Phi (0)]=1$ ．因此，各列向量线性无关，故 $\Phi (t)$ 为基解矩阵。

`例5.3` 如果 $A$ 是一个 $n$ 阶对角矩阵

$$
A =\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n
\end{array}\right)
$$

试找出 $Y ^{\prime}(t)= A Y (t)$ 的基解矩阵。
解 由矩阵指数函数的定义，

$$
\begin{aligned}
e^{t A }= & I +\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n
\end{array}\right) \frac{t^1}{1!}+\left(\begin{array}{llll}
a_1^2 & & & \\
& a_2^2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n^2
\end{array}\right) \frac{t^2}{2!}+\cdots \\
& +\left(\begin{array}{llll}
a_1^k & & & \\
& a_2^k & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n^k
\end{array}\right) \frac{t^k}{k!}+\cdots \\
= & \left(\begin{array}{llll}
e^{a_1 t} & & & \\
& e^{a_2 t} & & \\
& & \ddots & \\
& & & e^{a_n t}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

`例5.4` 求齐次线性方程组

$$
\frac{d \mathcal { Y } }{d t}=\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
0 & 3
\end{array}\right) \mathcal { Y }
$$

的基解矩阵。
解 由于 $\mathcal { A } =\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 0 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，而后面两个矩阵乘法可交换，并且 $\mathcal { B } =\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 为对角阵，而 $\mathcal { C } =\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ 为幂零矩阵。

$$
e^{t A }=e^{t( B + C )}=e^{t B } e^{t C }
$$

由例53可知

$$
e^{t B}=e^{3 t}\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

又因 $C ^2=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，从而

$$
e^{t C }= I +t\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & t \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

于是由（5 18），（5 22）及（5．23）得到

$$
e^{t A }=e^{3 t}\left(\begin{array}{ll}
1 & t \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$

因此，基解矩阵为

$$
\Phi(t)=e^{t A }=\left(\begin{array}{cc}
e^{3 t} & t e^{3 t} \\
0 & e^{3 t}
\end{array}\right)
$$

下面讨论齐次方程组 $Y ^{\prime}(t)= A Y (t)$ 的基解矩阵的计算问题．

1． $A$ 有 $n$ 个不同的特征值
例 5.5 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ ，则矩阵

$$
\Phi(t)=\left(e^{\lambda_1 t} V_1, e^{\lambda_2 t} V_2, \quad, e^{\lambda_n t} V_n\right)
$$

是齐次方程组（515）的基解矩阵，其中 $V _{\imath}$ 为矩阵 $\mathcal { A }$ 的相应于特征值 $\lambda_2$ 的特征向量

证明 对 $\imath(1 \leqslant \imath \leqslant n)$ ，令 $Y _{\imath}(t)= e ^{\lambda_{\imath} t} V_{\imath}$ ，则 $\frac{ d V_{\imath}}{ d t}=\lambda_{\imath} e ^{\lambda_{\imath} t} V_{\imath}$ ，而 $A _{ V }(t)=$ $e ^{\lambda_3 t} A V_2= e ^{\lambda_3 t} \lambda_2 V_2$ 因此，

$$
\frac{d \mathcal { Y } _2}{d t}= A \mathcal { Y } _2, \quad 1 \leqslant \imath \leqslant n,
$$

故 $Y _1(t), Y _2(t), \cdot Y _n(t)$ 为齐次方程组（5．15）的解组
因为 $\lambda_z \neq \lambda_j(\imath \neq \jmath)$ ，故由线性代数知识 $V _1, V _2, \cdot, V _n$ 线性无关，从而

$$
\operatorname{det}[ \Phi (0)]=\operatorname{det}\left[ V _1, V _2, \quad, V _n\right] \neq 0
$$

由定理 5.4 可知 $\Phi (t)$ 为基解矩阵
注记 因为 $e ^{t A }$ 为 $Y ^{\prime}(t)= A Y (t)$ 的基解矩阵，故一定存在非奇异 $n \times n$ 矩阵 $C$ ，满足

$$
e^{t A }= \Phi (t) C
$$

而且 $\mathcal { C } = \Phi ^{-1}(0)$ ，即

$$
e^{t A }= \Phi (t) \Phi ^{-1}(0)
$$

`例5.6`求微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-6 & -11 & -6
\end{array}\right) Y
$$

的基解矩阵，其中 $Y =(x, y, z)$ ．
解 特征方程

$$
\operatorname{det}( A -\lambda I )=-(\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda+3)=0
$$

因此， $\mathcal { A }$ 有特征值 $\lambda_1=-1, \lambda_2=-2$ 和 $\lambda_3=-3$ ．通过简单计算，求出对应的特征向量为

$$
V_1=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \quad V_2=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
4
\end{array}\right), \quad V_3=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-3 \\
9
\end{array}\right)
$$

于是

$$
\Phi(t)=\left(\begin{array}{ccc}
e^{-t} & e^{-2 t} & e^{-3 t} \\
-e^{-t} & -2 e^{-2 t} & -3 e^{-3 t} \\
e^{-t} & 4 e^{-2 t} & 9 e^{-3 t}
\end{array}\right)
$$

2． $A$ 有重复的特征值

如果 $n \times n$ 矩阵 $A$ 的互不相同的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ ，而相对的重数分别为 $n_1, n_2, \cdots, n_s$（这时一定有 $n=n_1+n_2+\cdots+n_s$ ）．

引理5．4 设 $\lambda_i$ 为矩阵 $A$ 的 $n_i$ 重特征值，则齐次线性方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

有形如

$$
Y (t)=e^{\lambda_i t}\left(V_0+\frac{t}{1!} V_1+\frac{t^2}{2!} V_2+\cdots+\frac{t^{n_i-1}}{\left(n_i-1\right)!} V_{n_i-1}\right)
$$

的非零特解的充要条件是：$V_0$ 是下述代数方程组：

$$
\left( A -\lambda_i I \right)^{n_i} V=0
$$

的一个非零解，而式（5．25）中的 $V _0, V _1, \cdots, V _{n_i-1}$ 由如下递推关系确定：

$$
\left\{\begin{aligned}
V _1= & \left( A -\lambda_i I \right) V _0 \\
V _2= & \left( A -\lambda_i I \right) V _1 \\
& \cdots \cdots \\
V _{n_i-1}= & \left( A -\lambda_i I \right) V _{n_i-2}
\end{aligned}\right.
$$

证明 设方程组（5．24）有形如（5．25）的非零解，把（5．25）代入（5．24）得

$$
\begin{aligned}
& \lambda_i e^{\lambda_i t}\left( V _0+\frac{t}{1!} V _1+\frac{t^2}{2!} V _2+\cdots+\frac{t^{n_i-1}}{\left(n_i-1\right)!} V _{n_i-1}\right) \\
& +e^{\lambda_i t}\left( V _1+\frac{t}{1!} V _2+\cdots+\frac{t^{n_i-2}}{\left(n_i-2\right)!} V _{n_i-1}\right) \\
= & A e ^{\lambda_i t}\left( V _0+\frac{t}{1!} V _1+\frac{t^2}{2!} V _2+\cdots+\frac{t^{n_i-1}}{\left(n_i-1\right)!} V _{n_i-1}\right)
\end{aligned}
$$

等式两端消去 $e ^{\lambda_i t}$ ，整理得

$$
\begin{aligned}
& \left( A -\lambda_i I \right)\left(V_0+\frac{t}{1!} V_1+\frac{t^2}{2!} V_2+\cdots+\frac{t^{n_i-1}}{\left(n_i-1\right)!} V_{n_i-1}\right) \\
= & V_1+\frac{t}{1!} V_2+\cdots+\frac{t^{n_i-2}}{\left(n_i-2\right)!} V_{n_i-1}
\end{aligned}
$$

比较同次幂系数可得
$$
\left\{\begin{aligned}
& V _1=\left( A -\lambda_i I \right) V _0 \\
& V _2=\left( A -\lambda_i I \right) V _1 \\
& \cdots \cdots \\
& V _{n_i-1}=\left( A -\lambda_i I \right) V _{n_i-2} \\
&\left( A -\lambda_i I \right) V _{n_i-1}=0
\end{aligned}\right.
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l} 
V _1=\left( A -\lambda_i \mathcal { I } \right) V _0 \\
V _2=\left( A -\lambda_i \mathcal { I } \right)^2 V _0 \\
\quad \quad \cdots \cdots \\
V _{n_i-1}=\left( A -\lambda_i \mathcal { I } \right)^{n_i-1} V _0 \\
\left( A -\lambda_i \mathcal { I } \right)^{n_i} V _0=0
\end{array}\right.
$$

因此， $V _0$ 是（5．26）的非零解（否则，（5．25）是（5．24）的零解），而 $V _1, \cdots, V _{n_i-1}$ 满足（5．27）．由于 $V _0, V _1, \cdots, V _{n_i-1}$ 中只有前 $m$ 个是非零向量，后面均是零向量，其中 $m$ 可能是 $1,2, \cdots$ ，但最多是 $n_i$ ．

以上推理均可逆推回去，从而定理得证．
注记 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $s$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ ，它们的重数分别是 $n_1, n_2, \cdots, n_s\left(n_1+n_2+\cdots+n_s=n\right)$ ．记 $n$ 维常数列向量所组成的线性空间为 $V$ ，则
（1） $V$ 的子集合

$$
V _i=\left\{ V \in V \mid\left( A -\lambda_i I \right)^{n_i} V =0\right\}
$$

是矩阵 $\mathcal { A }$ 的 $n_i$ 维不变子空间；
（2） $V$ 有直和分解

$$
V = V _1 \bigoplus V _2 \bigoplus \cdots \bigoplus V _s
$$

定理5．8 如果 $n$ 阶实值矩阵 $A$ 在复数域中有互不相同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots$ ， $\lambda_s$ ，它们的重数分别是 $n_1, n_2, \cdots, n_s\left(n_1+n_2+\cdots+n_s=n\right)$ ，则一阶 $n$ 维常系数线性方程组（5．24），即

$$
\frac{d Y }{d t}= A Y
$$

的基解矩阵 $\Phi (t)$ 为

$$
\Phi (t)=\left(e^{\lambda_1 t} P _1^{(1)}(t), \cdots, e^{\lambda_1 t} P _{n_1}^{(1)}(t), \cdots, e^{\lambda_s t} P _{n_s}^{(s)}(t)\right),
$$

其中

$$
P _j^{(i)}(t)= V _{j 0}^{(i)}+\frac{t}{1!} V _{j 1}^{(i)}+\frac{t^2}{2!} V _{j 2}^{(i)}+\cdots+\frac{t^{n_i-1}}{\left(n_i-1\right)!} V _{j n_i-1}^{(i)}
$$

是与 $\lambda_i$ 相应的第 $j$ 个向量多项式，$i=1,2, \cdots, s, j=1,2, \cdots, n_i$ ，而 $V_{10}^{(i)}, \cdots, V_{n_i 0}^{(i)}$是齐次线性代数方程组（5．26）的 $n_i$ 个线性无关的解且 $V _{j k}^{(i)}(i=1,2, \cdots, s, j=$ $\left.1,2, \cdots, n_i, k=1,2, \cdots, n_i-1\right)$ 是把 $V _{j 0}^{(i)}$ 代替（5．27）中 $V _0$ 的而依次得出 $V _k$ 。

证明 由引理5．4可知，在（5．28）中矩阵的每一列都是（5．24）的解．因此，只需证明 $\Phi (t)$ 的各列线性无关即可．从（5．28）和（5．29）可知

$$
\Phi(0)=\left(V_{10}^{(1)}, \cdots, V_{n_1 0}^{(1)}, \cdots ; V_{10}^{(s)}, \cdots, V_{n_s 0}^{(s)}\right)
$$

由注记（1）可知，适当选取 $\left\{ V _{j 0}^{(i)}\right\}$ ，使得相应同一个 $\lambda_i$ 的 $V _{10}^{(i)}, \cdots, V _{n_i 0}^{(i)}$ 是线性无关的．再由注记（2）知，矩阵 $\Phi(0)$ 的各列构成了 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，从而 $\operatorname{det}[\Phi(0)] \neq 0$ ．因此，$\Phi(t)$ 是微分方程组（5．24）的一个基解矩阵．

例 5.7 求齐次方程组

$$
\frac{d \mathcal { Y } }{d t}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & 1 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right) \mathcal { Y }
$$

的通解，其中 $Y =(x, y, z)$ ．
解 相应的特征多项式为

$$
\operatorname{det}( A -\lambda I )=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda & 2 & 1 \\
1 & -1-\lambda & 1 \\
2 & 0 & 1-\lambda
\end{array}\right|=-(\lambda-3)(\lambda+1)^2
$$

所以 $A$ 有单重特征根 $\lambda_1=3$ 和二重特征根 $\lambda_2=-1$ ．
对于 $\lambda_1=3$ ，可以计算

$$
A -\lambda_1 I =\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & 1 \\
1 & -4 & 1 \\
2 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$

因此，$\lambda_1$ 相应的特征向量可取为

$$
\eta_1=\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
2
\end{array}\right)
$$

对于二重特征根 $\lambda_2=-1$ ，可以算出

$$
\left( A -\lambda_2 I \right)^2=\left(\begin{array}{lll}
2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{lll}
8 & 4 & 6 \\
4 & 2 & 3 \\
8 & 4 & 6
\end{array}\right)
$$

因此，方程组 $\left( A -\lambda_2 I \right)^2 V=0$ 的两个线性无关的解为

$$
V_{10}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
0
\end{array}\right), \quad V_{20}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right) .
$$

代入（5．27），并注意 $n_i=2$ 可得

$$
V_{11}=\left(\begin{array}{lll}
2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2 \\
-1 \\
-2
\end{array}\right)
$$

和

$$
V_{21}=\left(\begin{array}{lll}
2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 0 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
-1 \\
-1 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
2
\end{array}\right)
$$

把以上结果代入（5．28）得到基解矩阵

$$
\Phi(t)=\left(\begin{array}{ccc}
2 e^{3 t} & (-1+2 t) e^{-t} & (-1-2 t) e^{-t} \\
e^{3 t} & (2-t) e^{-t} & (-1+t) e^{-t} \\
2 e^{3 t} & -2 t e^{-t} & (2+2 t) e^{-t}
\end{array}\right)
$$

因此，所求通解为

$$
Y = \Phi (t) C
$$

其中， $\mathcal { C }$ 为任意常数列向量．这个通解也可以写成

$$
Y =C_1\left(\begin{array}{l}
2 \\
1 \\
2
\end{array}\right) e^{3 t}+C_2\left(\begin{array}{c}
-1+2 t \\
2-t \\
-2 t
\end{array}\right) e^{-t}+C_3\left(\begin{array}{c}
-1-2 t \\
-1+t \\
2+2 t
\end{array}\right) e^{-t}
$$

其中，$C_1, C_2, C_3$ 是任意常数．

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《高等数学》难点解析

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《线性代数》难点解析

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《概率论与数理统计》难点解析

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