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高阶线性微分方程(Laplace拉普拉斯变换法)

## 5.3 高阶线性微分方程

本节讨论含有一个未知函数 $y(t)$ 的 $n$ 阶线性微分方程式

$$
y^{(n)}+a_1(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(t) y^{\prime}+a_n(t) y=f(t) ...(5.30)
$$

其中，$a_1(t), \cdots, a_n(t)$ 和 $f(t)$ 均为 $a<t<b$ 上的连续函数．若 $f(t) \not \equiv 0$ ，则（5．30）称为非齐次线性微分方程；若 $f(t) \equiv 0$ ，则称为齐次线性的微分方程，即

$$
y^{(n)}+a_1(t) y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(t) y^{\prime}+a_n(t) y=0
$$

如果设

$$
y_1=y, y_2=y^{\prime}, \cdots, y_n=y^{(n-1)}
$$

则 $n$ 阶线性微分方程（5．30）等价于 $n$ 维线性微分方程组

$$
\frac{d Y }{d t}= A (t) Y + F (t)
$$

其中

$$
\begin{gathered}
Y =\left(\begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_{n-1} \\
y_n
\end{array}\right), \quad F (t)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
f(t)
\end{array}\right) \\
A (t)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_n(t) & -a_{n-1}(t) & -a_{n-2} & \cdots & -a_1(t)
\end{array}\right)
\end{gathered}
$$

齐次方程可转化为

$$
\frac{d Y }{d t}= A (t) Y ,
$$

这样 5.1 节和 5.2 节的结果都可以应用到方程组（5．31）和（5．32）．当然，还可以类似第 3 章二阶线性方程的研究方法推广到高阶线性微分方程．下面利用一种新的方法——Laplace 变换方法来求解高阶常系数微分方程．

## 5.3.1 Laplace 变换的定义
本节利用一种解析的方法（称为 Laplace 变换）来求微分方程的解的表达式。 Laplace 变换对于线性常系数微分方程特别有效，并且不同于前面所学习的方法． Laplace 变换法主要是借助 Laplace 变换将常系数线性微分方程（组）转化为代数方程（组），通过一些代数运算，一般地，再利用 Laplace 变换表，即可求微分方程（组）的解．方法通常很有效简洁，为工程技术工作者普遍采用．

Laplace 变换是积分变换的一种．一般来说，积分变换需研究这样一个问题：如何判断一个给定的函数 $y(t)$ 接近于一个特定的标准函数．

例如，如果 $y(t)$ 表示一个无线电波，可能想比较它和函数 $\sin \omega t$（一个频率为 $\frac{\omega}{2 \pi}$ 的正弦波）．通过调整参数 $\omega$ 可以检测 $y(t)$ 有多么接近不同频率的正弦波．理想的话，对于每一个 $\omega$ ，希望有一个数表示 $y(t)$ 有多么接近 $\sin \omega t$ 。完成这种比较的一种方法就是计算积分（对于很大的 $N$ ）

$$
\int_{-N}^N y(t) \sin \omega t d t
$$

如果 $y(t)$ 是以频率 $\frac{\omega}{2 \pi}$ 振动的，并且当 $\sin \omega t$ 为正时也为正的，则这个积分非常大．如果 $y(t)$ 有一些其他的频率，则 $y(t)$ 的符号与 $\sin \omega t$ 的符号在某些时刻 $t$ 是不同的，因此，在有些区间会消失或很小．

应用这种思想于微分方程，很自然地要比较最常出现的指数函数．事实上，计算

$$
\int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-z t} d t
$$

其中，$z=s+ i \omega$ 为复参数．对于给定的 $z$ ，这个积分值越大，$y(t)$ 越接近 $e ^{z t}$ ．特别地，如果 $y(t)= e ^{z t}$ ，则被积函数是 1 ，积分为无穷．

实际上，更容易将 $z$ 写成实部和虚部，分别计算以下两个变换：

$$
\int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-s t} d t \quad \text { 和 } \quad \int_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-i \omega t} d t
$$

其中， $\int_{-\infty}^{\infty} y(t) e ^{- i \omega t} d t$ 称为 Fourier 变换，尽管它有很多应用，但本书不讨论．下面讨论 $\int_0^{\infty} y(t) e ^{-s t} d t$ ．

**定义5.3** 如果函数 $y(t)(t \geqslant 0)$ 使积分

$$
\int_0^{\infty} e^{-s t} y(t) d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-s t} y(t) d t
$$

对于给定的复数 $s$ 存在，则称

$$
Y(s)=\int_0^{\infty} e^{-s t} y(t) d t
$$

为函数 $y(t)$ 的 Laplace 变换，记为 $Y(s)= L [y(t)]$ ．
关于 Laplace 变换的存在性，有如下定理：
定理 5.9 若 $y(t)$ 在 $[0, \infty)$ 上分段连续且不超过指数型增长，即存在 $M, \alpha>$ 0 ，使得 $|y(t)| \leqslant M e ^{\alpha t}$ ，则 $y(t)$ 的 Laplace 变换对满足 Res $>\alpha$ 的所有 $s$ 都成立，其中 Res 表示 $s$ 的实部．

`例5.8`

$$
L [c]=\frac{c}{s}, \quad \text { Res }>0, \quad c \text { 为常数. }
$$

解 由定义 5.3 得

$$
\begin{aligned}
L [c] & =\int_0^{\infty} c e^{-s t} d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T c e^{-s t} d t \\
& =\lim _{T \rightarrow \infty} c\left[\frac{1}{s}-\frac{e^{-s T}}{s}\right]=\frac{c}{s}
\end{aligned}
$$

`例5.9`

$$
L \left[e^{a t}\right]=\frac{1}{s-a}, \quad \text { Res }>a, \quad a \text { 为常数. }
$$

解 由定义 5.3 得

$$
\begin{aligned}
L \left[e^{a t}\right] & =\int_0^{\infty} e^{a t} e^{-s t} d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{(a-s) t} d t \\
& =\left.\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{e^{(a-s) t}}{a-s}\right|_{t=0} ^{t=T}=\frac{1}{s-a}
\end{aligned}
$$

`例5.10`

$$
L [t]=\frac{1}{s^2}, \quad \operatorname{Re} s>0, \quad a \text { 为常数. }
$$

解 由定义 5.3 得

$$
\begin{aligned}
L [t] & =\int_0^{\infty} t e^{-s t} d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T t e^{-s t} d t \\
& =\left.\lim _{T \rightarrow \infty}\left[t \frac{e^{-s t}}{-s}\right]\right|_{t=0} ^{t=T}+\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{s} \int_0^T e^{-s t} d t \\
& =\frac{1}{s} L [1]=\frac{1}{s^2}
\end{aligned}
$$

`例5.11`

$$
L [\sin t]=\frac{1}{s^2+1}, \quad \operatorname{Re} s>0, \quad a \text { 为常数. }
$$

解 根据定义 5.3 得

$$
L [\sin t]=\int_0^{\infty} e^{-s t} \sin t d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-s t} \sin t d t
$$

因为

$$
\begin{gathered}
\sin t=\frac{1}{2 i}\left(e^{i t}-e^{-i t}\right) \\
L [\sin t]=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 i} \int_0^T e^{-s t}\left(e^{i t}-e^{-i t}\right) d t \\
=\frac{1}{2 i} \lim _{T \rightarrow \infty}\left(\int_0^T e^{-(s-i) t} d t-\int_0^T e^{-(s+i) t} d t\right) \\
=\frac{1}{2 i}\left(\frac{1}{s-i}-\frac{1}{s+i}\right)=\frac{1}{s^2+1}
\end{gathered}
$$

定义 5.4 如果 $L [y(t)]=Y(s)$ ，则称 $y(t)$ 为 $Y(s)$ 的 Laplace 逆变换，有时也称 $y(t)$ 为 $Y(s)$ 的原函数．记为

$$
L ^{-1}[Y(s)]=y(t)
$$

通过 $Y(s)$ 可由如下积分求出 $y(t)$ ：

$$
y(t)= L ^{-1}[Y(s)]=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} Y(s) e^{s t} d s, \quad t>0
$$

其中，$Y(s)$ 定义在半平面 $\operatorname{Re} s>c$ 上．
注记 这是一个复积分，实际计算非常复杂．在某些情况下，可以利用 Laplace变换的性质来求逆变换．但大多数情况下，都需借助 Laplace 积分变换表．

## 5.3.2 Laplace 变换性质
性质 5.1 （线性性质）

$$
L [\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha L [f(t)]+\beta L [g(t)]
$$

事实上，

$$
\begin{aligned}
L [\alpha f(t)+\beta g(t)] & =\int_0^{\infty}(\alpha f(t)+\beta g(t)) e^{-s t} d t \\
& =\alpha \int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t+\beta \int_0^{\infty} g(t) e^{-s t} d t \\
& =\alpha L [f(t)]+\beta L [g(t)] .
\end{aligned}
$$

性质 5.2 （微分性质）

$$
\begin{aligned}
L \left[y^{\prime}(t)\right] & =s L [y(t)]-y(0) \\
L \left[y^{(n)}(t)\right] & =s^n L [y(t)]-s^{n-1} y(0)-s^{n-2} y^{\prime}(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0)
\end{aligned}
$$

事实上，

$$
\begin{aligned}
L \left[y^{\prime}(t)\right] & =\int_0^{\infty} e^{-s t} y^{\prime}(t) d t=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_0^T e^{-s t} y^{\prime}(t) d t \\
& =\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\left.e^{-s t} y(t)\right|_{t=0} ^{t=T}+\int_0^T s e^{-s t} y(t) d t\right] \\
& =-y(0)+s \int_0^{\infty} e^{-s t} y(t) d t \\
& =s L [y(t)]-y(0)
\end{aligned}
$$

应用（5．33）两次得

$$
\begin{aligned}
L \left[y^{\prime \prime}(t)\right] & =s L \left[y^{\prime}(t)\right]-y^{\prime}(0) \\
& =s\{s L [y(t)]-s y(0)\}-y^{\prime}(0) \\
& =s^2 L [y(t)]-s y(0)-y^{\prime}(0)
\end{aligned}
$$

如此类推可得（5．34）．
特别地，如果 $y(0)=y^{\prime}(0)=\cdots=y^{(n-1)}(0)=0$ ，则有

$$
L \left[y^{(n)}(t)\right]=s^n L [y(t)]
$$

由此看出，对原函数的关于 $t$ 微分运算通过 Laplace 变换转化为关于 $s$ 的幂函数与象函数的乘法运算，显然，关于象函数的代数运算比对原函数的微分运算来得简单，这正是之所以借助 Laplace 变换来求解线性常系数微分方程（组）初值问题的原因所在．

性质 5.3 （乘多项式性）

$$
\begin{aligned}
L \left[t^n y(t)\right] & =(-1)^n \frac{d^n}{d s^n} L [y(t)] \\
L ^{-1}\left[Y^{(n)}(s)\right] & =(-1)^n t^n y(t), \quad n=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

关于性质 5.3 的详细证明可参见有关专著．利用性质 5.3 容易推导出常系数微分方程（组）的应用中常遇到的一些函数的 Laplace 变换。
例如，由性质 5.3 得

$$
\begin{aligned}
L \left[t^n\right] & =(-1)^n \frac{d^n}{d s^n} L [1] \\
& =(-1)^n \frac{d^n}{d s^n}\left(\frac{1}{s}\right) \\
& =\frac{n!}{s^{n+1}}
\end{aligned}
$$

## 5.3.3 Laplace 变换的应用
考虑微分方程的初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^n x}{d t^n}+a_1 \frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}+\cdots+a_n x=f(t) \\
x(0)=x_0, x^{\prime}(0)=x_0^{\prime}, \cdots, x^{(n-1)}(0)=x_0^{(n-1)}
\end{array}\right.
$$

其中，$a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是常数，$f(t)$ 连续且满足原函数条件．记

$$
\begin{aligned}
& F(s)= L [f(t)]=\int_0^{\infty} e^{-s t} f(t) d t \\
& X(s)= L [x(t)]=\int_0^{\infty} e^{-s t} x(t) d t
\end{aligned}
$$

则由 Laplace 变换的微分性质（性质 5．2）有

$$
\begin{aligned}
& L \left[x^{\prime}(t)\right]=s X(s)-x_0 \\
& \quad \cdots \cdots \\
& L \left[x^{(n-1)}(t)\right]=s^{n-1} X(s)-s^{n-2} x_0-s^{n-3} x_0^{\prime}-\cdots-x_0^{(n-2)} \\
& L \left[x^{(n)}(t)\right]=s^n X(s)-s^{n-1} x_0-s^{n-2} x_0^{\prime}-\cdots-x_0^{(n-1)}
\end{aligned}
$$

于是对方程（5．35）两边作 Laplace 变换，并利用线性性质（性质 5．1）得

$$
\begin{aligned}
& s^n X(s)-s^{n-1} x_0-s^{n-2} x_0^{\prime}-\cdots-x_0^{(n-1)} \\
& \quad+a_1\left[s^{n-1} X(s)-s^{n-2} x_0-s^{n-3} x_0^{\prime}-\cdots-x_0^{(n-2)}\right] \\
& \quad \cdots \cdots \\
& \quad+a_{n-1}\left[s X(s)-x_0\right] \\
& \quad+a_n X(s) \\
& =F(s)
\end{aligned}
$$

整理得

$$
\begin{aligned}
& \left(s^n+a_1 s^{n-1}+\cdots+a_{n-1} s+a_n\right) X(s) \\
= & \dot{F}(s)+\left(s^{n-1}+a_1 s^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\right) x_0 \\
& +\left(s^{n-2}+a_1 s^{n-3}+\cdots+a_{n-2}\right) x_0^{\prime}+\cdots+x_0^{(n-1)}
\end{aligned}
$$

则有

$$
X(s)=\frac{F(s)+N(s)}{M(s)}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
M(s)= & s^n+a_1 s^{n-1}+\cdots+a_{n-1} s+a_n \\
N(s)= & \left(s^{n-1}+a_1 s^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\right) x_0 \\
& +\left(s^{n-2}+a_1 s^{n-3}+\cdots+a_{n-2}\right) x_0^{\prime}+\cdots+x_0^{(n-1)}
\end{aligned}
$$

$X(s)$ 即为初值问题（5．35）的解 $x(t)$ 的象函数．通过查 Laplace 变换表（见附录）或由反变换公式计算可得．下面举例说明这种方法．

下面记 $X(s)= L [x(t)]$ 。
例 5.12 求初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}-x=e^{3 t} \\
x(0)=0
\end{array}\right.
$$

解 对方程两边作 Laplace 变换，由例 5．9，

$$
s X(s)-x(0)-X(s)=\frac{1}{s-3}
$$

注意到 $x(0)=0$ ，则

$$
X(s)=\frac{1}{(s-1)(s-3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s-1}\right)
$$

由例 5.9 知 $L ^{-1}\left[\frac{1}{s-a}\right]= e ^{a t}$ ，因此，利用线性性质求得原函数

$$
x(t)=\frac{1}{2}\left(e^{3 t}-e^t\right)
$$

即为所求的解．
例 5.13 求初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^2 x}{d t^2}+4 x=\sin 2 t \\
x^{\prime}(0)=x(0)=0
\end{array}\right.
$$

解 对方程两边求 Laplace 变换，注意到 $x^{\prime}(0)=x(0)=0$ ，于是

$$
\begin{gathered}
s^2 X(s)-x(0)-x^{\prime}(0) s+4 X(s)=\frac{2}{s^2+4} \\
X(s)=\frac{2}{\left(s^2+4\right)^2}=\frac{1}{8}\left[\frac{2}{s^2+4}-2 \frac{s^2-4}{\left(s^2+4\right)^2}\right]
\end{gathered}
$$

由 Laplace 变换表可得

$$
x(t)=\frac{1}{8}(\sin 2 t-2 t \cos 2 t)
$$

即为所求的解．
例 5.14 求初值问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime \prime \prime}+3 x^{\prime \prime}+3 x^{\prime}+x=1 \\
x^{\prime \prime}(0)=x^{\prime}(0)=x(0)=0
\end{array}\right.
$$

解 对方程两边求 Laplace 变换，

$$
\left(s^3+3 s^2+3 s+1\right) X(s)=\frac{1}{s}
$$

注意到 $x^{\prime}(0)=x(0)=0$ ，则

$$
\begin{aligned}
X(s) & =\frac{1}{s(s+1)^3} \\
& =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}-\frac{1}{(s+1)^3}
\end{aligned}
$$

由 Laplace 变换表可得

$$
x(t)=1-e^{-t}-t e^{-t}-\frac{1}{2} t^2 e^{-t}=1-\frac{1}{2}\left(t^2+2 t+2\right) e^{-t}
$$

即为所求的解．

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