最后更新: 2025-12-04 18:14 查看: 79 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：卡方分布χ²-前世今生-Part5

如《深入理解χ2分布》的几个例子，χ2值的计算很简单，就是用(观测值频数-理论值频数)^2之后，除以理论值频数，然后再求和Σ，就计算出来了。

我们现在很多统计应用的书籍中，关于χ2值的计算都是这样。

那到底χ2是如何与观测值频数与理论值的频数相扯上关系的？

此时我们回到《深入理解χ2分布(上)》文中最初的式子。

![图片](/uploads/2025-06/5783e7.jpg)
 
 它是χ2值一般的形式。

在这里插一嘴：

其实刚看到（1.2）式的时候，我总觉得好像哪里见过

比方说有点儿像中学学的和平方公式

$$
(a+b+c+……n)^2
=a^2+b^2+c^2+……+n^2+2ab+2ac+……2an
$$

只不过上式套一个Σ而已

或者说已故的经济学诺奖得主 哈利·马克思·马科维茨（Harry Max Markowitz），他的经典资产组合理论中有这么一条关于投资组合的方差表达式：

![图片](/uploads/2025-06/248889.jpg)
 
 上式中，w代表每种资产的配置权重，r代表不同的资产收益率。

也正因为看着比较眼熟，所以才激发了我持续对这个经典理论的微考古的兴趣和动力。

下面言归正传

要对一般形式进行计算得到χ2值，这里面有几个元素就必须要计算出来。

它们分别是：行列式R，余子式Rpp和Rpq，以及σp，σq

下面就是关于它们的计算。

如果有N次的观测值，分了n个组，那么就会有n个观测频数 m1’,m2’……mn’，同时也存在n个理论频数m1,m2……mn，

令e=m’-m，那么就会有n个观测和理论差异产生的误差，e1,e2,……en。

I. 令p∈{n}，ep的标准差由二项式分布的方差开方得

![图片](/uploads/2025-06/c8f3c5.jpg)
 
 II. 如果rpq是ep和eq的相关系数，那么根据2组变量的相关系数

rpq=cov (p,q)/σpσq，得：

![图片](/uploads/2025-06/1fe341.jpg)
 
 **在这里Pearson给相关系数$r_{pq}$加了个负号。**
 
 III. 引入一个辅助角β，构建ep的概率为mq/N=sin2βq，代入（2.1）于是可以得到
 
  ![图片](/uploads/2025-06/a1e7e6.jpg)
  
  （2.3）代入到（2.2），得到
  
   ![图片](/uploads/2025-06/13e478.jpg)
   
 因此，（1.2）式中的R，也就是相关系数矩阵行列式，把(2.4)式代入后，可以表示为
 
  ![图片](/uploads/2025-06/60ed3b.jp

其他版本
【概率论与数理统计】卡方分布χ²-独立检验-Part1 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-密度与分布函数的性质-Part3 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-拟合度检验-Part2

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