最后更新: 2025-12-04 18:14 查看: 63 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阅读：卡方分布χ²-前世今生-Part4

## 卡方分布χ²-前世今生
χ的写法很像英文字母X，又像生物课本中的人的染色体符号，所以一开始我对这个希腊字母感觉非常陌生。

卡方分布是概率论与统计学中常用的一种概率分布。这个分布有些特别，**因为它在不同的应用场景有不同的自由度**。而且他也不用来建模的，在前面介绍过很多分布，比如二项分布，指数分布等，当在实际生活中遇到问题时，会尽可能把生活模型往这些分布模型上靠，但是卡方分布不是，他主要用来检验的，就是用来检验你网上靠的模型是不是准确。

> 如果做一个比喻，大家都去淘金，但是淘金要过一条河，前面介绍的各种分布（指数分布、正态分布、二项分布等）就是各种淘金者，而卡方分布就像一个摆渡者，他本身不去淘金，但是你要淘金，可以坐他的小船，他会渡你过岸。

卡方所以在不同的场景下使用不同的自由计算公式。如果是用χ²检验列联表的时候，自由度为：（行数-1）×（列数-1）；
而如果用χ²检验进行拟合优度检验，那么自由度则为：k-1。

另外，卡方分布与正态分布变量相关，也就是说卡方分布其实源自于**正态分布**。

我们查了下互联网资料，特别是维基百科中的资料索引，一直查下去，发现有很多人都支持是德国的大地测量学家F.R.Helmert在1875 年关于正态总体样本方差分布的研究中，是他首次描述了这种分布。

因此在德语中这个分布被称为Helmert'sche或“Helmert 分布”，中文翻译为 **赫尔默特分布**。

后来，英国数学家 卡尔·皮尔逊 (Karl Pearson,以下简称Pearson）又独立地在1900年在Philosophical杂志的一篇论文中正式提出这个概念，并且他还和助手一起计算出了卡方值检验表，使得卡方分布得以实用化。

那为啥Pearson为啥会引用希腊字母和阿拉伯数字的组合——χ²作为这个概率分布的名字呢？

主要是1895年Pearson在伦敦大学学院时，他在《对数学进化论的贡献》(Contributions to the Mathematical Theory of Evolution)论文集中发表过一篇关于回归、遗传及Panimixia（混合物？）的论文，他在论文中将多元正态密度函数中的指数部分写成 -½·χ²，这个习惯Pearson一直沿用到了刚才说到的1900年的那篇文章。
如下图的考古

![图片](/uploads/2025-06/deb95b.jpg)

考古如下
 ![图片](/uploads/2025-06/19f898.jpg)

在论文中Pearson 多处的推导用了正态分布的σ符号来表示标准差，这也就间接表示了卡方分布源自正态分布。

最后，又是R. A. Fisher 在1924年把卡方分布纳入了正态分布族。

## 从Pearson的案例切入对χ²理解

Pearson最早发表卡方分布的论文里，列举了日后在教科书里面经常见到的应用案例：样本的抽样比例分布，和理论的概率分布之间是否有显著差异。

就是文章开头里，统计量服从卡方分布的例子，我们在前面[Part1](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3028)和 [Part2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3032) 里已经介绍过这个公式

$$
\chi^2=\sum_{i=1}^k \frac{\left(O_i-E_i\right)^2}{E_i}
$$

只不过他的第一个例子，是和Weldon教授一起搞的掷骰子场景。

这个例子比较长，我也打算从中慢慢的提取出卡方分布推导的切入点，而且可能切入点还不止一个。

### 频率已知，或假设先验已知：12个骰子的实验和轮盘实验

Pearson 和Weldon教授一起做了个实验：有12个骰子，连续扔26306次，Weldon教授提供了出现5点或6点的骰子数量的理论频数，以及他的学生们观测到的实际频数。

Pearson的论文并没有给出理论频数m的计算方法，而是直接给出了结果，所以第一次看的时候比较晦涩，我只好自己尝试补充了一下，如下表：

![图片](/uploads/2025-06/7462e0.jpg)
 
 比较一下上表中的理论频数值m的分布，和实际频数值m’的分布还是有些差异的，特别的，出现5次，6次实际的频数要比理论频数高一些（m’-m 分别为176和140）。

这种偏差是否就否定了投骰子的实验结果和理论的概率分布不一致？或者说m’不服从m分布？

此时可以通过计算卡方值进行测算，如下表：

![图片](/uploads/2025-06/616bb5.jpg)
 
 有13组数据，要代入一个P值的概率计算公式：
 
 $$
 P=e^{-\frac{1}{2} \chi^2}\left(1+\frac{\chi^2}{2}+\frac{\chi^4}{2 \cdot 4}+\frac{\chi^6}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{\chi

其他版本
【概率论与数理统计】卡方分布χ²-独立检验-Part1 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-拟合度检验-Part2 【概率论与数理统计】卡方分布χ²-密度与分布函数的性质-Part3

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