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狭义相对论中的动力学

1．2．3 狭义相对论中的动力学
在本节的最后，我们讨论一下狭义相对论中的动力学．牛顿第一定律告诉我们，在没有外力的情况下，物体将保持静止或者匀速直线运动状态．这个定律的相对论推广很简单，即在没有外力时，4－速度不随时间变化，

$$
\frac{\mathrm{d} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}=0 .
$$

牛顿第二定律说，物体的运动加速度与外力成正比，

$$
\boldsymbol{F}=m \boldsymbol{a}
$$

这个定律没有第一原理的推导，必须当作先验公式予以接受．其可能的相对论性推广是什么呢？有几点基本要求：
（1）必须满足相对性原理，换句话说，其在不同参考系下应有相同的形式；
（2）当外力为零时，必须回到第一定律，即（1．105）式；
（3）当速度远小于光速时，应能回到牛顿第二定律．
由此，我们可以猜测其可能的形式为

$$
\widehat{f}=m \frac{\mathrm{~d} \widehat{u}}{\mathrm{~d} \tau}=m \widehat{a}
$$

其中 $m$ 是静止质量，$\widehat{f}$ 称为 4－力矢量．注意，由于 4－加速度与 4－速度正交，我们总有 $\widehat{f} \cdot \widehat{u}=0$ ．

尽管牛顿第二定律是没有推导的，第一定律却可以从作用量原理来很好地理解．考虑一个自由粒子，其世界线使两个类时相隔的点 $A$ 和 $B$ 间固有时取极值（实际上是最大值）．从 $A$ 到 $B$ 的任意类时曲线的固有时为

$$
\tau_{A B}=\int_A^B \mathrm{~d} \tau
$$

其中的线积分是沿着某类时曲线 $x^\mu(\lambda)$ ，由 $A=x^\mu(\lambda=0)$ 积到 $B=x^\mu(\lambda=1)$ ．因此

$$
\tau_{A B}=\int_0^1 \mathrm{~d} \lambda\left(\left(\frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2-\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} \lambda}\right)^2-\cdots\right)^{1 / 2}
$$

考虑端点 $A$ 和 $B$ 固定时所有可能的曲线，找出其中固有时取极值的．这相当于上面的积分对 $\delta x^\mu(\lambda)$ 做变分．问题类似于分析力学中的作用量原理．此时的作用量是一个一阶积分 $I=\int \mathrm{d} \lambda L$ ．如我们所知，对此作用量的变分将得到欧拉－拉格朗日（Euler－ Lagrange）方程

$$
-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} \lambda}\left(\frac{\partial L}{\partial\left(\mathrm{~d} x^\mu / \mathrm{d} \lambda\right)}\right)+\frac{\partial L}{\partial x^\mu}=0
$$

对于我们面对的情况，这个方程给出

$$
\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d} \tau^2}=0
$$

这正好是粒子做匀速直线运动满足的方程．简而言之，粒子的作用量原理要求粒子做匀速直线运动，即符合牛顿第一定律．后面我们将看到如何把这个图像推广到弯曲时空中粒子的运动．

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