最后更新: 2025-11-14 11:58 查看: 84 次纠错评论(0) 课件开VIP

观测者和观测与爱因斯坦圆盘

1.3 观测者和观测

在相对论中，我们需要很好地定义观测者及其观测．同一物理现象，不同的观测者可以有不同的观测结果，这就是相对论的实质．首先，我们先定义观测的具体操作．一个观测是基于观测者所在实验室．实验室就是观测者的共动参考系．换句话说，由于观测者在时空中有自己的世界线，我们需要通过其世界线来确定其实验室．
（1）在实验室中，观测者携带的钟定义了时间方向：

$$
\widehat{e}_0=\widehat{u}_{\text {obs }}=\text { 观测者 (有质量粒子) 的 4-速度. }
$$

（2）其他空间方向要求与时间方向正交，并且互相正交归一：

$$
\widehat{e}_i \cdot \widehat{e}_0=0, \quad \widehat{e}_i \cdot \widehat{e}_j=\delta_{i j}
$$

通常，$\widehat{e}_a$ 称为标架（tetrad）矢量．注意，这里的下指标并不代表分量，而是指不同的标架 4－矢量．

例 1.7 前面讨论的沿 $x$ 方向匀加速运动的飞船上，可以建立如下实验室：

$$
\begin{aligned}
& \left(\widehat{e}_0(\tau)\right)^\mu=(\cosh (a \tau), \sinh (a \tau), 0,0) \\
& \left(\widehat{e}_1(\tau)\right)^\mu=(\sinh (a \tau), \cosh (a \tau), 0,0) \\
& \left(\widehat{e}_2(\tau)\right)^\mu=(0,0,1,0) \\
& \left(\widehat{e}_3(\tau)\right)^\mu=(0,0,0,1)
\end{aligned}
$$

可以看到飞船的时间和第一空间方向是随固有时变化的．
当需要测量的粒子的世界线正好与观测者的世界线在某事件点 $P$ 相交时，我们在 $P$ 处可以对粒子的性质进行观测，如图 1.10 所示。所谓的观测是指相对于观测者的实验室（共动参考系）中的钟和空间轴而言。在事件 $P$ 处观测者所做的任何测量结果由物理量（矢量和张量）在标架矢量上的投影给出．也就是说，这些物理量与标架矢量的标量积给出观测结果．如果粒子的 4 －动量为 $\widehat{p}$ ，观测者观测到的粒子的能量和动量分别为

$$
E_{\mathrm{obs}}=-\widehat{p} \cdot \widehat{e}_0, \quad \boldsymbol{P}_{\mathrm{obs}}^i=\widehat{p} \cdot \widehat{e}_i,
$$

即粒子 4－动量沿标架 4－矢量 $\left\{\widehat{e}_a\right\}$ 的投影，或者说与标架 4－矢量的标量积．不难看出，这里的定义并不要求观测者做匀速运动，因此可以有广泛的应用．实际上，它只依赖于观测者的共动参考系的定义．我们将看到这个定义可以应用到弯曲时空中的测量．其次，注意到上面的观测量最终都是由标量积所定义，因此最终对能量和动量分量的测量结果与坐标系的选择无关．请思考，对其他的张量又如何呢？

![图片](/uploads/2025-11/668ef0.jpg)
 
 
 在上面的讨论中，很容易发现对类空基矢的选择并不唯一，有相当大的自由度，只需要与类时矢量正交．实际上，我们可以对三个类空基矢进行任意旋转，所以有 $\operatorname{SO}(3)$旋转自由度．当然，不同的选择并没有绝对的意义．然而，重点是一旦选定基矢，我们不希望在下一个时刻有更多的选择性存在。也就是说，我们希望在上一时刻选定了基矢，下一时刻的基矢与它有自然的过渡，这个过渡仅由观测者的运动确定．在这样一个 ＂非转动＂标架上，基矢的变化由类时矢量 $\widehat{u}$ 的变化率确定，而没有额外转动的影响。换句话说，我们允许由 4－速度 $\widehat{u}$ 和 4－加速度 $\widehat{a}$ 定义的平面上无法避免的转动，但排除通常三维空间矢量上的转动．因此，我们要求标架基矢的变化满足下面两个要求：
（1）如果 $\widehat{e}_a$ 在 $\widehat{u}$ 和 $\widehat{a}$ 定义的平面上，基矢的变化是某种线性变换；
（2）如果 $\widehat{e}_a$ 在其他平面，特别是任何类空平面上，基矢不会有任何转动．满足这两个要求的唯一可能性是

$$
\frac{\mathrm{d} \widehat{e}_a}{\mathrm{~d} \tau}=-\left(\widehat{u} \cdot \widehat{e}_a\right) \widehat{a}+\left(\widehat{a} \cdot \widehat{e}_a\right) \widehat{u}
$$

实际上，上面的标架基矢可以换成任何其他矢量．任何矢量如果沿粒子的世界线依照上面的关系变换，则称其为沿着世界线做费米－沃克尔（Fermi－Walker）移动 ${ }^{(5)}$ 。这个关系告诉我们一旦在某事件点选定了一组标架基矢，这组标架基矢在随后的时间中随着观测者的运动是如何变化的。如果某标架基矢 $\widehat{e}_a$ 同时与 $\widehat{u}$ 和 $\widehat{a}$ 正交，则其变化率为零，即保持不变．而对于类时基矢，其随世界线的变化为 $\frac{\mathrm{d} \widehat{e}_0}{\mathrm{~d} \tau}=\widehat{a}$ ，即由 4－加速度确定，这与 4－加速度的定义相洽．

上面的讨论实际上依赖共动参考系的建立以及共动参考系中的理想钟．如果观测者加速过快就有可能带来麻烦．比如测量一个完整的光波时，所需要的时间是 $\Delta t \propto 1 / \nu$ ，而观测者在此期间位置的变化为 $\frac{1}{2} a(\Delta t)^2 \approx \frac{1}{2} a \frac{1}{\nu^2}$ ，其中 $a$ 是观测者的加速度．这个变化与光子的波长相比必须可以忽略，这就要求（明显写出光速 $c$ ）
$$
a \ll 2 c \nu
$$

同样，对做加速运动的源也有类似的限制．
下面我们利用上面定义的观测来讨论一些物理过程，从而显示这种定义给我们带来的方便。

例1．8 运动粒子的能量。
考虑一个稳态粒子，而观测者相对它以速度 $v$ 运动，观测者测得粒子的能量可以通过洛伦兹变换来得到。这里我们选定相对粒子不动的坐标系，因此粒子的 4 －动量为
 
 
$p^\mu=(m, 0,0,0)$ ．而观测者实验室的时间方向是 $e_0^\mu=u_{\mathrm{obs}}^\mu=(\gamma, v \gamma, 0,0)$ ．由上面的讨论，观测到的能量是

$$
E=-\widehat{p} \cdot \widehat{e}_0=m \gamma
$$

这与我们通常假定观测者静止的参考系来做观测得到的结果一致．注意4－动量和基矢间的标量积是一个标量，不随参考系的选择而变化．显然，我们可以选定观测者保持静止的参考系，而考虑粒子做匀速运动，最终得到的结果是一样的．

例 1.9 匀加速观测者看到的光子频率．
考虑一颗位于参考系原点的稳定恒星发出光，而观测者在一个以匀加速 $a_0$ 前进的飞船中。如果 $\omega_{\star}$ 是恒星参考系中光子的频率，而光子的运动是沿着正 $x$ 轴，其 4 －动量为

$$
p^\mu=\left(\hbar \omega_{\star}, \hbar \omega_{\star}, 0,0\right)
$$

观测者的世界线在前面已讨论过，为 $(t, x, y, z)=\left(a_0^{-1} \sinh \left(a_0 \tau\right), a_0^{-1} \cosh \left(a_0 \tau\right), 0,0\right)$ ．由 $E=-\widehat{p} \cdot \widehat{u}$ ，且 $E=\hbar \omega$ ，我们知道测得的光子频率为

$$
\omega(\tau)=\hbar^{-1}\left(p^t u^t-p^x u^x\right)=\omega_{\star}\left(\cosh \left(a_0 \tau\right)-\sinh \left(a_0 \tau\right)\right)=\omega_{\star} \mathrm{e}^{-a_0 \tau}
$$

如果飞船有初速度沿着负 $x$ 轴方向飞，但加速度是沿着正 $x$ 轴方向，则在转向前，飞船是向着恒星飞，观测到的光子频率蓝移，因为 $\tau<0$ 。而在晚期转向以后，飞船离恒星越来越远，观测到的光子频率红移．注意，与前面讨论多普勒频移时不同，由于观测者在做匀加速运动，蓝移和红移因子都是指数的形式。观测者转向以后，他看到的恒星发出的光变红，加速度越大，变红得越快．这里的一个典型时间尺度是 $\Delta \tau \approx 1 / a_0$ ．

实际上，对于与加速观测者来说，存在视界（horizon），观测者无法看到视界之后的时空．我们通过图 1.11 来说明．假定光源（恒星）$A$ 在原点处保持不动，但稳定地发光，其世界线在恒星的静止惯性系中就是沿着 $x=0$ 的时间轴。而观测者 $B$ 在飞船的舰桥上，飞船在 $x=1 / a_0$ 处转向，以匀加速沿着正 $x$ 轴远离恒星．注意在飞船转向时观测者看到的光实际上是恒星在 $t_0=-1 / a_0$ 时刻发出的，经过时间 $\Delta t=1 / a_0$ 后，观测者再也看不到恒星的星光，因为在 $t=0$ 时发出的光线是双曲线的渐近线，无法与观测者的世界线相交，也就是说 $t=0$ 之后恒星发出的光再也到达不了飞船。因此，$x=t$相对于观测者来说是一个视界，意味着在这个面左边发生的一切事件都不可能被观测者 $B$ 看到。这个视界称为加速视界，它是个零曲面，其法矢量是一个零矢量。更一般地，对任意一个做匀加速运动的观测者而言，都存在一个视界。

这个视界的存在有着重要的物理意义．经典上看，观测者对于时空的某一部分无法做观测，这完全来自观测者自己的运动状态．这说明，不同的观测者对时空的感观是

![图片](/uploads/2025-11/cbcebf.jpg)
 
 不一样的．如果考虑量子力学效应，这个匀加速运动的观测者将感觉到自己处于一个温度与加速度成正比的热库中．这种量子现象称为盎鲁（Unruh）效应．

例1．10 爱因斯坦圆盘。
如图 1.12 所示，考虑光子的接收器和发射器都在一个半径为 $r$ 的圆盘边界上，这个圆盘以常角速度 $\omega$ 转动．如果发射器发射光子被接收器收到，可能的红移因子是多少？如何依赖于 $\omega, r$ ？

![图片](/uploads/2025-11/d0e2e8.jpg)
  
  解 令 $\widehat{u}_{\mathrm{e}}$ 是发射器的 4－速度，$\widehat{u}_{\mathrm{o}}$ 为观测者（接收器）的 4－速度，而 $\widehat{p}$ 为光子的

4－动量．我们知道发射光子的能量为

$$
E_{\mathrm{e}}=-\widehat{p} \cdot \widehat{u}_{\mathrm{e}},
$$

而观测到的光子能量为

$$
E_{\mathrm{o}}=-\widehat{p} \cdot \widehat{u}_{\mathrm{o}}
$$

则

$$
\frac{\lambda_{\mathrm{o}}}{\lambda_{\mathrm{e}}}=\frac{E_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{o}}}=\frac{-\widehat{p} \cdot \widehat{u}_{\mathrm{e}}}{-\widehat{p} \cdot \widehat{u}_{\mathrm{o}}}=\frac{p^0 u_{\mathrm{e}}^0-\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{u}_{\mathrm{e}}}{p^0 u_{\mathrm{o}}^0-\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{u}_{\mathrm{o}}}
$$

由于圆盘做匀角速度转动，发射器和接收器的速度大小为 $|v|=\omega r$ ，是一个常数．因此，4－速度的空间分量的大小为 $\left|\boldsymbol{u}_{\mathrm{e}}\right|=\left|\boldsymbol{u}_{\mathrm{o}}\right|=v \gamma$ 。由 4－速度的归一化条件，我们知道 $u_{\mathrm{e}}^0=u_{\mathrm{o}}^0=\gamma$ ．此外，利用圆上切线与圆上弦的夹角等于它们所夹弧的弧度的一半，我们发现 $u_{\mathrm{e}}$ 与 $p$ 的夹角等于 $u_{\mathrm{o}}$ 与 $p$ 的夹角，这样
$$
\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{u}_{\mathrm{e}}=\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{u}_{\mathrm{o}} .
$$

因此，我们最终发现

$$
\frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{\lambda_{\mathrm{o}}}=1,
$$

也就是说此时没有红移，即接收到的光子频率和发射的光子频率相同．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：狭义相对论中的动力学

下一篇：洛伦兹群的进一步介绍

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)