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观测者和观测与爱因斯坦圆盘

1.3 观测者和观测

在相对论中，我们需要很好地定义观测者及其观测．同一物理现象，不同的观测者可以有不同的观测结果，这就是相对论的实质．首先，我们先定义观测的具体操作．一个观测是基于观测者所在实验室．实验室就是观测者的共动参考系．换句话说，由于观测者在时空中有自己的世界线，我们需要通过其世界线来确定其实验室．
（1）在实验室中，观测者携带的钟定义了时间方向：

$$
\widehat{e}_0=\widehat{u}_{\text {obs }}=\text { 观测者 (有质量粒子) 的 4-速度. }
$$

（2）其他空间方向要求与时间方向正交，并且互相正交归一：

$$
\widehat{e}_i \cdot \widehat{e}_0=0, \quad \widehat{e}_i \cdot \widehat{e}_j=\delta_{i j}
$$

通常，$\widehat{e}_a$ 称为标架（tetrad）矢量．注意，这里的下指标并不代表分量，而是指不同的标架 4－矢量．

例 1.7 前面讨论的沿 $x$ 方向匀加速运动的飞船上，可以建立如下实验室：

$$
\begin{aligned}
& \left(\widehat{e}_0(\tau)\right)^\mu=(\cosh (a \tau), \sinh (a \tau), 0,0) \\
& \left(\widehat{e}_1(\tau)\right)^\mu=(\sinh (a \tau), \cosh (a \tau), 0,0) \\
& \left(\widehat{e}_2(\tau)\right)^\mu=(0,0,1,0) \\
& \left(\widehat{e}_3(\tau)\right)^\mu=(0,0,0,1)
\end{aligned}
$$

可以看到飞船的时间和第一空间方向是随固有时变化的．
当需要测量的粒子的世界线正好与观测者的世界线在某事件点 $P$ 相交时，我们在 $P$ 处可以对粒子的性质进行观测，如图 1.10 所示。所谓的观测是指相对于观测者的实验室（共动参考系）中的钟和空间轴而言。在事件 $P$ 处观测者所做的任何测量结果由物理量（矢量和张量）在标架矢量上的投影给出．也就是说，这些物理量与标架矢量的标量积给出观测结果．如果粒子的 4 －动量为 $\widehat{p}$ ，观测者观测到的粒子的能量和动量分别为

$$
E_{\mathrm{obs}}=-\widehat{p} \cdot \widehat{e}_0, \quad \boldsymbol{P}_{\mathrm{obs}}^i=\widehat{p} \cdot \widehat{e}_i,
$$

即粒子 4－动量沿标架 4－矢量 $\left\{\widehat{e}_a\right\}$ 的投影，或者说与标架 4－矢量的标量积．不难看出，这里的定义并不要求观测者做匀速运动，因此可以有广泛的应用．实际上，它只依赖于观测者的共动参考系的定义．我们将看到这个定义可以应用到弯曲时空中的测量．其次，注意到上面的观测量最终都是由标量积所定义，因此最终对能量和动量分量的测量结果与坐标系的选择无关．请思考，对其他的张量又如何呢？

![图片](/uploads/2025-11/668ef0.jpg)
 
 
 在上面的讨论中，很容易发现对类空基矢的选择并不唯一，有相当大的自由度，只需要与类时矢量正交．实际上，我们可以对三个类空基矢进行任意旋转，所以有 $\operatorname{SO}(3)$旋转自由度．当然，不同的选择并没有绝对的意义．然而，重点是一旦选定基矢，我们不希望在下一个时刻有更多的选择性存在。也就是说，我们希望在上一时刻选定了基矢，下一时刻的基矢与它有自然的过渡，这个过渡仅由观测者的运动确定．在这样一个 ＂非转动＂标架上，基矢的变化由类时矢量 $\widehat{u}$ 的变化率确定，而没有额外转动的影响。换句话说，我们允许由 4－速度 $\widehat{u}$ 和 4－加速度 $\widehat{a}$ 定义的平面上无法避免的转动，但排除通常三

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