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引力红移

3.4 引力红 移

在牛顿引力理论中，只要物体有质量，它都将受到引力场的影响。无质量的物体似乎不会受到引力的影响。然而，狭义相对论中的质能关系告诉我们，质量和能量是一体的两面，即使对于没有静止质量的光子，$E=\hbar \omega$ ，它也具有某种＂质量＂．一个有趣的问题是光子如何受到引力的影响．在狭义相对论中，光子总是以直线前进，而引力会改变粒子的运动轨迹，这意味着光子在引力场中将会发生偏折。光线偏转将是广义相对论中的重要课题．这里，我们不考虑光线的偏折，而讨论一个更加简单的情形．我们将显示光子在引力势中将发生红移或者蓝移。我们需要的知识只是爱因斯坦等效原理或者能量守恒。
（1）能量守恒与引力红移。
下面我们通过理想实验，利用能量守恒来讨论引力红移。考虑一个理想情形，如图 3.3 所示，在地球的引力场中有垂直位置 $A$ 和 $B, A$ 高 $B$ 低，高度差为 $h$ ．如果 $h$ 不是很大，则我们可以忽略 $A$ 和 $B$ 处的引力加速度之差，认为 $g$ 是一个常数．在 $B$ 处的
引力势比 $A$ 处低．考虑一个粒子从 $A$ 处静止释放，运动至 $B$ 处，如果粒子的静止质量为 $m$ ，则在 $A$ 处和 $B$ 处其能量为

$$
E_A=m, \quad E_B=m+m g h .
$$

假定在 $B$ 处粒子完全湮灭成光子，发射回 $A$ 处．光子的初始能量为

$$
\hbar \omega=E_B .
$$

![图片](/uploads/2025-11/893b3f.jpg)
 
 如果光子在引力场中的传播不受引力的影响，则在 $A$ 处假定该光子转换为粒子，其能量应为静止质量 $m$ 加上能量 $m g h$ ．然而这样的后果是粒子获得了额外的能量，也就是说，能量不守恒了．为了保证能量守恒，光子在引力场中传播时频率必须发生改变．由于

$$
\begin{aligned}
& E_A=m=\hbar \omega_A, \\
& E_B=m+m g h=\hbar \omega_B,
\end{aligned}
$$

我们不期待普朗克（Planck）常数会在引力场中发生变化，所以必须有 $\omega_B>\omega_A$ ．我们可以定义红移因子

$$
z \equiv \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{\mathrm{i}}}=\frac{\lambda_{\mathrm{f}}-\lambda_{\mathrm{i}}}{\lambda_{\mathrm{i}}}
$$

其中 $\lambda_{\mathrm{i}}$ 是初始发射时的光子波长，$\lambda_{\mathrm{f}}$ 是最终接收时的光子波长，$\Delta \lambda$ 是光子波长的变化．在我们讨论的情形，

$$
1+z=\frac{\lambda_{\mathrm{i}}+\Delta \lambda}{\lambda_{\mathrm{i}}}=\frac{\lambda_A}{\lambda_B}=\frac{\omega_B}{\omega_A}=1+g h
$$

即 $z=g h$ ．严格地说，引力加速度并非一个常数，$g=-\nabla \Phi$ ，但是我们可以分段讨论，而每一小段上引力加速度可以看作常数，由此我们的红移因子是各段的叠加：

$$
z=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=\frac{1}{c} \int \nabla \Phi \mathrm{~d} z=\Delta \Phi .
$$

简单地说，红移因子等于引力势的变化．
（2）爱因斯坦等效原理与引力红移。
上面的讨论可以换一个角度，从爱因斯坦等效原理出发来进行讨论。如图 3.4 所示，考虑一个匀加速运动的电梯，匀加速度 $\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{g}$ ，而电梯高度是 $h$ ．假定电梯运动的速度 $v \ll c$ ，所以狭义相对论的效应可忽略．假设 $h$ 也较小，这样广义相对论的其他效应也可忽略．在这两个假设下二阶小量如 $(v / c)^2,\left(g h / c^2\right)^2$ 可忽略，而一阶量 $(v / c),\left(g h / c^2\right)$是重要的，需要保留．电梯底部记为 $B$ ，顶部记为 $A$ ，它们在垂直位置的高度分别为

$$
z_B(t)=\frac{1}{2} g t^2, \quad z_A(t)=h+\frac{1}{2} g t^2 .
$$

![图片](/uploads/2025-11/ea4941.jpg)
 
 考虑从底部 $B$ 连续发射两个脉冲，

$$
\begin{gathered}
t=0 \rightarrow t_1, \quad \text { 第一个脉冲收到, } \\
t=\Delta \tau_B \rightarrow t_1+\Delta \tau_A, \quad \text { 第二个脉冲收到. }
\end{gathered}
$$

对第一个脉冲而言，它经过的距离为

$$
z_A\left(t_1\right)-z_B(0)=c t_1 .
$$

而对第二个脉冲，由于电梯在加速，它到达 $A$ 时经过的距离要长一些，

$$
z_A\left(t_1+\Delta \tau_A\right)-z_B\left(\Delta \tau_B\right)=c\left(t_1+\Delta \tau_A-\Delta \tau_B\right) .
$$

假定发射时两个脉冲间的间隔 $\Delta \tau_B$ 较小，我们对上面的量展开，只保持 $\Delta \tau_A$ 和 $\Delta \tau_B$的线性项，

$$
\begin{aligned}
h+\frac{1}{2} g t_1^2 & =c t_1, \\
h+\frac{1}{2} g\left(\left(t_1+\Delta \tau_A\right)^2-\left(\Delta \tau_B\right)^2\right) & =c\left(t_1+\Delta \tau_A^{\prime}-\Delta \tau_B\right),
\end{aligned}
$$
由此可得

$$
g t_1 \Delta \tau_A=c\left(\Delta \tau_A-\Delta \tau_B\right)
$$

因为 $t_1 \approx h / c$ ，所以

$$
\Delta \tau_A=\frac{\Delta \tau_B}{1-g h / c^2}
$$

光子的频率 $\omega \propto \frac{1}{\Delta \tau}$ ，这样就有

$$
\omega_A=\left(1-\frac{g h}{c^2}\right) \omega_B, \quad \lambda_A=\left(1+\frac{g h}{c^2}\right) \lambda_B
$$

这正是前面通过能量守恒推导出的关系式．上面的讨论只在弱引力极限下成立，此时牛顿引力势并不大．对于强引力场的情形，我们必须在广义相对论的框架下讨论．我们将在第八章讨论此问题．

引力的红移效应可以理解为光子为了克服引力势损失了能量．如果反过来，光子从引力势高的地方到引力势低的地方，它将获得能量，这样就会产生引力蓝移效应。通常我们说引力红移，实际上指的是光子克服引力势的过程。这个效应已经被实验所证实。第一个这方面的实验是1960年庞德（Pound）和瑞布卡（Rebka）完成的，1964年进一步被庞德和斯奈德（Snider）改进．实验是在美国哈佛大学的杰斐逊实验室完成．对于一个高为 22.5 m 的塔，其塔底和塔顶的引力势差为 $g h / c^2 \sim 10^{-15}$ ．这个差别是如此之小，必须借助非常精密的方法来测定。该方法利用了穆斯堡尔效应。实验结果表明，引力红移效应确实存在，理论与实验的偏差只有约 $1 \%$ 。
3.5 全球定位系统（GPS）中的相对论修正

在现在常用的全球定位系统中，总共有 24 颗卫星，每一颗绕地球的周期为 12 h ． 24 颗卫星在 6 个轨道面上，也就是说，每一个轨道面上有 4 颗卫星。卫星上携带有非常准确的原子钟，这些钟即使经过数周其误差也仅有 $10^{-13} \mathrm{~s}$ 。在地球的近似惯性系中，每一颗卫星周期性地发射关于空间和时间的信息。我们知道，从三颗卫星发射的信号可以把空间位置限制在三个球面的交叉点上，而四颗卫星就可以完全确定时间和空间的信息．这可以在二维的情形比较清楚地看到．在二维中，只需要两颗卫星：

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