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两个重要的分式线性函数★★★★★

## 两个重要的分式线性映射

`例`试求把上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 保形映射成圆盘 $|w|<1$ 的分式线性函数．
设 $z_0$ 为上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 内的一点，分式线性函数 $w=T(z)$ 将其映成圆盘 $|w|<1$ 内的 $w=0$ ，且将实轴 $\operatorname{Im} z=0$ 映成单位圆周 $|w|=1$ ，则由分式线性函数的保对称性，有 $T\left(\bar{z}_0\right)=\infty$ ，于是可设 $w=T(z)=\lambda \frac{z-z_0}{z-\bar{z}_0}$ ，由于 $|w(x)|=1(x \in R )$ ，即 $\left|\lambda \frac{x-z_0}{x-\bar{z}_0}\right|=1$ ，因此 $|\lambda|=1$ ，令 $\lambda= e ^{ i \theta}$ ，则

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 （1）试求把上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 保形映射成圆盘 $|w|<1$ 的分式线性函数．
 
 
 
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 `例`试求把圆盘 $|z|<1$ 保形映射成圆盘 $|w|<1$ 的分式线性函数．
设 $z_0$ 为 $|z|<1$ 内的一点，分式线性函数 $w=T(z)$ 将其映成 $|w|<1$ 内的 $w=0$ ，且将单位圆周 $|z|=1$ 映成单位圆周 $|w|=1$ ，由分式线性函数的保对称性，有 $T\left(\frac{1}{\bar{z}_0}\right)=\infty$ ，于是可设 $w=T(z)=\lambda \frac{z-z_0}{z-\frac{1}{\bar{z}_0}}=\lambda_1 \frac{z-z_0}{1-\bar{z}_0 z}\left(\lambda_1=-\lambda \bar{z}_0\right)$ ．由于 $\left|w\left( e ^{ i \alpha}\right)\right|=1(\alpha \in R )$ ，即 $\left|\lambda_1 \frac{ e ^{ i \alpha}-z_0}{1-\bar{z}_0 e ^{ i \alpha}}\right|=1$ ，因此 $\left|\lambda_1\right|=1$ ，令 $\lambda_1= e ^{ i \theta}$ ，则

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 ## 举例
 
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 上半平面与单位圆域是两个非常典型的区域，而一般区域间的共形映射的构造大都是围绕这两个区域来进行的，因此它们之间的相互转换显得非常重要。下面通过例子来给出它们之间的映射。

求一分式线性映射，把上半平面 $\operatorname{Im} z>0$ 映射为单位圆内部 $|w|<1$ ．

解法一 这两个区域的边界分别为实轴与单位圆周 $\Gamma$ ，正好是从＂圆＂变到圆，根据唯一决定分式线性映射的条件，可在实轴上取三点 $0,1, \infty$ ，使其分别映射为圆周 $\Gamma$ 上的三点 $-1,- i , 1$ ．由对应点公式有

$$
\frac{w+1}{w+i}: \frac{1+1}{1+i}=\frac{z-0}{z-1}: \frac{1}{1},
$$

整理后得

$$
w=\frac{z-i}{z+i} .
$$
如果仅要求把上半平面映射为单位圆，而不作其他限制的话，上面的式子已经足够了．但必须清楚的是，这一问题本身可以有无穷多个解，它们与三对点的选取有关。下面给出的解法可以得到通解。

解法二 在上半平面任取一点 $z_0$ ，使之映射到 $w$ 平面上的原点 $w=0$ ．由于 $z_0$ 与 $z_0$ 关于实轴对称， 0 与 $\infty$ 关于单位圆对称，根据保对称点性，$z_0$ 应映射为 $\infty$ ，由推论 6.2 ，该映射具有如下形式：

$$
w=k \frac{z-z_0}{z-z_0} \text { ( } k \text { 为待定的复常数). }
$$

由于当 $z$ 在实轴上取值时，$\left|\frac{z-z_0}{z-z_0}\right|=1$ ，且对应的 $w$ 满足 $|w|=1$ ，所以 $|k|=1$ ，即 $k= e ^{ i \theta}$（ $\theta$ 为任意的实常数）。因此所求映射的一般形式为

$$
w=e^{i \theta} \frac{z-z_0}{z-\bar{z}_0} .
$$

在上式中若取 $z_0= i , \theta=0$ ，则得到解法一的结果．

`例`求一分式线性映射，把单位圆内部 $|z|<1$ 映射为单位圆内部 $|w|<1$ ．

解 在 $|z|<1$ 内任取一点 $z_0$ ，使之映射为 $w_0=0$ ，由于 $z_0$ 与 $\frac{1}{z_0}$ 关于 $|z|=1$ 对称， 0 与 $\infty$ 关于 $|w|=1$ 对称，根据保对称点性，$\frac{1}{z_0}$ 应被映射为 $\infty$ 。因此，映射具有如下形式：

$$
w=k \frac{z-z_0}{z-\frac{1}{\bar{z}_0}}=k_1 \frac{z-z_0}{1-\bar{z}_0 z} \quad\left(k_1=-k \bar{z}_0 \text { 为待定复常数 }\right) \text {. }
$$

由于 $|z|=1$ 上的点映射为 $|w|=1$ 上的点，因而对于 $z=1$ ，其像点 $w$ 满足 $|w|=1$ ，即有

$$
|w|=\left|\frac{1-z_0}{1-\bar{z}_0}\right|\left|k_1\right|=\left|k_1\right|=1,
$$

于是 $k_1= e ^{ i \theta}$（ $\theta$ 为任意的实常数）。因此所求映射的一般形式为

$$
w=e^{i \theta} \frac{z-z_0}{1-\bar{z}_0 z}
$$

上面所给的三个式子是比较重要的式子，在将一些一般的区域映射为单位圆域时，常常会通过某些其他手段将它先变成上半平面，再变为单位圆域。

`例`求一分式线性映射 $w=f(z)$ ，将区域 $|z|<2$ 映射为区域 $\operatorname{Re} w>$ 0 ，且满足 $f(0)=1, \arg f^{\prime}(0)=\frac{\pi}{2}$ ．
解 此题可借助例 1来进行，我们已经知道如何将上半平面变成单位圆域，则其逆映射就将单位圆域映射为上半平面．因此，我们可以从区域 Re $w>0$ 出发，构造映射使其变为 $|z|<2$ ，再求其逆映射便得结果．具体如下：
（1）旋转映射 $w_1=w e ^{ i \frac{\pi}{2}}= i \omega$ 使右半平面变为上半平面．
（2）映射 $w_2= e ^{ i \theta} \frac{w_1-w_0}{w_1-\bar{w}_0}$ 使上半平面变为单位圆域（这里利用了（6．13）式）．
（3）相似映射 $z=2 w_2$ 使单位圆域变为圆心在原点、半径为 2 的圆域．因此，将 $\operatorname{Re} w>0$ 映射为 $|z|<2$ 的分式线性映射为

$$
z=2 e^{i \theta} \frac{i w-w_0}{i w-\bar{w}_0},
$$

对上式求逆，则得到将 $|z|<2$ 映射为 $\operatorname{Re} w>0$ 的分式线性映射

$$
w=\frac{\bar{w}_0 z-2 w_0 e^{i \theta}}{i z-2 ie^{i \theta}}=f(z)
$$

由 $f(0)=1$ 得 $w_0= i$ ，又由 $f^{\prime}(0)= e ^{ i (-\theta)}$ 及 $\arg f^{\prime}(0)=\frac{\pi}{2}$ ，可得 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ ．从而所求映射为

$$
w=\frac{\overline{i} z-2 ie^{-\frac{\pi}{2} i}}{i z-2 ie^{-\frac{\pi}{2} i}}=-\frac{z-2 i}{z+2 i}
$$

分式线性映射的确具有许多好的性质，但仅用分式线性映射构造共形映射显然是不够的，即使是将第一象限映射为上半平面这样简单的情况，分式线性映射也无能为力。因此下一节将介绍一些其他初等函数的映射特性，并将它们联合起来构成共形映射．

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