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高等代数
第一章 代数学的经典课题
引言
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更新:
2025-09-04 15:07
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引言
## 第一章 代数学的经典课题 引 言 代数学是一个历史悠久的数学分支,它有着十分广泛的应用领域。从本来的意义上说,代数学研究数和它的加、减、乘、除四则运算 (统称代数运算)。因此,代数学的知识渗透到人类的生产实践、社会实践以至日常生活的一切领域。它的基本知识是每个人都需要具备的。从小学到中学的 12 年启蒙或普及教育中,代数是贯穿始终的一门主课.从中学毕业出来的青年学生,已经对数及其四则运算有了丰富的感性认识和初步的理论知识。 但是,在这个人人熟悉的,粗看起来似乎颇为简单的领域中,其实蕴含着十分丰富、十分深奥的知识。其中许多课题至今仍然远远没有被人们弄清楚。举一个典型的例子:大约在1637年,法国数学家 Fermat 断言,对于大于 2 的整数 $n$ ,三个未知量 $x, y, z$ 的代数方程 $x^n+y^n=z^n$ 没有正整数解。这个问题中,只牵涉到正整数的加法与乘法(乘方)运算,可说是再简单不过了,具有初中一年级代数知识的人都能看明白。但是它历经 350 余年,无数第一流的数学家为之绞尽脑汁,才于 1994 年被 Princeton 大学的数学家 Wiles 使用现代最深奥的数学理论得出解答.这一例子说明,植根于数及其四则运算的理论这一片沃土上的代数学,在经过漫长的发展过程之后,无疑已成为一个内容十分丰硕的理论学科. > 高等代数是代数学的入门课程,它的任务是阐述代数学的一些基础知识,使读者了解代数学的研究对象,初步掌握代数学的基本思想和处理问题时特有的一套基本方法。 在本教程中,我们大致从两个方面来进入这个课题。 首先,从生产实践和自然科学理论中,自然地产生了求解代数方程的问题,它就是代数学的经典课题.例如,根据牛顿第二运动定律,物体所受的力 $F$ ,它的质量 $m$ 和产生的加速度 $a$ 之间存在关系 $F= m a$ .如果已知物体的质量 $m$ 和所受的力 $F$ ,求加速度 $a$ ,这就是一元一次方程的求解问题。又比如,一个以初速 $v_0$ 在水平面上作匀加速运动的物体,它的加速度 $a$ ,运动时
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