最后更新: 2025-09-04 15:07 查看: 61 次纠错评论(0) 课件开VIP

引言

## 第一章 代数学的经典课题

引 言

代数学是一个历史悠久的数学分支，它有着十分广泛的应用领域。从本来的意义上说，代数学研究数和它的加、减、乘、除四则运算 （统称代数运算）。因此，代数学的知识渗透到人类的生产实践、社会实践以至日常生活的一切领域。它的基本知识是每个人都需要具备的。从小学到中学的 12 年启蒙或普及教育中，代数是贯穿始终的一门主课．从中学毕业出来的青年学生，已经对数及其四则运算有了丰富的感性认识和初步的理论知识。

但是，在这个人人熟悉的，粗看起来似乎颇为简单的领域中，其实蕴含着十分丰富、十分深奥的知识。其中许多课题至今仍然远远没有被人们弄清楚。举一个典型的例子：大约在1637年，法国数学家 Fermat 断言，对于大于 2 的整数 $n$ ，三个未知量 $x, y, z$ 的代数方程 $x^n+y^n=z^n$ 没有正整数解。这个问题中，只牵涉到正整数的加法与乘法（乘方）运算，可说是再简单不过了，具有初中一年级代数知识的人都能看明白。但是它历经 350 余年，无数第一流的数学家为之绞尽脑汁，才于 1994 年被 Princeton 大学的数学家 Wiles 使用现代最深奥的数学理论得出解答．这一例子说明，植根于数及其四则运算的理论这一片沃土上的代数学，在经过漫长的发展过程之后，无疑已成为一个内容十分丰硕的理论学科．

> 高等代数是代数学的入门课程，它的任务是阐述代数学的一些基础知识，使读者了解代数学的研究对象，初步掌握代数学的基本思想和处理问题时特有的一套基本方法。

在本教程中，我们大致从两个方面来进入这个课题。

首先，从生产实践和自然科学理论中，自然地产生了求解代数方程的问题，它就是代数学的经典课题．例如，根据牛顿第二运动定律，物体所受的力 $F$ ，它的质量 $m$ 和产生的加速度 $a$ 之间存在关系 $F= m a$ ．如果已知物体的质量 $m$ 和所受的力 $F$ ，求加速度 $a$ ，这就是一元一次方程的求解问题。又比如，一个以初速 $v_0$ 在水平面上作匀加速运动的物体，它的加速度 $a$ ，运动时间 $t$ 和移动的距离 $S$ 满足

$$
S=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 .
$$

如果已知 $S, v_0, a$ ，求运动时间 $t$ ，这就是求一元二次方程的根．数学史表明，早在中世纪人们就已经找到解一元一次、二次代数方程的一般方法。到欧洲的文艺复兴时代，又找到一元三次、四次方程的求根公式。但是随后数学家们就碰到难题了。在数百年时间内，他们苦苦寻求五次以上代数方程的求根公式，却总是遭到失败．直到1832年，法国数学家伽罗瓦 Galois 才找到了一个高次代数方程有根式解（即用该方程的系数经加、减、乘、除及开方运算表示它的全部根）的判别准则，完满地解决了高次代数方程根的理论课题。根据伽罗瓦 Galois 的理论，五次以上的一般代数方程没有求根公式。Galois 的工作中最值得注意的是，他不是局限在数的四则运算的范围内考查问题。他跳出这个圈子，考查 $n$ 次方程的 $n$ 个根的某些置换所组成的集合 $G$ ，规定 $G$ 内两个置换的＂乘积＂是对根的集合逐次进行这两个置换。于是他在一个并非由数组成的集合 $G$ 内定义了一种新的代数运算：**乘法**（它完全不同于数的乘法）。他发现这种乘法也具有与数的乘法相类似的某些运算法则（例如满足结合律等等）．这个新的具有乘法运算的集合我们现在把它称为该高次代数方程的 **伽罗瓦Galois群**。

**Galois证明：高次代数方程有没有根式解取决于它的 Galois群的结构**．这样，人们的认识发生了一个质的飞跃，那就是为了研讨数及其代数运算中所包含的深刻规律，我们必须跳出数及其四则运算的框框，去研究一个更一般的集合及其中应有的代数运算．这样，代数学发生了一个革命性的变化：从研究代数方程的求根这一经典课题解脱出来，变成研究一个一般的集合（其元素可以完全抽象，没有具体内容），在其中存在一种或若干种代数运算（这种运算不同于数的四则运算，甚至可以是抽象定义的），同时要求这些运算要满足一定的运算法则．这样的一个体系我们称之为一个代数系统．现代的代数学的研究对象就是各种各样的代数系统以及它们之间的相互关系。

Galois 的理论有相当的深度和难度，我们没有可能在高等代数这一入门课程中来讲授它．但是我们却发现，如果考查一类较简单的代数方程：多元一次代数方程组的问题，它也把我们引导到同样的领域中去．也就是说，当我们讨论多元一次代数方程组（读者在中学代数课程中已经熟知二元一次联立方程组和三元一次联立方程组）的理论问题时，我们同样发现，我们也必须跳出数及其四则运算的范畴，去研究一个由并非普通的数所组成的集合，在这个集合的元素之间也存在某些运算并满足相应的运算法则，它们于是也成为一种代数系统，而多元一次联立代数方程组的理论课题也由这个代数系统的理论完满解决．这样，它就把我们引导到现代代数学的殿堂之中．这就是本书所要着重讨论的线性代数理论。

## 数的封闭性
现在我们来阐述从数及其四则运算的理论进入现代代数学的另一条途径。我们知道，整数是数的系统中最简单又是最基本的一类数。如果考查全体整数所成的集合 $Z$ ，那么，在 $Z$ 内可以做加法、减法和乘法，但除法却不是总可以进行。于是要讨论用一个非零整数 $a$ 去除另一个整数 $b$ 时，何时商 $\frac{b}{a}$ 还是一个整数？这就产生了 $Z$ 内的整除理论，随之又产生了因子分解理论．与此同时，在讨论高次代数方程时，需要考查全体多项式（一般形式可表示为 $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots +a_{n-1} x+a_n$ ）所组成的集合 $P$ ，在这个集合内同样可以做多项式的加法、减法和乘法，但除法却不是总可以进行。于是同样要讨论何时用一个非零多项式 $f(x)$ 去除另一个多项式 $g(x)$ 可以除尽的问题。这就是多项式集合 $P$ 内的整除理论。当然，随之而来的是 $P$ 内的因子分解理论．$Z$ 和 $P$ 是两个元素完全不同的集合，其中的加法、减法、乘法的具体内容也完全不同。但我们发现，这些代数运算满足相同的运算法则．而且，在这两个集合内研究的理论课题和所得的结果也是惊人地相似。这就启发我们：可以研究一个一般的集合，其中的元素可以作加法运算及其逆运算减法，又可以作乘法运算（但不一定能作逆运算除法），同时这两种运算满足一定运算法则（类似于整数，多项式的加法、乘法所满足的基本运算法则）．这样，我们又把研究的课题归纳到前面提到的代数系统中来．这可谓殊途同归．

综上所述，高等代数课程的任务，就是要以中小学课程中阐述的数及其四则运算的初等理论以及由之产生的各类代数方程的初等理论为基础，从理论上提升一步，引导读者进入现代代数学的研究领域：各类代数系统及其相互关系的理论，使读者对于代数学的基本思想和基本方法有一个初步的了解。希望读者对于本课程的这一基本任务有一个整体和清楚的认识，以便在整个课程学习中处于高屋建瓴的地位。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：数的扩充-复数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)