最后更新: 2025-09-04 15:23 查看: 167 次纠错评论(0) 课件开VIP

数的扩充-复数

## 1．复数的基本知识
读者在中学里已熟知实数的基本知识，现在我们从理论上对它们作一概括．

令 $R$ 代表全体实数所组成的集合．我们已知的知识有下面几个方面．

1）实数有加法运算，两个实数 $a, b$ 相加 $a+b$ 仍是一个实数．
2）实数有乘法运算，两个实数 $a, b$ 相乘 $a b$ 仍是一个实数。
3）实数的加法、乘法运算满足下面的运算法则：
（i）加法满足结合律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$a+(b+c)=(a+b)+c$
（ii）加法满足交换律，即对任意实数 $a, b$ ，有 $a+b=b+a$ ；
（iii）存在实数 0 ，使对任意实数 $a$ ，有 $0+a=a$ ；
（iv）对任意实数 $a$ ，存在实数 $b$ ，使 $b+a=0$ ；
（v）实数乘法满足结合律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$a(b c)=(a b) c$
（vi）实数乘法满足交换律，即对任意实数 $a, b$ ，有 $a b=b a$ ；
（vii）存在实数 1 ，使对一切非零实数 $a$ ，有 $1 a=a$ ；
（viii）对任意非零实数 $a$ ，存在实数 $b$ ，使得 $b a=1$ ；
（ix）加法与乘法之间有分配律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$(a+b) c=a c+b c$

上面所列九条，是实数理论的基础，我们关于实数运算的所有其他知识，都可以从上述九条经过逻辑推理推导出来，而不必顾及加法、乘法的具体含意。下面举几个例子。

`例1.1` 对实数 $a$ ，满足法则（iv）的实数 $b$ 是唯一的。
证 设有实数 $c$ 也满足 $c+a=0$ ．依次运用前四条法则，我们有

$$
\begin{aligned}
c & =0+c=(b+a)+c=b+(a+c)=b+(c+a) \\
& =b+0=0+b=b .
\end{aligned}
$$

因此，我们把满足法则（iv）的唯一实数 $b$（它由 $a$ 唯一决定）记为 $-a$ ，称为 $a$ 的负数。对任意实数 $a, b$ ，我们定义 $a-b=a+(-b)$ ，称之为实数的减法运算．由此知道，实数的减法运算实际上也是加法运算。

`例1.2` 对任意实数 $a$ ，有 $0 a=0$ ．
证 按法则（iv），存在实数 $b$ ，使 $b+0 a=0$ ．使用上述九条法则，我们有

$$
\begin{aligned}
0 a & =0+0 a=(b+0 a)+0 a=b+(0 a+0 a) \\
& =b+((0+0) a)=b+0 a=0
\end{aligned}
$$

`例1.3` 对非零实数 $a$ ，满足法则（viii）的实数 $b$ 是唯一的．
证 设有实数 $c$ 也满足 $c a=1$ 。从例1．2可知 $c$ 非零，按法则 （vii），我们有

$$
c=1 c=(b a) c=b(a c)=b(c a)=b 1=1 b=b
$$

因此，我们把满足法则（viii）的唯一实数 $b$（它由非零实数 $a$ 唯一决定）记为 $1 / a$ ，称为 $a$ 的**倒数或逆**。对任意实数 $a$ 及非零实数 $b$ ，定义 $a / b=a(1 / b)$ ，称为实数的除法运算．由此知道，除法运算实际上也是乘法运算。

## 数的扩充
众所周知，实数理论在科学技术领域起着基本的作用。但是，人们也早就认识到单有实数理论是远远不够的．例如最简单的二次方程 $x^2+1=0$ 在实数范围内就无解。因此，应当把实数系扩充为一个更大的数系。但是，在历史上这个扩充却历经长时间的磨难。因为，在人们的脑子中，数是客观存在的事物的量度，例如描述线段的长度，几何图形的面积，物体运动的速度、加速度等等．停留在这种原始、朴素的初等认识上，实数系确实无法进一步扩充。但是如果我们站在高一级的层次上从理论上来看待问题，那就大不相同．就是说，我们按照上面所说，把全体实数看做一个集合 $R$ ，其中元素存在加法和乘法运算，这两种运算满足前述九条运算法则，那么，实数系的扩充就容易理解了。我们只要找出一个大于 $R$ 的集合，其中的元素也定义了加法、乘法运算，而且这两种运算也满足九条运算法则，那我们就可以证明实数系的所有只与加法、乘法运算有关的知识都可扩充到这个新集合中来，这样，实数系的扩充就实现了．

下面我们借助几何直观进行具 体的讨论。读者熟知，实数系可以用平面上一根数轴来表示，集合 $R$ 中的实数与数轴上的点一一对应．由此很容易想到，要扩充 $R$ ，自然是考查全体平面上的点，让平面上的点代表新数系中的数。现取定平面上一个直角坐标系 $O x y$（图1．1），让 $O x$ 轴代表实数轴，坐标原点 $O$ 代表实数 0 。

![图片](/uploads/2025-09/e59f81.jpg)
 
让平面上一个坐标为 $(a, b)$ 的点 $A$ 代表新数系的一个数，记做 $a+ b i$ ．如果 $b=0$ ，那么 $A$ 点落在 $O x$ 轴上，它就是一个实数，即 $a+0 i = a$ ．如果 $a=0$ ，那么 $A$ 点落在 $O y$ 轴上，写成 $0+b i =b i$ ．如果 $a=0, b=$ 1 ，就写成 $0+1 i = i$ ．现在我们得到一个新集合

$$
C=\{a+b i \mid a, b \text { 取所有实数 }\} \text {. }
$$

按照上面的解释，集合 $C$ 包含实数集合 $R$ 。我们在 $C$ 的元素间定义加法和乘法如下：

$$
\begin{aligned}
& (a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d) i \\
& (a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(a d+b c) i
\end{aligned}
$$

很显然，上面式子中，如果 $b=d=0$ ，那就是我们已经熟知的实数加法和乘法。所以 $C$ 中新定义的加法、乘法是实数加法、乘法的扩充。现在 $a+b i$ 可以看做 $a=a+0 i$ 和 $b i =0+b i$ 相加，而 $b i$ 可以看做 $b= b+0 i$ 和 $i =0+1 i$ 相乘。

经过简单的计算就可以验证，上面定义的 $C$ 内的加法、乘法确实满足前面列举出的九条运算法则。于是，我们可以证明实数的各种运算规律在 $C$ 内也完全适用。特别指出：满足法则（iii）的零元素是实数 $0=0+0 i$ ，满足法则（vii）的是实数 $1=1+0 i$ 。因为 $[(-a)+ (-b) i ]+(a+b i )=0$ ，故 $a+b i$ 的负数 $-(a+b i )$ 是 $(-a)+(-b) i$ ，于是 $C$ 内的减法是

$$
\begin{aligned}
(a+b i)-(c+d i) & =(a+b i)+[-(c+d i)] \\
& =(a+b i)+((-c)+(-d) i) \\
& =(a-c)+(b-d) i
\end{aligned}
$$

由此知 $a+(-b) i =a-b i$ ．因为 $(a+b i )(a-b i )=a^2+b^2$ 是一个实数，当 $a+b i$ 非 0 时，我们有

$$
\frac{1}{a^2+b^2}(a-b i)(a+b i)=1 .
$$

因此，我们定义 $a+b i$ 的倒数或逆是

$$
\frac{1}{a+b i}=\frac{1}{a^2+b^2}(a-b i)=\frac{a-b i}{a^2+b^2},
$$

于是 $C$ 内的除法是（设 $c+d i \neq 0$ ）

$$
\frac{a+b i}{c+d i}=(a+b i) \frac{1}{c+d i}=(a+b i) \frac{c-d i}{c^2+d^2} .
$$

## 复数
$C$ 内的数 $a+b i$ 称为 **[复数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=5)** ，$a$ 称为该复数的实部，而 $b i$ 称为它的虚部，$b$ 称为虚部系数．显然，$a+b i$ 是实数当且仅当 $b=0$ ．如果 $a=0$ ， $b i$ 称为纯虚数，它位于 $O y$ 轴上，因此，我们把 $O y$ 轴称为虚轴．我们又有 $i ^2=-1$ ，因而可以写 $i =\sqrt{(-1)} . i$ 称为虚单位．$C$ 称为复数系．用来描述复数系的平面称为复平面，其中每个点代表一个复数。今后，在 $C$ 内作各种运算时，可以像中学代数中作代数式运算那样，只是要把出现的 $i ^2$ 换成 -1 ．复数 $a+b i$ 可以看做实数 $a$ 与纯虚数 $b i$ 相加，而 $b i$ 可看做实数 $b$ 与虚单位 i 相乘，从而 $b i = i b, a+b i =a+ i b$ ．

给定复数 $\alpha=a+b i , a-b i$ 称为 $\alpha$ 的**共轭复数**，我们通常用 $\alpha$ 上加一横杠表示，即 $\bar{\alpha}=a-b i$ 。显然 $\alpha$ 是实数当且仅当 $\alpha$ 与其共轭复数相等。又易知：两个复数 $\alpha, \beta$ 之和 $\alpha+\beta$ 的共轭复数是 $\alpha$ 的共轭复数和 $\beta$ 的共轭复数之和，而 $\alpha \beta$ 的共轭复数是 $\alpha$ 的共轭复数和 $\beta$ 的共轭复数的乘积，即 $\overline{\alpha+\beta}=\bar{\alpha}+\bar{\beta}, \overline{\alpha \beta}=\bar{\alpha} \bar{\beta}$ ．因为当 $c+d i \neq 0$ 时，必然有$(c+d i )(c-d i )=c^2+d^2 \neq 0$ ，上面定义的复数除法实际上就是把分子分母同乘以分母 $c+d i$ 的共轭复数 $c-d i$ ，从而将分母变成实数。

在数轴上，代表实数 $a$ 的点到坐标原点 $O$ 的距离称为 $a$ 的绝对值，记做 $|a|$ 。把这个概念推广到复数上来。平面上代表复数 $\alpha=a+b i$的点 $A$ 到坐标原点 $O$ 的距离（线段 $O A$ 的长度）$\sqrt{\left(a^2+b^2\right)}$ 也称为 $\alpha=a+b i$ 的绝对值或**模**，记做 $|\alpha|$ 。易知，对两个复数 $\alpha, \beta$ ，我们有 $|\alpha \beta|=|\alpha||\beta|,|\alpha+\beta| \leqslant|\alpha|+|\beta|$（利用三角形两边之和大于或等于第三边）。将 $O x$ 轴正方向沿反时针方向旋转到直线 $O A$ 的旋转角 $\varphi$ 称为复数 $\alpha=a+b i$ 的辐角．辐角的值不是唯一确定的，可以加上 $2 \pi$ 的任意整数倍。因为 $a=|\alpha| \cos \varphi, b=|\alpha| \sin \varphi$ ，故有

$$
\alpha=a+b i=|\alpha|(\cos \varphi+i \sin \varphi),
$$

上式称为复数的三角表示．如果又有复数

$$
\beta=c+d i=|\beta|(\cos \psi+i \sin \psi),
$$

那么

$$
\begin{aligned}
\alpha \beta & =|\alpha||\beta|(\cos \varphi+i \sin \varphi)(\cos \psi+i \sin \psi) \\
& =|\alpha||\beta|((\cos \varphi \cos \psi-\sin \varphi \sin \psi)+(\sin \varphi \cos \psi+\cos \varphi \sin \psi) i) \\
& =|\alpha||\beta|(\cos (\varphi+\psi)+i \sin (\varphi+\psi))
\end{aligned}
$$

上式表示，两个复数相乘时，其模为这两个复数的模相乘，其辐角相加（因为三角函数以 $2 \pi$ 为周期，故把相差 $2 \pi$ 的整数倍的角认为是相同的）。令

$$
e^{i \varphi}=\cos \varphi+i \sin \varphi,
$$

上式表示的复数模为 1 ，因而位于以坐标原点 $O$ 为中心的单位圆上，其辐角为 $\varphi$ 。于是

$$
e^{i \varphi} e^{i \psi}=e^{i(\varphi+\psi)} .
$$

给定正整数 $n$ ，考查下列 $n$ 个复数

$$
e^{\frac{2 k \pi}{n}}i=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n},
$$

其中 $k=0,1,2, \cdots, n-1$ ．这 $n$ 个复数就是以坐标原点 $O$ 为中心的单位圆的内接正 $n$ 边形的 $n$ 个顶点．显然有

$$
\left(e^{\frac{2 k \pi}{n}}\right)^n=\left(\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}\right)^n=\cos 2 k \pi+i \sin 2 k \pi=1,
$$
因此，上面 $n$ 个复数 $e ^{\frac{2 k \pi}{n} i }=\cos \frac{2 k \pi}{n}+ i \sin \frac{2 k \pi}{n}$ 恰为 **$n$次代数方程** $x^n- 1=0$ 在复数系 $C$ 内的 $n$ 个根，称为 **$n$次单位根**，它们是很有用的工具，在许多问题中都会用到。

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