最后更新: 2025-09-04 15:23 查看: 67 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数的扩充-复数

## 1．复数的基本知识
读者在中学里已熟知实数的基本知识，现在我们从理论上对它们作一概括．

令 $R$ 代表全体实数所组成的集合．我们已知的知识有下面几个方面．

1）实数有加法运算，两个实数 $a, b$ 相加 $a+b$ 仍是一个实数．
2）实数有乘法运算，两个实数 $a, b$ 相乘 $a b$ 仍是一个实数。
3）实数的加法、乘法运算满足下面的运算法则：
（i）加法满足结合律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$a+(b+c)=(a+b)+c$
（ii）加法满足交换律，即对任意实数 $a, b$ ，有 $a+b=b+a$ ；
（iii）存在实数 0 ，使对任意实数 $a$ ，有 $0+a=a$ ；
（iv）对任意实数 $a$ ，存在实数 $b$ ，使 $b+a=0$ ；
（v）实数乘法满足结合律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$a(b c)=(a b) c$
（vi）实数乘法满足交换律，即对任意实数 $a, b$ ，有 $a b=b a$ ；
（vii）存在实数 1 ，使对一切非零实数 $a$ ，有 $1 a=a$ ；
（viii）对任意非零实数 $a$ ，存在实数 $b$ ，使得 $b a=1$ ；
（ix）加法与乘法之间有分配律，即对任意实数 $a, b, c$ ，有$(a+b) c=a c+b c$

上面所列九条，是实数理论的基础，我们关于实数运算的所有其他知识，都可以从上述九条经过逻辑推理推导出来，而不必顾及加法、乘法的具体含意。下面举几个例子。

`例1.1` 对实数 $a$ ，满足法则（iv）的实数 $b$ 是唯一的。
证 设有实数 $c$ 也满足 $c+a=0$ ．依次运用前四条法则，我们有

$$
\begin{aligned}
c & =0+c=(b+a)+c=b+(a+c)=b+(c+a) \\
& =b+0=0+b=b .
\end{aligned}
$$

因此，我们把满足法则（iv）的唯一实数 $b$（它由 $a$ 唯一决定）记为 $-a$ ，称为 $a$ 的负数。对任意实数 $a, b$ ，我们定义 $a-b=a+(-b)$ ，称之为实数的减法运算．由此知道，实数的减法运算实际上也是加法运算。

`例1.2` 对任意实数 $a$ ，有 $0 a=0$ ．
证 按法则（iv），存在实数 $b$ ，使 $b+0 a=0$ ．使用上述九条法则，我们有

$$
\begin{aligned}
0 a & =0+0 a=(b+0 a)+0 a=b+(0 a+0 a) \\
& =b+((0+0) a)=b+0 a=0
\end{aligned}
$$

`例1.3` 对非零实数 $a$ ，满足法则（viii）的实数 $b$ 是唯一的．
证 设有实数 $c$ 也满足 $c a=1$ 。从例1．2可知 $c$ 非零，按法则 （vii），我们有

$$
c=1 c=(b a) c=b(a c)=b(c a)=b 1=1 b=b
$$

因此，我们把满足法则（viii）的唯一实数 $b$（它由非零实数 $a$ 唯一决定）记为 $1 / a$ ，称为 $a$ 的**倒数或逆**。对任意实数 $a$ 及非零实数 $b$ ，定义 $a / b=a(1 / b)$ ，称为实数的除法运算．由此知道，除法运算实际上也是乘法运算。

## 数的扩充
众所周知，实数理论在科学技术领域起着基本的作用。但是，人们也早就认识到单有实数理论是远远不够的．例如最简单的二次方程 $x^2+1=0$ 在实数范围内就无解。因此，应当把实数系扩充为一个更大的数系。但是，在历史上这个扩充却历经长时间的磨难。因为，在人们的脑子中，数是客观存在的事物的量度，例如描述线段的长度，几何图形的面积，物体运动的速度、加速度等等．停留在这种原始、朴素的初等认识上，实数系确实无法进一步扩充。但是如果我们站在高一级的层次上从理论上来看待问题，那就大不相同．就是说，我们按照上面所说，把全体实数看做一个集合 $R$ ，其中元素存在加法和乘法运算，这两种运算满足前述九条运算法则，那么，实数系的扩充就容易理解了。我们只要找出一个大于 $R$ 的集合，其中的元素也定义了加法、乘法运算，而且这两种运算

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