最后更新: 2025-09-04 15:28 查看: 118 次纠错评论(0) 课件开VIP

数域的概念

## 2．数域的概念
在引言中已经指出：数及其四则运算是代数学最原始的出发点。因此，为了后面理论的展开有一个坚实的基础，我们在这里首先要把中学里已经熟知的数的概念在理论上提高一步。

数学是一门十分严谨的科学。它要求对每一个研究的对象都从逻辑上刻画的清楚明白，容不得半点含糊．既然我们的研究是立足于数及其四则运算之上，那么，首先就要求对后面研讨的每一个课题究竟涉及到哪些数作出明确的交代。因此我们需要下面的概念。

**定义** 设 $K$ 是某些复数所成的集合，如果 $K$ 中至少包含一个非零复数，且 $K$ 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 $K$内任意两个数 $a, b$（这两个数也可以相同），必有 $a \pm b \in K, a b \in K$ ，且当 $b \neq 0$ 时，$\frac{a}{b} \in K$ ，则称 $K$ 为一个**数域**．

今后，如果我们所研究的某个课题仅涉及数的加、减、乘、除运算，那么我们就可以把研讨的范围局限在某个数域 $K$ 内，而对 $K$ 以外的数无须顾及．

下面来介绍数域的一些重要实例．
全体复数所成的集合当然是一个数域，称为**复数域**．目前国内外通常用空体字母 $C$ 表示。

设 $m, n$ 是整数，$n \neq 0$ 。我们称分数 $\frac{m}{n}$ 为有理数。容易看出全体有理数所成的集合也是一个数域，称为**有理数域**，通常用空体字母 $Q$表示。

全体实数所成的集合也是一个数域，称为**实数域**，通常用空体字母 $R$ 表示．

> 注意，全体整数所成的集合不是数域，因为它对除法不封闭。这个集合使用的频率很高，目前通常用空体字母 $Z$ 表示．

但是读者切不可以为数域仅有熟知的 $C , R , Q$ 三个．实际上存在无穷多个不同的数域。下面就是一个实例。

`例1.4` 定义复数域 $C$ 的子集

$$
Q (i)=\{a+b i \mid a, b \in Q \} .
$$

在上面的式子中， $Q ( i )$ 只是一个集合的记号而已，目前它没有其他的含意。右边的花括号的意思是：集合 $Q (i)$ 的元素由所有形如 $a+b i$ 的复数组成（这里 $i =\sqrt{-1}$ 为虚单位），而 $a, b$ 取所有可能的有理数．由于 $a, b$ 仅限于取有理数，所以集合 $Q ( i )$ 不是全体复数所成的集合，例如 $\sqrt{2} i \notin Q (i)$ 。

下面来证明 $Q ( i )$ 是一个数域。为此，设

$$
a+b i \in Q (i), \quad c+d i \in Q (i) .
$$

那么，由于 $Q$ 是一个数域 $, a, b, c, d \in Q$ ，故

$$
\begin{aligned}
& (a+b i) \pm(c+d i)=(a \pm c)+(b \pm d) i \in Q (i), \\
& (a+b i)(c+d i)=(a c-b d)+(b c+a d) i \in Q (i) .
\end{aligned}
$$

当 $c+d i \neq 0$ ，即 $c^2+d^2 \neq 0$ 时，有

$$
\frac{a+b i}{c+d i}=\frac{(a c+b d)}{c^2+d^2}+\frac{b c-a d}{c^2+d^2} i \in Q (i) .
$$

这表明 $Q (i)$ 对复数的四则运算封闭，所以它是一个数域。它与 $C$ ， $R , Q$ 都不相同．

> 命题1．1 任意数域 $K$ 都包括有理数域 $Q$ ．

证 按定义，$K$ 内至少包含一个非零的数 $a$ ．于是 $0=a-a \in K$ ， $1=\frac{a}{a} \in K$ ．对于任意正整数 $n$ ，有 $n=1+1+\cdots+1 \in K,-n=0-n \in K$ ．于是 $Z \subseteq K$ ．现设 $\frac{m}{n}$ 是一个有理数，已知 $m, n \in K$ ，故 $\frac{m}{n} \in K$ ．于是 $Q \subseteq K$ ．

因为有理数有无穷多，根据上面的命题，任意数域内包含无穷多个数，这个事实是今后常常用到的。

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