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高等代数
第一章 代数学的经典课题
数域的概念
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更新:
2025-09-04 15:28
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数域的概念
## 2.数域的概念 在引言中已经指出:数及其四则运算是代数学最原始的出发点。因此,为了后面理论的展开有一个坚实的基础,我们在这里首先要把中学里已经熟知的数的概念在理论上提高一步。 数学是一门十分严谨的科学。它要求对每一个研究的对象都从逻辑上刻画的清楚明白,容不得半点含糊.既然我们的研究是立足于数及其四则运算之上,那么,首先就要求对后面研讨的每一个课题究竟涉及到哪些数作出明确的交代。因此我们需要下面的概念。 **定义** 设 $K$ 是某些复数所成的集合,如果 $K$ 中至少包含一个非零复数,且 $K$ 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对 $K$内任意两个数 $a, b$(这两个数也可以相同),必有 $a \pm b \in K, a b \in K$ ,且当 $b \neq 0$ 时,$\frac{a}{b} \in K$ ,则称 $K$ 为一个**数域**. 今后,如果我们所研究的某个课题仅涉及数的加、减、乘、除运算,那么我们就可以把研讨的范围局限在某个数域 $K$ 内,而对 $K$ 以外的数无须顾及. 下面来介绍数域的一些重要实例. 全体复数所成的集合当然是一个数域,称为**复数域**.目前国内外通常用空体字母 $C$ 表示。 设 $m, n$ 是整数,
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