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集合论的若干概念

## 3．集合论的若干概念
读者在中学代数课程中已经学过集合论的基本知识。但为了下面进一步学习的需要，我们还要对集合论的一些基本概念作一些阐述。

在数学中研究某个课题时，**把所研究对象的全体称为一个集合**．给定一个集合，就要说清楚它究竟由哪些元素组成．下面介绍定义一个集合常用的记号。

例如，在平面上取定直角坐标系 $O x y$ ，使平面上的点和实数的二元有序数组 $(x, y)$ ，即该点的坐标建立起对应关系后，以 $O$ 点为圆心的单位圆上全体点所成的集合可用下面记号表示．

$$
S=\left\{(x, y) \mid x, y \in R , x^2+y^2=1\right\} .
$$

又如以 $x$ 为变元的全体实数系数二次多项式所成的集合可以表示为

$$
S=\left\{a_0 x^2+a_1 x+a_2 \mid a_0, a_1, a_2 \in R , a_0 \neq 0\right\}
$$

上面两个例子都是用花括号概括一个集合的元素，中间用一坚线隔开，坚线左端为该集合元素的数学表示式，坚线右端则用文字或数学式子严格界定该元素应该满足的条件．

如果一个集合是由有限个元素组成的，那么刻画它比较简单，只要把这些元素逐一写在花括号里面就可以了。例如前 $n$ 个自然数所成的集合可以写成 $N=\{1,2, \cdots, n\}$ ．
上面所说的，是本书中刻画一个集合时使用的基本方法．

> 不包含任何元素的集合称为空集合，记做 $\varnothing$ 。读者应注意，空集合并非由数 0 组成的集合，由数 0 组成的集合 $\{0\}$ 含有一个元素，不是空集合。

给定两个集合 $A, B$ ，我们需要讨论它们的相互关系．下面两方面的知识是本书中常用的，读者必须十分熟练地掌握．

1）如果 $A$ 的元素都包含在 $B$ 中，则称 $A$ 是 $B$ 的**子集**或 $B$ 包含 $A$ ，记做 $A \subseteq B$ 。如果 $A$ 与 $B$ 的元素完全相同，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记做 $A=B$ ．显然它与 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ 是等价的．今后我们常需证明两个集合相等，在这种情况下，就是要证明它们有双方面的互相包含关系（不能只证明单方面的包含关系）．如果 $A \subseteq B$ 但 $A \neq B$（也就是 $B$不包含在 $A$ 中，记成 $B \nsubseteq A)$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记做 $A \subset B$ ．空集认为是任何集合的子集．
$A$ 与 $B$ 的公共元素所组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的交集，记做 $A \cap B$ ．显然，$A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B$ ．如果 $A$ 与 $B$ 没有公共元素，则 $A \cap B =\varnothing$（注意现在不是 $A \cap B=\{0\}$ ）．如果 $A \subseteq B$ ，则 $A \cap B=A$ ．

把 $A$ 与 $B$ 中的元素合并在一起组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记做 $A \cup B$ ．显然，$A \subseteq A \cup B, B \subseteq A \cup B$ ．如果 $A \subseteq B$ ，则 $A \cup B= B$ ．

从集合 $A$ 中去掉包含于 $B$ 中的那些元素之后剩下的元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的差集，记做 $A \backslash B$ 。

2）设给定一个法则 $f$ ，

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