最后更新: 2025-09-04 15:34 查看: 57 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合论的若干概念

## 3．集合论的若干概念
读者在中学代数课程中已经学过集合论的基本知识。但为了下面进一步学习的需要，我们还要对集合论的一些基本概念作一些阐述。

在数学中研究某个课题时，**把所研究对象的全体称为一个集合**．给定一个集合，就要说清楚它究竟由哪些元素组成．下面介绍定义一个集合常用的记号。

例如，在平面上取定直角坐标系 $O x y$ ，使平面上的点和实数的二元有序数组 $(x, y)$ ，即该点的坐标建立起对应关系后，以 $O$ 点为圆心的单位圆上全体点所成的集合可用下面记号表示．

$$
S=\left\{(x, y) \mid x, y \in R , x^2+y^2=1\right\} .
$$

又如以 $x$ 为变元的全体实数系数二次多项式所成的集合可以表示为

$$
S=\left\{a_0 x^2+a_1 x+a_2 \mid a_0, a_1, a_2 \in R , a_0 \neq 0\right\}
$$

上面两个例子都是用花括号概括一个集合的元素，中间用一坚线隔开，坚线左端为该集合元素的数学表示式，坚线右端则用文字或数学式子严格界定该元素应该满足的条件．

如果一个集合是由有限个元素组成的，那么刻画它比较简单，只要把这些元素逐一写在花括号里面就可以了。例如前 $n$ 个自然数所成的集合可以写成 $N=\{1,2, \cdots, n\}$ ．
上面所说的，是本书中刻画一个集合时使用的基本方法．

> 不包含任何元素的集合称为空集合，记做 $\varnothing$ 。读者应注意，空集合并非由数 0 组成的集合，由数 0 组成的集合 $\{0\}$ 含有一个元素，不是空集合。

给定两个集合 $A, B$ ，我们需要讨论它们的相互关系．下面两方面的知识是本书中常用的，读者必须十分熟练地掌握．

1）如果 $A$ 的元素都包含在 $B$ 中，则称 $A$ 是 $B$ 的**子集**或 $B$ 包含 $A$ ，记做 $A \subseteq B$ 。如果 $A$ 与 $B$ 的元素完全相同，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记做 $A=B$ ．显然它与 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ 是等价的．今后我们常需证明两个集合相等，在这种情况下，就是要证明它们有双方面的互相包含关系（不能只证明单方面的包含关系）．如果 $A \subseteq B$ 但 $A \neq B$（也就是 $B$不包含在 $A$ 中，记成 $B \nsubseteq A)$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记做 $A \subset B$ ．空集认为是任何集合的子集．
$A$ 与 $B$ 的公共元素所组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的交集，记做 $A \cap B$ ．显然，$A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B$ ．如果 $A$ 与 $B$ 没有公共元素，则 $A \cap B =\varnothing$（注意现在不是 $A \cap B=\{0\}$ ）．如果 $A \subseteq B$ ，则 $A \cap B=A$ ．

把 $A$ 与 $B$ 中的元素合并在一起组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记做 $A \cup B$ ．显然，$A \subseteq A \cup B, B \subseteq A \cup B$ ．如果 $A \subseteq B$ ，则 $A \cup B= B$ ．

从集合 $A$ 中去掉包含于 $B$ 中的那些元素之后剩下的元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的差集，记做 $A \backslash B$ 。

2）设给定一个法则 $f$ ，使得对 $A$ 中任意元素 $a$ 都按照这个法则对应于 $B$ 中一个唯一确定的元素，记做 $f(a)$ ，则称 $f$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个映射．通常用下面记号表示之：

$$
\begin{aligned}
f: A & \longrightarrow B, \\
a & \longmapsto f(a) .
\end{aligned}
$$

对于 $A$ 到 $B$ 的一个映射 $g$ ，如果对一切 $a \in A$ 都有 $g(a)= f(a)$ ，则称 $g$ 与 $f$ 相等，记做 $g=f$ ．

设 $f(a)=b \in B, b$ 称为 $a$ 在 $f$ 下的像，而 $a$ 则称为 $b$ 在 $f$ 下的一个原像（它可能不是唯一的）．$A$ 在 $f$ 下的全体像是 $B$ 的一个子集，称为 $A$ 在 $f$ 下的像集，记做 $f(A)$ ．于是 $f(A)=\{f(a) \mid a \in A\}$ ．

`例1.5` 设 $A$ 与 $B$ 都是全体正整数所成的集合．对任意 $n \in A$ ，定义 $f(n)=2 n$ ，则 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射。

`例1.6` 设 $A$ 是全体实数所成的集合，

$$
B=\{a \in R \mid-1 \leqslant a \leqslant 1\} .
$$

对任意 $x \in A$ ，定义 $f(x)=\sin x$ ，则 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射．

`例1.7`在平面上取定直角坐标系 $O x y$ 。令 $A$ 为平面上全体点所成的集合，$B$ 是全体实数的有序数组 $(x, y)$ 所成的集合，即

$$
B=\{(x, y) \mid x, y \in R \} .
$$

对 $A$ 中任意点 $P$ ，若 $P$ 在直角坐标系 $O x y$ 下的坐标为 $(x, y)$ ，定义 $f(P)=(x, y)$ ，则 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射。

现在设 $f$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个映射．考查下面三种情况：
1）如果对 $A$ 中任意两个不同的元素 $a, b, f(a)$ 与 $f(b)$ 也是 $B$中两个不同元素，则称 $f$ 是一个**单射**；

2）如果对 $B$ 中任一元素 $b$ ，都存在 $A$ 中元素 $a$ ，使 $f(a)=b$ ，则称 $f$ 是一个**满射**；

3）如果 $f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 为**双射**或一一对应．
上面的例1．5是一个单射但不是满射，例1．6是一个满射但不是单射．根据平面解析几何的知识，例1．7是一个双射或者说是一个一一对应。

如果 $A=B$ ，就是说，$f$ 是集合 $A$ 到自身的一个映射，则称 $f$ 是集合 $A$ 内的一个**变换**。上面例1．5就是全体正整数所成的集合内的一个变换。

任何一个集合 $A$ 内都存在一个特殊的变换，即把 $A$ 中任意元素 $a$ 仍变为 $a$ ，这称为 $A$ 内的**恒等变换**，记做 $id _A$ ．于是 $id _A(a)=a$ ．

现在考查 $A, B, C$ 三个集合．设 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射，而 $g$ 是 $B$ 到 $C$ 的一个映射，则我们可以定义 $A$ 到 $C$ 的一个映射 $h$ 如下：对任意 $a \in A$ ，定义 $h(a)=g(f(a))$ ，即先用 $f$ 把 $a$ 映射到 $B$ 中的元素 $f(a)$ ，再经 $g$ 将 $B$ 中元素 $f(a)$ 映射为 $C$ 中元素 $g(f(a)) . h$ 称为 $g$与 $f$ 的乘积，记做 $h=g f$ ．这可用下图简单地表示：
$$
\begin{aligned}
h: A & \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C, \\
a & \longmapsto f(a) \mapsto g(f(a)) .
\end{aligned}
$$

从上面的定义立即看出，不是任意两个映射都可以作乘法，仅当 $f$ 的终点 $B$ 为 $g$ 的起点时，乘积 $g f$ 才有意义。但是如果 $A=B=C$ ，即 $f$ 和 $g$ 都是同一个集合 $A$ 内的变换，那么 $f$ 和 $g$ 总可以按上面的定义作乘法运算。一个集合 $A$ 内两个变换的乘法是数学中一个重要的工具，也是本课程中要重点研讨的内容之一，读者必须给予充分的注意。

> 命题 1.2 给定集合 $A, B, C, D$ 间的映射 $f, g, h$ 如下图所示：

![图片](/uploads/2025-09/b197dd.jpg)

则有 $h(g f)=(h g) f$ ，即集合映射的乘法满足结合律．
证 显然，$h(g f)$ 和（ $h g$ ）$f$ 都是 $A$ 到 $D$ 的映射．对一切 $a \in A$ ，我们有

$$
\begin{aligned}
& (h(g f))(a)=h((g f)(a))=h(g(f(a))) \\
& ((h g) f)(a)=(h g)(f(a))=h(g(f(a)))
\end{aligned}
$$

由此即得 $h(g f)=(h g) f$ ．
今后我们将 $h(g f)$ 或 $(h g) f$ 统一写成 $h g f$ 。

## 逆映射
现在设 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一个映射。如果存在 $B$ 到 $A$ 的映射 $g$ ，使 $g f= id _A, f g= id _B$ ，则称 $f$ 是一个可逆映射，而 $g$ 称为 $f$ 的一个逆映射．具体说，$f$ 和 $g$ 存在如下两方面的关系：

1）对于 $A$ 中任意元素 $a$ ，若 $f(a)=b \in B$ ，则 $g$ 正好把 $b$ 映射为 $A$ 中原来的元素 $a$ ，亦即有 $g(f(a))=a=\operatorname{id}_A(a)$ ，或者按照映射的乘积记号写成 $g f= id _A$ ；

2）对于 $B$ 中任意元素 $b$ ，若 $g(b)=a \in A$ ，则 $f$ 正好把 $a$ 映射为 $B$ 中原来的元素 $b$ ，亦即有 $f(g(b))=b=\operatorname{id}_B(b)$ ，或者按照映射的乘积记号写成 $f g= id _B$ 。

注意，逆映射的概念必须包含上面所述的两个方面，单有其中 1）或 2）之一成立是不够的．
容易看出，如果 $f$ 是可逆映射，则其逆映射 $g$ 是唯一决定的，我们今后把 $g$ 记为 $f^{-1}$（读作＂$f$ 逆＂）．

> 命题1.3 设 $f$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个映射．如果 $f$ 是双射，则 $f$ 可逆；反之，若 $f$ 可逆，则 $f$ 是一个双射．

证 先证明当 $f$ 是双射时它是可逆的．
因为 $f$ 是满射，所以对任意 $b \in B$ ，必存在 $a \in A$ ，使 $f(a)=b$ ．又因为 $f$ 是单射，所以满足这样条件的 $A$ 中元素 $a$ 是唯一确定的．因此，我们得到一个法则 $g$ ，使对 $B$ 中任意元素 $b$ ，按此法则对应于 $A$中一个唯一确定的元素 $g(b)=a$ ，使得 $f(a)=b$ ．于是 $g$ 为 $B$ 到 $A$ 的一个映射，且 $f(g(b))=b$ ，即 $f g= id _B$ ．现在对任意 $a \in A$ ，显然有 $g(f(a))=a$ ，即 $g f= id _A$ ，故 $f$ 可逆，且 $f^{-1}=g$ ．

再证明 $f$ 可逆时必为双射．
现设 $a_1, a_2 \in A$ ，若 $f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)$ ，因 $f$ 可逆，有
$$
a_1=f^{-1}\left(f\left(a_1\right)\right)=f^{-1}\left(f\left(a_2\right)\right)=a_2,
$$

这意味着当 $a_1, a_2$ 是 $A$ 中不同元素时，$f\left(a_1\right), f\left(a_2\right)$ 是 $B$ 中不同元素，即 $f$ 为单射．

现设 $b$ 为 $B$ 中任意元素。因为 $f$ 可逆，其逆映射 $g$ 存在，为 $B$ 到 $A$ 的映射．设 $g(b)=a \in A$ ，则 $f(a)=f(g(b))=\operatorname{id}_B(b)=b$ ．这表明 $f$为满射。

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