最后更新: 2025-09-04 15:36 查看: 88 次纠错评论(0) 课件开VIP

求和号与乘积号

## 4。 求和号与乘积号
前面已指出，数的加法（减法是其逆运算，实际上也可归入加法）、乘法（除法是其逆运算，实际上也可归入乘法，如 $\frac{a}{b}=a \cdot \frac{1}{b}$ ）两种代数运算是代数学最基本的立足点（实际上也是整个数学科学的立足点之一），所以我们不断要处理许多数的加法、乘法，为了把它们表达的简明清楚，通常用符号 $\sum$ 表示多个数连加，用符号 T表示多个数连乘。设给定某个数域 $K$ 上 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，我们使用如下记号：
$$
\begin{gathered}
a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^n a_i ; \\
a_1 a_2 \cdots a_n=\prod_{i=1}^n a_i
\end{gathered}
$$

上面两个式子中，求和号 $\sum$ 和乘积号 $\prod$ 后面写一个带变动下角标 $i$的记号 $a_i$ ，在 $\sum$ 和 $\prod$ 上下各加＂$i=1$＂，＂$n$＂以表示变动角标 $i$ 取从 1开始到 $n$ 的所有自然数。它恰好是等式左端连加或连乘的数值。当然，也可以写成

$$
\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} a_i ; \quad \prod_{i=1}^n a_i=\prod_{1 \leqslant i \leqslant n} a_i,
$$

它们表示的是同样的意思。
我们知道，

$$
\lambda\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)=\lambda a_1+\lambda a_2+\cdots+\lambda a_n,
$$

上面式子用和号表示就是
$$
\lambda \sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n \lambda a_i .
$$

另外，我们又有

$$
\begin{aligned}
& \left(a_1+b_1\right)+\left(a_2+b_2\right)+\cdots+\left(a_n+b_n\right) \\
& \quad=\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)+\left(b_1+b_2+\cdots+b_n\right)
\end{aligned}
$$

上面的式子用和号表示，就是

$$
\sum_{i=1}^n\left(a_i+b_i\right)=\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i .
$$

这就是使用和号作运算时两条最基本的法则．
现在考查数域 $K$ 上 $m n$ 个数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)$ ．把它们依次排列如下：
 ![图片](/uploads/2025-09/76b9e8.jpg)
 
 上面图表的意思是：先按水平方向把每个横排的数连加起来：

$$
\sum_{j=1}^n a_{1 j}=A_1, \sum_{j=1}^n a_{2 j}=A_2, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{m j}=A_m,
$$

再把 $A_1, A_2, \cdots, A_m$ 连加起来，它恰为把上述 $m n$ 个数 $a_{i j}$ 连加起来：

$$
\sum_{i=1}^m A_i=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{i j}\right) .
$$

然后，又考查另一种加法，即先把坚直方向的每排数连加起来：
$$
\sum_{i=1}^m a_{i 1}=B_1, \sum_{i=1}^m a_{i 2}=B_2, \cdots, \sum_{i=1}^m a_{i n}=B_n .
$$

然后又把 $B_1, B_2, \cdots, B_n$ 连加起来，这同样是把上述 $m n$ 个数 $a_{i j}$ 连加起来：

$$
\sum_{j=1}^n B_j=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m a_{i j}\right) .
$$

上面用两种办法把 $m n$ 个数 $a_{i j}$ 连加，其结果当然是一样的，即有

$$
\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n a_{i j}\right)=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m a_{i j}\right) .
$$

上式表明：当考查有限个数连加时，出现的二重和号可以交换次序．这是利用和号作运算时十分有用的一个法则。在上面式子中，圆括号一般不必写出，即上面式子可以写成

$$
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{i j}=\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m a_{i j} .
$$

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