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充分必要条件

## 充分必要条件
现在来介绍数学中使用很多的一个术语：充分必要条件。先以读者熟悉的平面几何知识为例子．考查平面上两个三角形：$\triangle A B C$与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$（见图1．2）．如果我们能适当移动三角形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 使其与三角形 $A B C$ 重合，则称两三角形全等，记做 $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ．在平面几何中已经证明：

![图片](/uploads/2025-09/87e007.jpg)

1）如果 $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，则它们有三条边对应相等，即 $A B =A^{\prime} B^{\prime}, B C=B^{\prime} C^{\prime}, A C=A^{\prime} C^{\prime}$ 。这就是说，论断＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂成立时，必定＂三条边对应相等＂成立。在数学上就说：＂三条边对应相等＂是＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂的必要条件．它的意思是说，＂三条边对应相等＂是＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂必定需要的条件，如果连这个条件都不具备，那么 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 肯定不可能全等。

2）反过来，如果已知＂三条边对应相等＂，则＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂，在数学上就说：＂三条边对应相等＂是＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂的充分条件．这意思是说，如果＂三条边对应相等＂，我们就有充分的理由断定：＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂．

综合上述两方面的意思，在数学上就归纳成下面一个简明的命题：$\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 全等的充分必要条件是两三角形有三条边对应相等。当我们用逻辑推理来证明上面这个命题时，我们需要证明两个方面：

1）**必要性**（通常用箭头 $\Longrightarrow$ 表示），即假设 $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，来证明有三条边对应相等。

2）**充分性**（通常用箭头 $\Longleftarrow$ 表示），即假设有三条边对应相等，来证明 $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ．
现在把上面例子中的思想一般化．如果我们考查数学上的两个论断：论断 A 和论断 B．当我们说：论断 A 成立的充分必要条件是论断 B 成立这句话时，就包含两方面的意思。第一方面是，如果论断 A 成立，则论断 B 成立，也就是＂论断 B 成立＂是＂论断 A 成立＂的必要条件（即必定需要，缺之不可）；第二方面是，如果论断 B 成立，则论断 A 成立，也就是＂论断 B 成立＂是＂论断 A 成立＂的充分条件（即理由充分，无可辩驳）。

现在，如果我们阐述一个数学命题：论断 A 成立的充分必要条件是论断 B 成立，那么，证明这个命题就必定要从两个方面进行论证：

1）必要性（可用记号＂$\Rightarrow$＂代替），即假定论断 A 成立，来证明论断 B 成立；

2）充分性（可用记号＂$\Leftarrow$＂代替），即假定论断 B 成立，来证明论断 A 成立．

有时候，＂论断 A 成立的充分必要条件是论断 B 成立＂这句话被说成＂论断 A 成立当且仅当论断 B 成立＂，它们的意思是一样的。＂当论断 B 成立时论断 A 成立＂，这也就是＂论断 B 成立是论断 A 成立
的充分条件＂；＂仅当论断 B 成立时论断 A 才成立＂，这也就是＂论断 B 成立是论断 A 成立的必要条件＂。

论断 A 成立的充分必要条件是论断 B 成立，这表明：＂论断 A成立＂和＂论断 B 成立＂是互相等价的，是同一事物（或同一现象等等）用不同的形式表现出来。科学的一个重要任务，就是揭示以不同形式出现的事物之间在本质上的联系或共同点。因此，证明两个论断之间的等价性就是数学的重要课题之一。这就是＂充分必要条件＂这个术语在数学中出现的频率很高的原因。

下面再从相反的方向举些例子。有时＂论断 B 成立＂只是＂论断 A 成立＂的必要条件，但不是充分条件．例如 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂有两条边对应相等＂是＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂的必要条件（ $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 时，肯定有两条边对应相等），但不是充分条件（可以找到无数个三角形有两条边对应相等，但它们不全等）。又有的时候＂论断 B 成立＂是＂论断 A 成立＂的充分条件，但不是必要条件。例如， ＂$\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 都是边长为 $a$ 的等边三角形＂这一论断是 ＂$\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$＂成立的充分条件（边长相同的等边三角形肯定全等），但不是必要条件（ $\triangle A B C \cong \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 时，它们未必都是等边三角形）．上面所说的道理，请读者细心体会．

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