最后更新: 2025-09-04 15:45 查看: 47 次纠错评论(0) 课件开VIP

一元高次代数方程的基础知识

## 2 一元高次代数方程的基础知识

本章引言中已指出，在19世纪中叶以前的经典代数学，主要研究的是各类代数方程，其中主要是一元高次代数方程。在本节中，我们将对这类方程作一个简要的概述。

**1.高等代数的基本定理**
设 $K$ 是一个数域，$x$ 是一个未知量，它应满足下面的等式：

$$
a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n=0,
$$

其中 $a_0, a_1, \cdots, a_n \in K$ 且 $a_0 \neq 0, n \geqslant 1$ ．（1）式称为数域 $K$ 上的一个 $n$次代数方程。如果令 $x=a \in C$ 代入（1）式后使它变成恒等式，则称 $a$为方程（1）的一个根．注意这里只要求 $a$ 为复数，没有要求它一定属于 $K$ 。

一元 $n$ 次代数方程的基本问题是：它有没有根？有多少根？如何求出它的全部根？当 $n$ 比较大时，这是个相当复杂的问题．下面先看几个例子．
`例2.1` 考查数域 $K$ 上的一元一次方程

$$
a x=b \quad(a, b \in K, a \neq 0) .
$$

因为 $K$ 内可做除法，立即得 $x=\frac{b}{a}$ 是它的唯一的一个根，而且这个根仍在数域 $K$ 内。

`例2.2` 考查有理数域 $Q$ 上的二次方程 $x^2-2=0$ ．我们来证明它在 $Q$ 内没有根。
用反证法。设 $x=\frac{m}{n} \in Q$ 是它的一个根，这里 $m, n \in Z$ 且 $(m, n)=1$（最大公因子为 1 ）．代入方程后得恒等式 $m^2=2 n^2$ ．右边为偶数，故 $m$ 必为偶数（因奇数的平方仍为奇数），设 $m=2 k$ ，代入消去两边公因子 2 后得 $2 k^2=n^2$ ，即 $n$ 也为偶数。这与 $(m, n)=1$ 矛盾。

在中学代数课中早知这个方程的两个根是 $x= \pm \sqrt{2}$（上面的推理说明 $\sqrt{2}$ 不是有理数）．所以这个系数在 $Q$ 内的代数方程在 $Q$
内没有根，要求它的根，必须扩大数域，在更大的数域内它才有根．这个更大的数域只要取数域 $Q (\sqrt{2})$ 就可以了。

`例2.3` 考查 $Q$ 上二次方程 $x^2+1=0$ 。读者已经知道它不但在 $Q$ 内没有根，在比 $Q$ 大的多的数域 $R$ 内也没有根。在历史上经过长时间的争论之后，数学家们终于一致认识到 $R$ 应该扩充为一个更大的数域，这就是我们现在熟知的复数域 $C$ 。在 $C$ 内，这个代数方程有两个根 $x= \pm i$ ．实际上，只要把 $Q$ 扩充为§ 1 中介绍的数域 $Q$（i）也就足够了。

上面的例子说明，为了求 $K$ 上 $n$ 次代数方程（1）的根，数域 $K$ 是不够用的（因为求高次代数方程的根时，单对其系数作加、减、乘、除四则运算是不够的，例如求二次方程的根时就需要作开平方运算，而一个数域 $K$ 内不是任何数的平方根仍在 $K$ 内）。在这种情况下需要把 $K$ 扩大为更大一些的数系。给定 $K$ 上一个具体的 $n$ 次代数方程，究竟如何逐次扩大 $K$ 的范围，最后得到一个较大的数系，它把该方程的全部根都包含在内？这是 Galois 的精深理论所要探讨的课题，这里不再作进一步的讨论。但由此立即产生一个问题：究竟对数系要扩充到什么程度，才能使所有代数方程在它里面都有根呢？会不会要无穷无尽地扩充下去呢？幸好情况不是如此。下面的基本定理对此作了回答．

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