最后更新: 2025-09-04 16:09 查看: 33 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

高等代数基本定理与多项式除法

## 高等代数基本定理 
记
$$
a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n=0 ...(1)
$$

**高等代数基本定理**  数域 $K$ 上的 $n$ 次代数方程（1）在复数域 $C$内必有一个根。

这个定理早在19世纪初就被德国著名数学家高斯（K．F． Gauss，1777～1855）证明了（他一共找出了四种证明方法）．在现代，用稍深一点的数学知识（复变函数的知识），只需用几句话就可以证明完毕。

### 高斯的证明
代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的（1799年在哥廷根大学的博士论文），基本思想如下：
设 $f(z)$ 为n次实系数多项式，记 $z=x+y i(x, y \in R)$ ，考虑方根：

$$
f(x+y i)=u(x, y)+v(x, y) i=0
$$

即 $u(x, y)=0$ 与 $v(x, y)=0$
这里 $u(x, y)=0$ 与 $v(x, y)=0$ 分别表示 $0 x y$ 坐标平面上的两条曲线 $\mathrm{C} 1 、 \mathrm{C} 2$ ，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点 $z_0=a+b i$ ，从而得出 $u(a, b)=v(a, b)=0$ ，即 $f(a+b i)=0$ ，因此z0便是方程 $f(z)=0$ 的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。

高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数 。

## 2．根的基本性质

在下面我们马上就指出，有了上述基本定理之后，就可推出方程 （1）的全部根都在 $C$ 内。因此，为了求高次代数方程（1）的根，复数域 $C$ 已经足够了。在稍后，德国数学家 Frobenius 又证明：再也没有比 $C$ 更大的数系了。也就是说，数系扩充到 $C$ 之后，已经到了尽头，没有可能再作进一步的扩充了。

因为一元高次方程（1）的根都在 $C$ 内，为了讨论根的性质，现在我们把 $x$ 看做在复数范围内自由变化的量，称为独立变元．这时（1）式左端当然不再等于 0 ，而是随 $x$ 的变化而变化，成为 $x$ 的一个函数：

$$
f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n \quad\left(a_0 \neq 0\right) .
$$

上式称为一个变元 $x$ 的**一元多项式**，$n$ 称为它的**次数**（它是变元 $x$ 出现的最高方幂），$a_0, a_1, \cdots, a_n$ 称为多项式 $f(x)$ 的系数，$a_0 \neq 0$ 称为首项系数，$a_n$ 则称为常数项。如果 $f(x)$ 的系数 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 都属某个数域 $K, f(x)$ 也称为数域 $K$ 上的多项式。如果 $f(x)$ 的系数全为 0 ，则称为零多项式。零多项式的次数没有定义。但有时为了方便，将其次数定义为 $-\infty$ 。

如令 $x=a \in C$ 代入时有

$$
f(a)=a_0 a^n+a_1 a^{n-1}+\cdots+a_{n-1} a+a_n=0,
$$

则称 $a$ 是 $f(x)$ 的一个**零点**．$f(x)$ 的零点也就是方程（1）的根．求方程 （1）的根就是求 $f(x)$ 的全部零点，这依赖于如下一个通常称为多项式的＂综合除法＂的命题．

> **命题 2.1 设 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n\left(a_0 \neq 0, n \geqslant 1\right)$ 是 $C$上一个 $n$ 次多项式，$a$ 是一个复数．则存在 $C$ 上首项系数为 $a_0$ 的 $n-1$ 次多项式 $q(x)$ ，使 $f(x)=q(x)(x-a)+f(a)$**

证 我们有

$$
\begin{aligned}
f(x)-f(a) & =a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n-\left(a_0 a^n+a_1 a^{n-1}+\cdots+a_n\right) \\
& =a_0\left(x^n-a^n\right)+a_1\left(x^{n-1}-a^{n-1}\right)+\cdots+a_{n-1}(x-a)
\end{aligned}
$$

因为

$$
\begin{aligned}
x^k-a^k & =(x-a)\left(x^{k-1}+a x^{k-2}+\cdots+a^{k-1}\right) \\
& =(x-a) q_k(x),
\end{aligned}
$$

其中 $q_k(x)$ 为 $C$ 上首项系数为 1 的 $k-1$ 次多项式。于是

$$
\begin{aligned}
f(x)-f(a) & =a_0(x-a) q_n(x)+a_1(x-a) q_{n-1}(x)+\cdots+a_{n-1}(x-a) \\
& =q(x)(x-a),
\end{aligned}
$$

其中 $\quad q(x)=a_0 q_n(x)+a_1 q_{n-1}(x)+\cdots+a_{n-1}$
是 $C$ 上首项系数为 $a_0$ 的 $n-1$ 次多项式。

> **命题 2.2 设 $f(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n\left(a_0 \neq 0, n \geqslant 1\right)$ 为 $C$上 $n$ 次多项式．则存在 $n$ 个复数 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，使
$f(x)=a_0\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right) $**

证 对 $n$ 作数学归纳法．
当 $n=1$ 时，$f(x)=a_0 x+a_1=a_0\left(x+\frac{a_1}{a_0}\right)$ ，令 $\a

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：一元高次代数方程的基础知识

下一篇：实数域上代数方程的根

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)