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实数域上代数方程的根

## 3. 实数域上代数方程的根
实数域上 $n$ 次代数方程是最常见的，它的根有一些特点，这里作简单的介绍。

> **命题 2.4 给定 $R$ 上 $n$ 次代数方程
$a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n=0 \quad\left(a_0 \neq 0\right)$ 如果 $\alpha=a+b i (a, b \in R )$ 是它的一个根，则共轭复数 $\bar{\alpha}=a-b i$ 也是它的根**

证 由已知条件有

$$
a_0 \alpha^n+a_1 \alpha^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \alpha+a_n=0
$$

上式两边取复共轭，利用复共轭与复数加法、乘法的关系，又注意到 $a_0, a_1, \cdots, a_n$ 为实数，故

$$
a_0 \bar{\alpha}^n+a_1 \bar{\alpha}^{n-1}+\cdots+a_{n-1} \bar{\alpha}+a_n=0
$$

**推论 实数域上奇数次一元代数方程必有一实根。**
证 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 $C$ 内有奇数个根，故其中必有一根为实数。

如果一个高次代数方程的系数都是有理数，那么它的根又有一些特点．首先，这种方程两边同乘以适当正整数后可以把系数全变成
整数，所以我们只需要讨论整系数代数方程就可以了．
给定整系数 $n$ 次代数方程

$$
a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n=0 \quad\left(a_i \in Z , a_0 a_n \neq 0\right) .
$$

设它有一个有理数的根 $\alpha=\frac{m}{k}$ ，这里 $m, k \in Z$ 且 $(m, k)=1$（即 $\alpha$ 的既约分式表示）。代入方程得

$$
a_0 m^n+a_1 k m^{n-1}+\cdots+a_{n-1} k^{n-1} m+a_n k^n=0 .
$$

一方面，由

$$
m\left(a_0 m^{n-1}+a_1 k m^{n-2}+\cdots+a_{n-1} k^{n-1}\right)=-a_n k^n
$$

知 $m$ 整除 $a_n k^n$ 。但 $m$ 与 $k^n$ 互素，故 $m$ 整除 $a_n$ ．
另一方面，由

$$
k\left(a_1 m^{n-1}+\cdots+a_{n-1} k^{n-2} m+a_n k^{n-1}\right)=-a_0 m^n
$$

知 $k$ 整除 $a_0 m^n$ ，但 $k$ 与 $m^n$ 互素，故 $k$ 整除 $a_0$ ．
这样，一个整系数代数方程如果有有理根 $\alpha$ ，那么它的既约分式表示式中，分子必为方程常数项 $a_n$ 的因子，分母必为首项系数 $a_0$ 的因子．$a_n, a_0$ 的因子只有有限个，把这些因子的所有可能组合拿来，逐一代入方程试验，就能把方程的所有有理根都找出来了．

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