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线性方程组

## 3 线性方程组

1．线性方程组概述
经典代数学的另一个重要课题是研究多个未知量的一次联立方程组．由于未知量都是一次幂，较为简单．但通过研究这类方程的理论问题，我们也可以逐步了解代数学的基本思想和方法，这将是本书着重讨论的课题．本节内容是介绍这类方程组的基本概念和求解方法．

读者在中学的课程中已经熟悉了有关二元一次方程组和三元一次方程组的基本知识。现在的任务，是要对中学里学过的这些知识从理论上加以总结和提高．

二元一次联立方程组的一般形式是

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y=c_1 \\
a_2 x+b_2 y=c_2
\end{array}\right.
$$
在解析几何中我们已经知道：在平面直角坐标系内，每个实系数二元一次方程代表一条直线．由于这个原因，一次代数方程也称为线性方程．今后，我们将未知量的一次方程统称为线性方程（不管未知量的数目有多少）。

读者已有的关于二元和三元线性方程组的知识大致有如下两个方面：

1）方程组的求解方法．在中学代数课程中已经指出：解二元和三元线性方程组的最基本的方法是消元法（代入消元法或加减消元法）。例如，从上面的二元线性方程组中设法消去未知量 $y$ ，得到未知量 $x$ 的一个一元一次方程，解出这个一元一次方程得到 $x$ 的值，再代回原方程组求未知量 $y$ 的值．这个方法也适用于三元线性方程组，只是这时要想法消去两个未知量，才能得到一元一次方程．

2）方程组解的状况的讨论。在平面解析几何中，上面的实系数线性方程组的一组解代表两条直线的一个公共点．因此，不难看出，方程组的解可能出现下列三种情况：（i）两直线相交，这时方程组有唯一解；（ii）两直线平行而不重合，这时方程组无解；（iii）两直线重合，这时方程组有无穷多组解．

在自然科学、工程技术和经济活动中，常常需要处理几十，几百甚至成千上万个未知量的线性方程组．对这样的方程组，我们需要解决下面两方面的问题：

**第一方面，是从理论上探讨下列三个问题：1）一个线性方程组在什么情况下有解，什么情况下无解？2）若有解，则有多少组解？3）在有许多组解（例如有无穷多组解）的情况下，解与解之间存在什么关系？
第二方面，是对有解的线性方程组探讨求解的方法，也就是把上面提到的消元法理论化、规格化，使它适用于有许多未知量的线性方程组。**
 
下面是一个有代表性的例子．

`例3.1`在经济活动中需要研究如下经济模型：设有 $n$ 个企业 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，互相之间签订了相互供应物资的协定．如果在一个生产周期内，企业 $A_j$ 需向企业 $A_i$ 交付占该企业在此生产周期内总收入 $x_j$ 的百分之 $a_{i j}$ 的货款 $(i \neq j)$ 。又设在此周期内 $A_j$ 企业在市场上销售其产品获得的款项占其总收入 $x_j$ 的百分之 $a_{j j}$ 。那么，对于企业 $A_i$ 来说，考查它在一个生产周期内的总收入，我们得到如下一个线性方程

$$
a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\cdots+a_{i i} x_i+\cdots+a_{i n} x_n=x_i .
$$

现在让 $i=1,2, \cdots, n$ ，我们得到有 $n$ 个未知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $n$ 个方程的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=x_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=x_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=x_n .
\end{array}\right.
$$

为了研究这个经济模型是否可行，我们需要求出上面线性方程组的全部解，并研究这些解之间的相互关系，即求出各企业在一个生产周期内总收入都是多少，并比较各企业总收入的关系，从而确定这样的经济模型能否被接受。这里所遇到的问题，就是上面所说的线性方程组理论所要处理的两方面的课题．
在上面所说的两方面课题中，第二方面，即寻求线性方程组的求解方法，是比较简单的．在本节中，我们主要研究这个课题．第一方面的课题将留到下一章中去解决．

## 2．线性方程组的解法
现在我们来介绍求解线性方程组的矩阵消元法．这个方法是一个古典的方法，具有悠久的历史，但由于它行之有效，至今仍然是求解线性方程组的最基本方法之一。这个方法中所包含的基本思想，在线性代数的其他一系列理论问题和计算问题中也将发挥重要的作用．

因为我们下面将要研究的线性方程组具有 $n$ 个未知量，我们不可能用 $x, y, z, \cdots$ 等不同字母来代表它．因此，下面我们用一个字母带上不同下角标来代表不同的未知量。例如，用 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 代表 $n$个未知量。这时，有 **$n$ 个未知量 $m$ 个方程** 的线性方程组的一般形式可表示为

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m .
\end{array}\right. ...(1)
$$

在这个方程组中，未知量前面的系数带有两个下角标，第一个下角标代表它在第几个方程，第二个下角标代表它是第几个未知量的系数。所以，$a_{i j}$ 代表的是第 $i$ 个方程中未知量 $x_j$ 的系数。方程组（1）中等式右端的 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 称为常数项．在这个方程组中，方程的个数 $m$ 没有限制，可以小于 $n$ ，可以等于 $n$ ，也可以大于 $n$ ．

设在线性方程组（1）中，未知量的系数 $a_{i j}$ 和常数项 $b_1, \cdots, b_m$ 都属于数域 $K$ ，则称它是数域 $K$ 上的线性方程组．如果让未知量取数域 $K$ 内一组确定的数值：

$$
x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n,
$$

代入方程组后使它转化为恒等式，则这一组数称为方程组（1）的一组解．

所谓矩阵消元法，是以下面的定义和一个命题作为理论基础的一种解线性方程组（1）的方法．

>定义 方程组（1）做如下三种变换：
（i）互换两个方程的位置；
（ii）把某一个方程两边同乘数域 $K$ 内一个非零常数 $c$ ；
（iii）把第 $j$ 个方程加上第 $i$ 个方程的 $k$ 倍，这里 $k \in K$ 且 $i \neq j$ ．上述三种变换中的每一种都称为线性方程组（1）的初等变换．

应当指出：线性方程组的初等变换是可逆的．也就是说，如果经
过一次初等变换把方程组（1）变成一个新方程组，那么，新方程组必可经一次初等变换变为原方程组

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