最后更新: 2025-09-04 17:09 查看: 82 次纠错评论(0) 课件开VIP

线性方程组

## 3 线性方程组

1．线性方程组概述
经典代数学的另一个重要课题是研究多个未知量的一次联立方程组．由于未知量都是一次幂，较为简单．但通过研究这类方程的理论问题，我们也可以逐步了解代数学的基本思想和方法，这将是本书着重讨论的课题．本节内容是介绍这类方程组的基本概念和求解方法．

读者在中学的课程中已经熟悉了有关二元一次方程组和三元一次方程组的基本知识。现在的任务，是要对中学里学过的这些知识从理论上加以总结和提高．

二元一次联立方程组的一般形式是

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y=c_1 \\
a_2 x+b_2 y=c_2
\end{array}\right.
$$
在解析几何中我们已经知道：在平面直角坐标系内，每个实系数二元一次方程代表一条直线．由于这个原因，一次代数方程也称为线性方程．今后，我们将未知量的一次方程统称为线性方程（不管未知量的数目有多少）。

读者已有的关于二元和三元线性方程组的知识大致有如下两个方面：

1）方程组的求解方法．在中学代数课程中已经指出：解二元和三元线性方程组的最基本的方法是消元法（代入消元法或加减消元法）。例如，从上面的二元线性方程组中设法消去未知量 $y$ ，得到未知量 $x$ 的一个一元一次方程，解出这个一元一次方程得到 $x$ 的值，再代回原方程组求未知量 $y$ 的值．这个方法也适用于三元线性方程组，只是这时要想法消去两个未知量，才能得到一元一次方程．

2）方程组解的状况的讨论。在平面解析几何中，上面的实系数线性方程组的一组解代表两条直线的一个公共点．因此，不难看出，方程组的解可能出现下列三种情况：（i）两直线相交，这时方程组有唯一解；（ii）两直线平行而不重合，这时方程组无解；（iii）两直线重合，这时方程组有无穷多组解．

在自然科学、工程技术和经济活动中，常常需要处理几十，几百甚至成千上万个未知量的线性方程组．对这样的方程组，我们需要解决下面两方面的问题：

**第一方面，是从理论上探讨下列三个问题：1）一个线性方程组在什么情况下有解，什么情况下无解？2）若有解，则有多少组解？3）在有许多组解（例如有无穷多组解）的情况下，解与解之间存在什么关系？
第二方面，是对有解的线性方程组探讨求解的方法，也就是把上面提到的消元法理论化、规格化，使它适用于有许多未知量的线性方程组。**
 
下面是一个有代表性的例子．

`例3.1`在经济活动中需要研究如下经济模型：设有 $n$ 个企业 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，互相之间签订了相互供应物资的协定．如果在一个生产周期内，企业 $A_j$ 需向企业 $A_i$ 交付占该企业在此生产周期内总收入 $x_j$ 的百分之 $a_{i j}$ 的货款 $(i \neq j)$ 。又设在此周期内 $A_j$ 企业在市场上销售其产品获得的款项占其总收入 $x_j$ 的百分之 $a_{j j}$ 。那么，对于企业 $A_i$ 来说，考查它在一个生产周期内的总收入，我们得到如下一个线性方程

$$
a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\cdots+a_{i i} x_i+\cdots+a_{i n} x_n=x_i .
$$

现在让 $i=1,2, \cdots, n$ ，我们得到有 $n$ 个未知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $n$ 个方程的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=x_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=x_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=x_n .
\end{array}\right.
$$

为了研究这个经济模型是否可行，我们需要求出上面线性方程组的全部解，并研究这些解之间的相互关系，即求出各企业在一个生产周期内总收入都是多少，并比较各企业总收入的关系，从而确定这样的经济模型能否被接受。这里所遇到的问题，就是上面所说的线性方程组理论所要处理的两方面的课题．
在上面所说的两方面课题中，第二方面，即寻求线性方程组的求解方法，是比较简单的．在本节中，我们主要研究这个课题．第一方面的课题将留到下一章中去解决．

## 2．线性方程组的解法
现在我们来介绍求解线性方程组的矩阵消元法．这个方法是一个古典的方法，具有悠久的历史，但由于它行之有效，至今仍然是求解线性方程组的最基本方法之一。这个方法中所包含的基本思想，在线性代数的其他一系列理论问题和计算问题中也将发挥重要的作用．

因为我们下面将要研究的线性方程组具有 $n$ 个未知量，我们不可能用 $x, y, z, \cdots$ 等不同字母来代表它．因此，下面我们用一个字母带上不同下角标来代表不同的未知量。例如，用 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 代表 $n$个未知量。这时，有 **$n$ 个未知量 $m$ 个方程** 的线性方程组的一般形式可表示为

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m .
\end{array}\right. ...(1)
$$

在这个方程组中，未知量前面的系数带有两个下角标，第一个下角标代表它在第几个方程，第二个下角标代表它是第几个未知量的系数。所以，$a_{i j}$ 代表的是第 $i$ 个方程中未知量 $x_j$ 的系数。方程组（1）中等式右端的 $b_1, b_2, \cdots, b_m$ 称为常数项．在这个方程组中，方程的个数 $m$ 没有限制，可以小于 $n$ ，可以等于 $n$ ，也可以大于 $n$ ．

设在线性方程组（1）中，未知量的系数 $a_{i j}$ 和常数项 $b_1, \cdots, b_m$ 都属于数域 $K$ ，则称它是数域 $K$ 上的线性方程组．如果让未知量取数域 $K$ 内一组确定的数值：

$$
x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n,
$$

代入方程组后使它转化为恒等式，则这一组数称为方程组（1）的一组解．

所谓矩阵消元法，是以下面的定义和一个命题作为理论基础的一种解线性方程组（1）的方法．

>定义 方程组（1）做如下三种变换：
（i）互换两个方程的位置；
（ii）把某一个方程两边同乘数域 $K$ 内一个非零常数 $c$ ；
（iii）把第 $j$ 个方程加上第 $i$ 个方程的 $k$ 倍，这里 $k \in K$ 且 $i \neq j$ ．上述三种变换中的每一种都称为线性方程组（1）的初等变换．

应当指出：线性方程组的初等变换是可逆的．也就是说，如果经
过一次初等变换把方程组（1）变成一个新方程组，那么，新方程组必可经一次初等变换变为原方程组（1）．这可以具体讨论如下：

1）如果互换方程组（1）中第 $i, j$ 两方程的位置，则对新方程组再互换 $i, j$ 两方程的位置就变回原方程组（1）；

2）如果把方程组（1）的第 $i$ 个方程乘以非零常数 $c$ ，那么，只要把新方程组的第 $i$ 个方程乘以 $1 / c$ 就变回原方程组（1）；

3）如果把方程组（1）的第 $j$ 个方程加上第 $i$ 个方程的 $k$ 倍，那么，只要把新方程组的第 $j$ 个方程加上第 $i$ 个方程的 $-k$ 倍就变回原方程组（1）。

显然，如果方程组（1）经过若干次初等变换化为一个新方程组，那么，新方程组也可以经若干次初等变换化为原方程组（1）。另外还应指出，在做初等变换的过程中，方程组中方程的个数既不增加，也不减少。新方程组仍为数域 $K$ 上的线性方程组。

> **命题3.1 设方程组（1）经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。**

证 设方程组（1）有一组解

$$
x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n, ...(2)
$$

代入（1）之后得到 $m$ 个恒等式
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} k_1+a_{12} k_2+\cdots+a_{1 n} k_n=b_1, \\
a_{21} k_1+a_{22} k_2+\cdots+a_{2 n} k_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} k_1+a_{m 2} k_2+\cdots+a_{m n} k_n=b_m .
\end{array}\right.
$$

对这组恒等式做相同的变换，得到一组新恒等式（也有 $m$ 个），它恰好是把（2）式代入新方程组所得的结果。由此可知：原方程组（1）的任一组解都是新方程组的解。

反过来，因为新方程组也可以经过适当的初等变换化为原方程组（1），所以按同样的道理，新方程组的任一组解也是原方程组（1）的解．于是两方程组同解．

下面举几个例子来具体说明如何利用命题 3.1 来解线性方程组．

`例3.2` 解线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
2 x_2-x_3= & 1, \\
x_1-x_2+x_3= & 0, \\
2 x_1+x_2-x_3= & -2 .
\end{aligned}\right.
$$

解 对方程组相继做初等变换。
（i）调换第 1，2 两方程的位置，得

$$
\left\{\begin{array}{rlr}
x_1-x_2+x_3= & 0 \\
2 x_2-x_3= & 1 \\
2 x_1+x_2-x_3= & -2
\end{array}\right.
$$

（ii）把上面的方程组第 3 个方程加上第 1 个方程的 -2 倍，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_3 & =0 \\
2 x_2-x_3 & =1 \\
3 x_2-3 x_3 & =-2
\end{aligned}\right.
$$

上面两次初等变换的目的是使方程组第 1 个方程保留 $x_1$ ，而第 2,3 个方程中未知量 $x_1$ 都不出现（即其系数为零）．
（iii）把（ii）中的方程组的第 3 个方程加上第 2 个方程的 -1 倍，得
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_3= & 0 \\
2 x_2-x_3= & 1 \\
x_2-2 x_3= & -3
\end{aligned}\right.
$$

（iv）再把上面的方程组中第2，3两方程对换位置，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_3 & =0 \\
x_2-2 x_3 & =-3 \\
2 x_2-x_3 & =1
\end{aligned}\right.
$$

（v）把上面的方程组的第 3 个方程加上第 2 个方程的 -2 倍，得

$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1-x_2+x_3=0, \\
x_2-2 x_3=-3, \\
3 x_3=7 .
\end{array}\right.
$$

最后所得的方程组具有这样的特点：自上而下看，未知量的个数依次减少，成为**阶梯形状**（上面用虚线标出阶梯形）。只要从它的第 3 个方程解出 $x_3$ ，代入第 2 个方程解出 $x_2$ ，再代入第 1 个方程解出
$x_1$ ，就得到方程组的解

$$
x_1=-\frac{2}{3}, \quad x_2=\frac{5}{3}, \quad x_3=\frac{7}{3} .
$$

根据命题 3．1，上面各个步骤中所得的每一个方程组都与原方程组同解，故最后方程组的这一组唯一的解就是原方程组的唯一解。

上面这个简单例子代表了用消元法解线性方程组的一般方法和计算格式。它的基本思想是：反复利用方程组的初等变换以把方程组转化成阶梯形状的方程组，使自上而下未知量的个数逐次减少。首先求最后一个方程的解，然后逐次代回上面各方程解出其余未知量。

读者不难发现，在上面的运算过程中，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量 $x_1, x_2, x_3$ 在整个过程中未参加任何计算。因此，每一步都把它们逐一写出完全是多余的累赘。在计算中完全可以把它们先隐去．只是这时要注意不要打乱了系数的排列顺序．基于这一认识，我们把例1的方程组简化成如下的 3 行 4 列长方表格

$$
\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 2 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & -1 & -2
\end{array}\right] .
$$
这个表格称为一个 3 行 4 列**矩阵**，简称为 $3 \times 4$ 矩阵．它的每个横排称为行，坚排称为列．现在，它的每一行代表原方程组的一个方程，第 $1,2,3$ 列分别代表各方程中 $x_1, x_2, x_3$ 的系数，第 4 列代表常数项。

于是，例 3.2 的解方程的各个步骤现在可简写成如下形式（用箭头 $\rightarrow$ 表示一次初等变换）：

$$
\begin{array}{r}
{\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 2 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
2 & 1 & -1 & -2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -1 & -2
\end{array}\right]} \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 3 & -3 & -2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -2 & -3
\end{array}\right] \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & -3 \\
0 & 2 & -1 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2 & -3 \\
0 & 0 & 3 & 7
\end{array}\right] .
\end{array}
$$

等到把矩阵变成阶梯形后，再写出它代表的方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_3 & =0, \\
x_2-2 x_3 & =-3, \\
3 x_3 & =7 .
\end{aligned}\right.
$$

求解最后的阶梯形方程组即得原方程组的全部解．这种方法就称为矩阵消元法。

在熟悉了矩阵消元法的思路和计算格式之后，在实际计算时可把几次初等变换一步完成。

`例3.3` 解方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_3= & 1, \\
2 x_1+x_2-2 x_3= & 1, \\
x_1+x_2+x_3= & 3, \\
x_1+2 x_2-3 x_3= & 3 .
\end{aligned}\right.
$$

解 利用矩阵消元法
$$
\begin{array}{r}
{\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -3 & -1 \\
2 & 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 2 & -3 & 3
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -3 & -1 \\
0 & -1 & 4 & 3 \\
0 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 4
\end{array}\right]} \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 1 & -4 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 4 & 7
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -3 & -1 \\
\hdashline 0 & 1 & -4 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{array}\right],
\end{array}
$$

其中第 1 个箭头表示：利用第 1 行消去第 $2,3,4$ 行中 $x_1$ 的系数；第 2 个箭头表示：把第 2 行加到第 4 行，然后以 $(-1)$ 乘第 2 行，最后再以 $(1 / 4)$ 乘第 3 行，等等．在计算中要注意初等变换的先后次序，以免混乱，出现错误．例如，在上面第 2 个箭头的计算中，把第 2 行加到第 4 行后，第 4 行已经变成（ $0 \quad 0 \quad 4 \quad 7$ ），只能以它为基础接下去再做变换．如果忽略这一点，还用原来的第 4 行又加到第 2 行，把整个矩阵变成
$$
\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & -3 & -1 \\
0 & 0 & 4 & 7 \\
0 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 0 & 4 & 7
\end{array}\right],
$$

这就错了。
现在把最后阶梯形矩阵对应的方程组写出

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_3 & =-1, \\
x_2-4 x_3 & =-3, \\
x_3 & =1, \\
0 & =3 .
\end{aligned}\right.
$$

这是一个矛盾方程组，无解．故原方程组也无解．

`例3.4`现在讨论例3．1的一个具体实例。设有企业 $A_1, A_2, A_3$按例 3.1 所说签订协议。若已知 $A_1$ 从市场销售所得占其总收入 $x_1$的百分比 $a_{11}=\frac{1}{4}$ ，按协议应付给 $A_2$ 的货款占 $x_1$ 的百分比 $a_{21}=\frac{1}{2}$ ，应付给 $A_3$ 的货款占 $x_1$ 的百分比 $a_{31}=\frac{1}{4} ; A_2$ 应付 $A_1$ 的货款占其总
收入 $x_2$ 的百分比 $a_{12}=\frac{2}{5}$ ，自身销售所得占 $x_2$ 的百分比 $a_{22}=\frac{1}{5}$ ，应付 $A_3$ 货款占 $x_2$ 的百分比 $a_{32}=\frac{2}{5} ; A_3$ 应付 $A_1$ 货款占其总收入 $x_3$ 的百分比 $a_{13}=\frac{1}{2}$ ，应付 $A_2$ 货款占 $x_3$ 的百分比 $a_{23}=\frac{1}{2}$ ，自身销售收入为 0 ．那么，我们得到如下线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{4} x_1+\frac{2}{5} x_2+\frac{1}{2} x_3=x_1, \\
\frac{1}{2} x_1+\frac{1}{5} x_2+\frac{1}{2} x_3=x_2, \\
\frac{1}{4} x_1+\frac{2}{5} x_3+0 \cdot x_3=x_3 .
\end{array}\right.
$$

移项后，得方程组的标准形：
$$
\left\{\begin{aligned}
-\frac{3}{4} x_1+\frac{2}{5} x_2+\frac{1}{2} x_3 & =0 \\
\frac{1}{2} x_1-\frac{4}{5} x_2+\frac{1}{2} x_3 & =0 \\
\frac{1}{4} x_1+\frac{2}{5} x_2-x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$

上面方程组的常数项为 0 ，在消元过程中显然也永远为 0 ，因此可以不写出来，只要写出未知量的系数所成的矩阵作消元法就可以了．具体写出来如下：

$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{rrr}
-\frac{3}{4} & \frac{2}{5} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & -\frac{4}{5} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{4} & \frac{2}{5} & -1
\end{array}\right] } & \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & -\frac{8}{15} & -\frac{2}{3} \\
0 & -\frac{8}{15} & \frac{5}{6} \\
0 & \frac{8}{15} & -\frac{5}{6}
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrr}
1 & -\frac{8}{15} & -\frac{2}{3} \\
0 & -\frac{8}{15} & \frac{5}{6} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

上面是先把第一行乘 $-\frac{4}{3}$ ，然后再利用第一行把第二、三行第一个元素消成 0．写成对应方程组：
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-\frac{8}{15} x_2-\frac{2}{3} x_3 & =0 \\
-\frac{8}{15} x_2+\frac{5}{6} x_3 & =0
\end{aligned}\right.
$$

解得

$$
x_2=\frac{25}{16} x_3, \quad x_1=\frac{3}{2} x_3 .
$$

上面的计算已求出方程组的全部解，其中未知量 $x_3$ 的值不受限制，可任取．这种未知量称为自由未知量．而其他未知量 $x_1, x_2$ 的值则由 $x_3$ 唯一决定。这样，未知量彼此间的关系也清楚了。上面的结果在经济工作中的实际含意是：若照上述模型运行，那么企业 $A_1$ 的收
入将是企业 $A_3$ 收入的 $\frac{3}{2}$ 倍，而企业 $A_2$ 的收入则是 $A_3$ 收入的 $\frac{25}{16}$ 倍．
现在对上面的讨论从理论上作一个小结．
定义 给定数域 $K$ 上 $m n$ 个数 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots$ ， $n)$ ，把它们按一定次序排成一个 $m$ 行 $n$ 列的长方形表格

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$

称为数域 $K$ 上的一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称为 $m \times n$ 矩阵．
在一个矩阵中，横向的一排数称为矩阵的行，坚向的一排数称为矩阵的列．矩阵中的每个数称为它的元素．在上面的矩阵中，每个元素 $a_{i j}$ 带有两个下角标，第1个下角标代表它所在的行，第2个下角标代表它所在的列。 $a_{i j}$ 表示该元素位于矩阵的第 $i$ 行和第 $j$ 列的交叉点处。今后我们常用一个大写英文字母代表一个矩阵。

矩阵是一个独立的概念，并不一定要跟线性方程组联系在一起。但是它是研究线性方程组的有力工具。现在矩阵对我们来说还仅仅看成是一个＂表格＂，在下面，我们将逐步赋予它新的内容，把它丰富起来，从而使它发挥越来越大的作用．

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