最后更新: 2025-09-04 17:12 查看: 85 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵与增广矩阵

## 矩阵
对于方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n .
\end{array}\right. ...(1)
$$
，写出他的未知量的系数，即
$$
{A}=\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n}   \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n}   \\
\vdots & \vdots & & \vdots   \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}  
\end{array}\right],
$$

称为**矩阵**

## 增广矩阵

有了上面的定义之后，方程组（1）中未知量的系数就可以排成一个矩阵 $A$ ，它就是定义中所写出的那个 $m \times n$ 矩阵，我们称 $A$ 为方程组（1）的系数矩阵。如果把方程组（1）的常数项添到 $A$ 内作为最后一列，就得到一个 $m \times(n+1)$ 矩阵

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m
\end{array}\right],
$$

矩阵 $\bar{A}$ 称为方程组（1）的**增广矩阵**。
我们不妨假定 $\bar{A}$ 的前 $n$ 列中任一列元素都不全为零（因为如果第 $j$ 列元素 $a_{i j}(i=1,2, \cdots, m)$ 全为零，那么，未知量 $x_j$ 在方程组中实
际上不出现，这情况可预先排除在外）．现在对 $\bar{A}$ 做矩阵消元法：
1）通过调换两行的位置使得第1行第1列处元素不为零。因为第 1 列元素不全为零，所以总能做到这一点。例 3.2 的第 1 步初等变换就是例子．

2）当 $a_{11} \neq 0$ 时，利用第 1 行乘以适当倍数加到第 $2,3, \cdots, m$ 行，把矩阵变成

$$
\bar{A} \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
0 & b_{22} & \cdots & b_{2 n} & b_2^{\prime} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & b_{m 2} & \cdots & b_{m n} & b_m^{\prime}
\end{array}\right] .
$$

下面，再对右下角部分继续上述变换。但注意右下角矩阵可能有些列全为 0 ．这时，只要把这些全为 0 的列跳过去不管就可以了。最后把增广矩阵 $\bar{A}$ 化为阶梯形，写出与之对应的阶梯形方程组，再把其中每个阶梯最左端系数不为 0 的项保留不动，其余未知量移到等式右端。移到等式右端的未知量称为自由未知量，其值可任取。取定自由未知量的值之后，代回方程组，自下而上逐次求得留在左端的未知量的值，得出方程组的一组解．用此办法，可得方程组的全部解．如果最后得出的阶梯形方程组包含矛盾方程（例如例 3．3），则原方程
组无解．

`例3.5`解下列线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4-x_5 & =-2, \\
x_1-x_2+2 x_3-x_4 & =1, \\
4 x_1-2 x_2+6 x_3+3 x_4-4 x_5 & =7, \\
2 x_1+4 x_2-2 x_3+4 x_4-7 x_5 & =1 .
\end{aligned}\right.
$$

解 对增广矩阵 $\bar{A}$ 作初等行变换：

$$
\bar{A}=\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
4 & -2 & 6 & 3 & -4 & 7 \\
2 & 4 & -2 & 4 & -7 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 & 3 \\
0 & -6 & 6 & 15 & 0 & 15 \\
0 & 2 & -2 & 10 & -5 & 5
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 9 & -3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 12 & -4 & 8
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -2 & -2 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 2
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -2 & -2 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}\\
&\text { 写出对应方程组 }
\end{aligned}
$$

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4-x_5 & =-2 \\
2 x_2-2 x_3-2 x_4-x_5 & =-3 \\
3 x_4-x_5 & =2
\end{aligned}\right.
$$

在上面方程中，把含 $x_3, x_5$ 的项移到等式右边，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4 & =-2+x_5 \\
2 x_2-2 x_4 & =-3+2 x_3+x_5 \\
3 x_4 & =2+x_5
\end{aligned}\right.
$$

然后自下而上逐次求 $x_4, x_2, x_1$ ，最后得

$$
\begin{gathered}
x_1=\frac{5}{6}-x_3+\frac{7}{6} x_5 \\
x_2=-\frac{5}{6}+x_3+\frac{5}{6} x_5, \quad x_4=\frac{2}{3}+\frac{1}{3} x_5
\end{gathered}
$$

现在 $x_3, x_5$ 的值可任取，是自由未知量．取定 $x_3, x_5$ 的一组值，就唯一决定 $x_1, x_2, x_4$ 的一组值，从而得到原方程组的一组解．显然，原方程组有无穷多组解．这里要注意一点，如果把原方程组看做数域 $K$上的方程组，则 $x_3, x_5$ 仅限于取数域 $K$ 内的数，这时得出的 $x_1, x_2, x_4$的值也在数域 $K$ 内。

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