最后更新: 2025-09-04 17:30 查看: 178 次纠错评论(0) 课件开VIP

齐次线性方程组与非齐次线性方程组

## 1. 非齐次线性方程组
我们称
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots  \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_3 .
\end{array}\right. ...(1)
$$

其中$b_1,b_2,b_3...b_n$不全为零是非齐次线性方程组。

## 2．齐次线性方程组
数域 $K$ 上的线性方程组（1）中，如果常数项 $b_1=b_2=\cdots=b_m=0$ ，则称为数域 $K$ 上的一个齐次线性方程组．这类方程的一般形式是

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 .
\end{array}\right. ...(3)
$$

方程组（3）显然有一组解

$$
x_1=0, \quad x_2=0, \quad \cdots, \quad x_n=0 .
$$

这组解称为**零解**或**平凡解**。除此之外的其他解（如果存在的话）称为**非零解**或**非平凡解**。

齐次线性方程组所要讨论的问题是：在什么情况下它有非零解？下面的命题部分地回答了这个问题。

> 命题 3.2 数域 $K$ 上的齐次线性方程组（3）中，如果方程个数 $m$小于未知量个数 $n$ ，则它必有非零解．

证 对方程个数 $m$ 作数学归纳法．
当 $m=1$ 时，若 $a_{11}=0$ ，则令 $x_1=1, x_2=\cdots=x_n=0$ 即为一组非零解。否则，因 $n>m=1$ ，取 $x_1=-a_{12}, x_2=a_{11}, x_3=\cdots=x_n=0$ ，因 $a_{11} \neq 0$ ，它即是一组非零解。现设有 $m-1$ 个方程的齐次线性方程组，当 $m-1<$ 未知量个数时必有非零解，来讨论有 $m$ 个方程的情况。

若方程组（3）中 $x_1$ 的系数全为 0 ，则取 $x_1=1, x_2=\cdots=x_n=0$ 即为一组非零解。否则，调换方程的次序（第一种初等变换），总可使第一个方程 $x_1$ 的系数不为 0 ，因而不妨就设 $a_{11} \neq 0$ 。这时把第一方程乘适当倍数加到其他方程（第三种初等变换），可把方程组（3）化为如下同解的齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n & =0 \\
b_{22} x_2+\cdots+b_{2 n} x_n & =0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \\
b_{m 2} x_2+\cdots+b_{m n} x_n & =0
\end{aligned}\right.
$$

上述方程组后面 $m-1$ 个方程是有 $n-1$ 个未知量 $x_2, \cdots, x_n$ 和 $m-1$个方程的齐次线性方程组．因为 $m<n$ ，故 $m-1<n-1$ ，按归纳假设它有一组非零解

$$
x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n .
$$

把这组数代回第一个方程，因 $a_{11} \neq 0$ ，可唯一解出 $x_1=k_1$ ，即得（3）的一组非零解．

在本节的最后，我们提请读者注意，在用矩阵消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除四种运算。如果所给的是数域 $K$ 上的线性方程组，那么作初等变换得出的仍为 $K$ 上的线性方程组，所求出的解也都是数域 $K$ 上的数（如果其中含有自由未知量，则限制它们只能取 $K$ 内的值）。因此，对 $K$ 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 $K$ 内进行．

## 理解：命题3.2的意义
方程组的个数相当于变量的限制绳索。毫无以为，方程的个数越多，对自由变量的限制就阅读。
如果方程个数减少，则变量就能更活跃。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：矩阵与增广矩阵

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)