最后更新: 2025-09-05 11:01 查看: 125 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵乘法的几何意义

## 3．矩阵乘法的几何意义
前面我们借助线性方程组的结构引入矩阵乘法．这种新运算在形式上较为复杂，但它实际上有直观的、深刻的几何背景。

给定数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$

考查向量空间 $K^n$ 到 $K^m$ 的映射 $f_A$ 如下：对任意
$$
X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right] \in K^n
$$

将 $X$ 看做 $n \times 1$ 矩阵，定义 $f_A(X)=A X \in K^m$ 。
取定 $K^n$ 中坐标向量

$$
X_j=\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right] \cdots \cdots j
$$

我们有
$$
f_A\left(X_j\right)=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
a_{1 j} \\
a_{2 j} \\
\vdots \\
a_{n j}
\end{array}\right] .
$$

即 $f_A\left(X_j\right)$ 是 $A$ 的第 $j$ 个列向量．
如果另有 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵 $A_1$ 使 $f_{A_1}=f_A$ ，那么 $A_1$ 的第 $j$ 个列向量 $=f_{A_1}\left(X_j\right)=f_A\left(X_j\right)=A$ 的第 $j$ 个列向量，这里 $j=1,2, \cdots, n$ ．由此得 $A_1=A$ ．这说明映射 $f_A$ 反过来又唯一地决定了矩阵 $A$ ．

现在给定 $K$ 上 $n \times s$ 矩阵

$$
B=\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n s}
\end{array}\right] .
$$

考査向量空间的如下映射图

$$
K^s \xrightarrow{f_B} K^n \xrightarrow{f_A} K^m,
$$

设 $A B=C=\left(c_{i j}\right)$ ．根据映射乘法，对任意 $X \in K^s$ ，我们有

$$
\left(f_A f_B\right)(X)=f_A\left(f_B(X)\right)=f_A\left[\begin{array}{c}
\sum_{l=1}^s b_{1 l} x_l \\
\sum_{l=1}^s b_{2 l} x_l \\
\vdots \\
\sum_{l=1}^s b_{n l} x_l
\end{array}\right]
$$

![图片](/uploads/2025-09/33a3e9.jpg)
 
 也就是 $f_A f_B=f_C=f_{A B}$ ．这说明，矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积实际上就是映射 $f_A$ 与映射 $f_B$ 的乘积．这就使形式上复杂的矩阵乘法得到了几何上直观的解释了．

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