最后更新: 2025-09-05 10:59 查看: 45 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的乘法

## 矩阵的乘法
上面介绍了矩阵与向量的相似之处．但矩阵与向量又有重大的不同点，那就是某些矩阵之间存在乘法运算（再一次提请读者注意，在向量空间中，向量和向量之间没有乘法运算）。

矩阵的乘法是从线性方程组的研究中自然产生出来的。给定数域 $K$ 上的线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m .
\end{array}\right.
$$

在第一章里，我们用增广矩阵代表这个方程组。现在，我们要把这个方程组用另一种形式表示出来。为此，考查如下两个矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right], \quad X=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right] .
$$

这就是方程组的系数矩阵 $A$ 和未知量所组成的 $n \times 1$ 矩阵 $X$ 。我们规定 $A$ 与 $X$ 的＂乘法＂如下：

![图片](/uploads/2025-09/ca9d86.jpg)
 
> 其法则是：左边矩阵的行和右边矩阵的列对应元素相乘再相加．乘得的结果是一个 $m \times 1$ 矩阵（上面用虚线在矩阵中标出左边的行与右边的列对应相乘的位置关系）。显然，乘积矩阵自上而下的第 1,2 ， $\cdots, m$ 个元素恰好是方程组的第 $1,2, \cdots, m$ 个方程的左端。如果再引入如下的 $m \times 1$ 矩阵

$$
B=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right],
$$

那么，方程组可用如下矩阵方程表示

$$
\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right] .
$$

或用抽象的记号，写成

$$
A X=B .
$$

这样，方程组的系数（用矩阵 $A$ 代表）和未知量（用矩阵 $X$ 代表）及常数项（用矩阵 $B$ 代表）这三者之间的互相制约关系就借助于上面引入的矩阵乘法运算清楚地表达出来了。

现在线性方程组一共有了三种新表现方式：（i）用其增广矩阵 $\bar{A}$ 表示；（ii）用向量方程表示；（iii）用矩阵方程表示。这三种表现形式各有各的用处，读者都应当熟悉。现在将线性方程组表成 $A X=B$ ，它在形式上很像初等代数中的一元一次方程式 $a x=b$ 。 一元一次方程式的解为 $x=a^{-1} b(a \neq 0)$ 。下面将会看到，在一定条件下，矩阵方程 $A X=B$ 也可以类似地解出。

`例4.2` 给定数域 $K$ 上的线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_4-x_5 & =1, \\
2 x_1+x_3-x_5 & =2, \\
3 x_1-x_2-x_3-x_4-x_5 & =0,
\end{aligned}\right.
$$

那么，可以把它表示成如下矩阵方程式

$$
\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
3 & -1 & -1 & -1 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4 \\
x_5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
0
\end{array}\right]
$$

但是，矩阵有着更广泛的意义和应用领域，并不一定要跟线性方程组联系在一起（例4．1中的矩阵就与方程组无关）。当所研究的矩阵不再与方程组相关时，右边矩阵 $X$ 就不再代表未知量，而可以是数域 $K$ 内的任意一组数了。因此，我们可以把矩阵乘积 $A X$ 中的 $X$换成数域 $K$ 上的矩阵

$$
B=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

（这里的 $B$ 是 $n \times 1$ 矩阵，不是上面方程组常数项组成的 $m \times 1$ 矩阵），那么，应当有

$$
A B=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$
$$
=\left\{\begin{array}{c}
a_{11} b_1+a_{12} b_2+\cdots+a_{1 n} b_n \\
a_{21} b_1+a_{22} b_2+\cdots+a_{2 n} b_n \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} b_1+a_{m 2} b_2+\cdots+a_{m n} b_n
\end{array}\right] .
$$

现在乘积矩阵是一个 $m \times 1$ 的数值矩阵。

`例4.3` 作下面的矩阵乘法

$$
\left[\begin{array}{rrrr}
-1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}
-1+0+0+0 \\
2-1+0+1 \\
0+0+0+0 \\
0-1+0+0 \\
1+0+0+1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
2 \\
0 \\
-1 \\
2
\end{array}\right] .
$$

如果用和号表示上面引进的矩阵运算，就是

$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^n a_{1 k} b_k \\
\sum_{k=1}^n a_{2 k} b_k \\
\vdots \\
\sum_{k=1}^n a_{m k} b_k
\end{array}\right) .
$$

在一般情况下，当两个矩阵相乘时，右边的矩阵不止一列，而是有 $s$ 列时，乘法的法则是：把左边矩阵 $A$ 分别乘右边矩阵的每一列 （按上面所述法则），然后把所得的 $s$ 个列矩阵依次排列，即得乘积矩阵。我们把它表述成如下的

定义 给定数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵 $A$ 和 $n \times s$ 矩阵 $B$ ：

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n s}
\end{array}\right),
$$

定义 $A$ 与 $B$ 的乘法如下：
$$
\begin{aligned}
A B & =\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 s} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \cdots & b_{n s}
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{cccc}
\sum_{k=1}^n a_{1 k} b_{k 1} & \sum_{k=1}^n a_{1 k} b_{k 2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{1 k} b_{k s} \\
\sum_{k=1}^n a_{2 k} b_{k 1} & \sum_{k=1}^n a_{2 k} b_{k 2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{2 k} b_{k s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sum_{k=1}^n a_{m k} b_{k 1} & \sum_{k=1}^n a_{m k} b_{k 2} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{m k} b_{k s}
\end{array}\right)=C .
\end{aligned}
$$

上面所定义的矩阵乘法有如下三个要点：
1）左边矩阵 $A$ 的列数必须等于右边矩阵 $B$ 的行数才能相乘；
2）乘积矩阵的行数等于左边矩阵的行数，其列数则等于右边矩阵的列数；

3）乘法的法则是左边矩阵的第 $i$ 行和右边矩阵的第 $j$ 列的对应元素相乘再相加，就得到乘积矩阵 $C$ 的第 $i$ 行 $j$ 列元素 $c_{i j}$ 。即

$$
c_{i j}=\sum_{k=1}^n a_{i k} b_{k j} .
$$

如果把 $A$ 的第 $i$ 行，$B$ 的第 $j$ 列单独抽出来，就可以写成

$$
\left(\begin{array}{llll}
a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n}
\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}
b_{1 j} \\
b_{2 j} \\
\vdots \\
b_{n j}
\end{array}\right]=\left(\sum_{k=1}^n a_{i k} b_{k j}\right)=\left(c_{i j}\right),
$$

这里 $i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, s$ ．
例4．4 作矩阵乘法

$$
\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 2 & 0
\end{array}\right] .
$$

为了进一步揭示矩阵乘法的实质，现在再回到线性方程组来。前面已将线性方程组左端写成 $A X$ 。如设矩阵 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2$ ， $\cdots, \alpha_n$ ．那么，按 $\S 1$ 的分析，线性方程组左端又可以写成向量组 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的线性组合，即
$$
A X=x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n
$$

现在把 $X$ 换成定义中右边矩阵 $B$ 的第 $j$ 个列向量，那么乘积矩阵 $C$的第 $j$ 个列向量为

$$
\left[\begin{array}{c}
c_{1 j} \\
c_{2 j} \\
\vdots \\
c_{m j}
\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}
b_{1 j} \\
b_{2 j} \\
\vdots \\
b_{n j}
\end{array}\right]=b_{1 j} \alpha_1+b_{2 j} \alpha_2+\cdots+b_{n j} \alpha_n
$$

于是我们得到下面的命题．
命题4.1 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵，其列向量组记为 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，又设 $B$ 是数域 $K$ 上的 $n \times s$ 矩阵。令 $C=A B$ ，则 $C$ 的第 $j$
个列向量是以 $B$ 的第 $j$ 列元素为系数作 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$的线性组合所得的 $m$ 维向量．

如果写 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ ，那么

$$
\begin{aligned}
A\left[\begin{array}{c}
b_{1 j} \\
b_{2 j} \\
\vdots \\
b_{n j}
\end{array}\right] & =\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)\left[\begin{array}{c}
b_{1 j} \\
b_{2 j} \\
\vdots \\
b_{n j}
\end{array}\right] \\
& =b_{1 j} \alpha_1+b_{2 j} \alpha_2+\cdots+b_{n j} \alpha_n
\end{aligned}
$$

上面的式子是从形式上把 $A$ 看做 $1 \times n^{\prime \prime}$ 矩阵＂（其元素为向量 $\alpha_1, \alpha_2$ ， $\cdots, \alpha_n$ ，不是数，故只具有矩阵的形式，而不是真正的矩阵），然后按前面叙述的矩阵乘法的法则作形式上的乘法，也得出相同的正确结果。

如果把 $B$ 的行向量组记为 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$（写成横排形式），那么乘积矩阵 $C$ 的第 $i$ 个行向量为

$$
\begin{gathered}
\left(c_{i 1}, c_{i 2}, \cdots, c_{i s}\right)=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)\left[\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_n
\end{array}\right] \\
=a_{i 1} \beta_1+a_{i 2} \beta_2+\cdots+a_{i n} \beta_n .
\end{gathered}
$$

即乘积矩阵的第 $i$ 个行向量是用左边矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素为系数作右边矩阵 $B$ 的行向量组的线性组合所得的 $s$ 维向量．

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