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矩阵的加减运算

## 4 矩阵的运算

为了使线性空间与矩阵的研究深入一步，现在把这两方面我们已有的知识作一番比较。首先，我们把这两种新研究对象看做两类集合。数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间为如下集合： 
$$
K^m=\left\{\left(a_1, a_2, \cdots, a_m\right) \mid a_i \in K, i=1,2, \cdots, m\right\} .
$$

数域 $K$ 上全体 $m \times n$ 矩阵组成的集合在本书中将记为

$$
M_{m, n}(K)=\left\{\left.\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right] \right\rvert\, a_{i j} \in K\right\} .
$$

关于 $K^m$ ，我们知道其中元素有加法运算，又知道 $K$ 中的数与 $K^m$ 的向量可作数乘运算，而且这两种运算满足八条运算法则。因此 $K^m$ 已经成为一个完整的代数学的研究对象。而矩阵，我们只知道它是由 $m n$ 个数所组成的长方表格。在§2我们把 $K^m$ 中向量组的秩的概念应用于 $m \times n$ 矩阵，使矩阵有了秩的概念。除此之外，我们没有其他知识。因此，矩阵目前的内涵还比较贫乏。我们知道，一个集合要成为代数学的研究对象，其元素必须有某些运算，运算又要满足某些运算法则（就像数有加、乘两种运算并满足 § 1 所指出的九条法则一样）。所以，为了使矩阵真正进入代数学的研究领域，我们同样必须在矩阵间引进某些运算，并确定这些运算所应满足的运算法则。

### 1．矩阵的加法和数乘
数域 $K$ 上的一个 $m \times n$ 矩阵，是由 $K$ 上 $m n$ 个数按一定次序排列而成的，从这个意义上说，它与向量实际上是相通的，它可以看做 $K$ 上一个 $m n$ 维向量（但由于矩阵有其另外的重要意义，我们把它写成 $m$ 行 $n$ 列的长方形表格，不写成一行 $m n$ 列或 $m n$ 行一列的形状）。由此立刻可以看出，向量空间的两种运算实际上也适用于矩阵。下面给出严格的定义。

定义 给定数域 $K$ 上两个 $m \times n$ 矩阵

$$
\begin{aligned}
&A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n}
\end{array}\right],\\
&\text { 它们的加法定义为：}
\end{aligned}
$$

$$
A+B=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n}
\end{array}\right]
$$

对任意 $k \in K, k$ 与 $A$ 的数乘定义为：

$$
k A=\left[\begin{array}{cccc}
k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1 n} \\
k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k a_{m 1} & k a_{m 2} & \cdots & k a_{m n}
\end{array}\right] .
$$

读者应当注意：只有既同行数又同列数的矩阵才能相加．另外，两个矩阵相等是指它们的元素完全相同。

不难看出，矩阵的加法和数乘本质上与向量的加法和数乘是一样的。实际上，一个 $n$ 维向量可以当作一个 $1 \times n$ 矩阵（如果它写成横排方式）或 $n \times 1$ 矩阵（如果它写成竖列方式）。由于这个原因，本章命题1．1所列举的向量加法、数乘运算的八条性质对矩阵的加法和数乘运算也完全适用，只要把那里的向量 $\alpha, \beta, \gamma$ 换成矩阵 $A, B, C$ 就可以了。在这里，零矩阵（元素全为零的矩阵）代替了零向量的地位，而 $A$ 的＂负矩阵＂
$$
-A=\left[\begin{array}{cccc}
-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & -a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
-a_{m 1} & -a_{m 2} & \cdots & -a_{m n}
\end{array}\right]
$$

代替了那里的＂负向量＂的地位。同样，把 $A+(-B)$ 写成 $A-B$ ，称为矩阵的减法运算。

矩阵的加法与数乘在生产实践中有广泛的应用．下面举一个简单的实例．

`例4.1` 某企业下属三个工厂 $A_1, A_2, A_3$ 生产同样五种产品 $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ 。该企业根据市场销售情况，安排三种不同的生产计划，其一适用于夏季六、七、八月，规定此三个月共 64 个工作日每天各厂各生产如下数量产品：

![图片](/uploads/2025-09/05915d.jpg)
 又规定十、十一、十二月份共 63 个工作日每天各厂各生产如下数量的产品：

![图片](/uploads/2025-09/837171.jpg)
 
 其余月份共 128 个工作日每天各厂各生产如下数量的产品：
  ![图片](/uploads/2025-09/5f34c5.jpg)
  
  上面三个 $5 \times 3$ 矩阵分别代表该企业各工厂在这三个生产计划下每天各类产品的生产数量．于是全年各工厂的各类产品的产量为
  
   ![图片](/uploads/2025-09/376add.jpg)

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