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线性方程组的一般理论

## 3．线性方程组的一般理论
现在来讨论数域 $K$ 上的一般线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots   \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m .
\end{array}\right. ...(4)
$$

其系数矩阵和增广矩阵分别是
$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right], \quad \bar{A}=\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m
\end{array}\right] .
$$

在本节中，我们将从理论上对方程组（4）的解的情况进行详细的研究．

首先来给出方程组（4）有解或无解的判别定理．我们先证明一个简单的事实．

命题 3.2 给定 $K^m$ 中一个线性无关向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ．若添加向量 $\beta$ 后，向量组

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta
$$

线性相关，则 $\beta$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示．
证 此时存在 $K$ 内不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_n, k$ ，使

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n+k \beta=0 .
$$

若 $k=0$ ，则 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n=0$ ．已知 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关，故必 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ ．这与假设 $k_1, \cdots, k_n, k$ 不全为 0 矛盾．故 $k \neq 0$ ，于是

$$
\beta=-\frac{k_1}{k} \alpha_1-\frac{k_2}{k} \alpha_2-\cdots-\frac{k_n}{k} \alpha_n .
$$

## 判别定理

> **定理 3．2（判别定理）数域 $K$ 上线性方程组（4）有解的充分必要条件是其系数矩阵 $A$ 与增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩相等，即 $\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(\bar{A})$ 。**

证 设增广矩阵 $\bar{A}$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$ 。其中 $\alpha_1, \alpha_2$ ， $\cdots, \alpha_n$ 为系数矩阵 $A$ 的列向量组。此时方程组（4）等价于 $K^m$ 内的向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\beta .
$$

必要性 方程组（4）有解表示 $\beta$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，从而可被它的一个极大线性无关部分组 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 线性表示，这表明 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 也是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$ 的极大线性无关部分组，于是 $\mathrm{r}(\bar{A})=r=\mathrm{r}(A)$ ．

充分性 设 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的一个极大线性无关部分组．若 $\beta$ 不能被 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 线性表示，则由命题3．2知下列向量

组

$$
\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}, \beta
$$

线性无关，而向量组 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n, \beta$ 显然可由（I）线性表示，这表明（I）是它的一个极大线性无关部分组，于是 $\mathrm{r}(\bar{A})=r+1>r=\mathrm{r}(A)$ ，与假设 $\mathrm{r}(\bar{A})=\mathrm{r}(A)$ 矛盾。故 $\beta$ 必可被 $\alpha_{i_1}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 线性表示，从而可被 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示（其余向量前面系数取 0 ），而这表明线性方程组 （4）有解。

下面我们在方程组（4）有解的假定下，讨论它的解的结构．设给定（4）的两个解向量

$$
\gamma_1=\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right), \quad \gamma_2=\left(l_1, l_2, \cdots, l_n\right) .
$$

这表示

$$
\begin{aligned}
& k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n=\beta \\
& l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2+\cdots+l_n \alpha_n=\beta
\end{aligned}
$$

两式相减，得

$$
\left(k_1-l_1\right) \alpha_1+\left(k_2-l_2\right) \alpha_2+\cdots+\left(k_n-l_n\right) \alpha_n=0 .
$$

把方程组（4）的常数项换成 0 后所得的齐次线性方程组在 $K^m$ 内的表达式为

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=0
$$

上面式子表明 $\gamma_1-\gamma_2$ 是这个齐次线性方程组的一个解向量．
把方程组（4）的常数项通通换成 0 ，得到与之对应的一个齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 . ...(5)
\end{array}\right.
$$

方程组（5）称为方程组（4）的**导出方程组**．方程组（4）与（5）的解之间有如下关系：

1）方程组（4）的两个解向量 $\gamma_1$ 与 $\gamma_2$ 之差 $\eta=\gamma_1-\gamma_2$ 是方程组 （5）的一个解向量．这在上面已经阐述过了；

2）设 $\gamma_0=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ 是线性方程组（4）的一个解向量，而 $\eta=$
$\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ 是方程组（5）的一个解向量，那么 $\gamma_0+\eta$ 是方程组（4）的一个解向量．这是因为由

$$
\begin{aligned}
& a_1 \alpha_1+a_2 \alpha_2+\cdots+a_n \alpha_n=\beta \\
& k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n=0
\end{aligned}
$$

两式相加得

$$
\left(a_1+k_1\right) \alpha_1+\left(a_2+k_2\right) \alpha_2+\cdots+\left(a_n+k_n\right) \alpha_n=\beta .
$$

从上面两条简单的性质可以知道，如果给定方程组（4）的某一个解向量 $\gamma_0$ ，那么，对于方程组（4）的任一个解向量 $\gamma, \gamma-\gamma_0=\eta$ 是方程组（5）的一个解向量，故 $\gamma$ 可表示为

$$
\gamma=\gamma_0+\eta .
$$

反之，$\gamma_0$ 加上方程组（5）的任一解向量 $\eta$ 就得到方程组（4）的一个解向量。如果设方程组（5）的一个基础解系为 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ ，则方程组 （5）的全部解可用下式表出

$$
k_1 \eta_1+k_2 \eta_2+\cdots+k_{n-r} \eta_{n-r} .
$$

从而方程组（4）的全部解可表示为

$$
\gamma=\gamma_0+k_1 \eta_1+k_2 \eta_2+\cdots+k_{n-r} \eta_{n-r}, ...(6)
$$

其中 $k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}$ 可取数域 $K$ 内任意数．
在（6）式中，若有两向量相等：

$$
\gamma_0+k_1 \eta_1+\cdots+k_{n-r} \eta_{n-r}=\gamma_0+l_1 \eta_1+\cdots+l_{n-r} \eta_{n-r},
$$

则有 $\left(k_1-l_1\right) \eta_1+\cdots+\left(k_{n-r}-l_{n-r}\right) \eta_{n-r}=0$ ．因基础解系线性无关，故必有 $k_1=l_1, \cdots, k_{n-r}=l_{n-r}$ ．

定理3．3 在 $\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(\bar{A})$ 的条件下，有
（i）如果 $\mathrm{r}(A)=n$ ，则方程组（4）有唯一解；
（ii）如果 $\mathrm{r}(A)<n$ ，则方程组（4）有无穷多组解，其全部解可由某一特殊解 $\gamma_0$ 和它的导出方程组（5）的一个基础解系用（6）式表示。

证（i）如果 $\mathrm{r}(A)=n$ ，则 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关， $\bar{A}$ 的最后一列 $\beta$ 被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示的表法是唯一的（命题 3．1），故方程组（4）的解唯一。
（ii）如果 $\mathrm{r}(A)<n$ ，则齐次线性方程组（5）有基础解系，其正确性已在前面讨论中获知。

至此，第一章 § 3 开头所提出的关于线性方程组解的三个理论问题全部获得解决．

根据定理 3.3 ，求方程组（4）的全部解可由下列两部分工作组成：

1）求方程组（4）的某一特解 $\gamma_0$ ；
2）求导出方程组（5）的一个基础解系。最后，代入公式（6）即得方程组（4）的全部解。而这两部分工作可用矩阵消元法同时进行。

`例3.3` 求数域 $K$ 上线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_4-x_5 & =1, \\
2 x_1+x_3-x_5 & =2, \\
3 x_1-x_2-x_3-x_4-x_5 & =0
\end{aligned}\right.
$$

的全部解．
解 写出方程组的增广矩阵，对它做初等行变换化为阶梯形
$$
\begin{aligned}
\bar{A}= & {\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
2 & 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \\
3 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0
\end{array}\right] } \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & -1 & -4 & 2 & -3
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 & -1 & 3
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

写出对应的方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2+x_4-x_5 & =1, \\
2 x_2+x_3-2 x_4+x_5 & =0, \\
2 x_3+2 x_4-x_5 & =3 .
\end{aligned}\right.
$$

这方程组与原方程组同解，因此，只要求它的全部解就可以了．移项，得
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2 & =1-x_4+x_5 \\
2 x_2+x_3 & =2 x_4-x_5 \\
2 x_3 & =3-2 x_4+x_5
\end{aligned}\right.
$$

（i）先求一个特解 $\gamma_0$ ．这只要取 $x_4=x_5=0$ 即可，故有

$$
\gamma_0=\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 0,0\right) .
$$

（ii）再求它的导出方程组的基础解系。这只要把方程组的常数项换成零，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_2 & =-x_4+x_5, \\
2 x_2+x_3 & =2 x_4-x_5, \\
2 x_3 & =-2 x_4+x_5,
\end{aligned}\right.
$$

$x_4, x_5$ 为自由未知量．
取 $x_4=1, x_5=0$ 得：$\quad \eta_1=\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2},-1,1,0\right)$ ；
取 $x_4=0, x_5=1$ 得：$\quad \eta_2=\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, 0,1\right)$ ．故原方程组的全部解为
$$
\begin{aligned}
\gamma= & \left(\frac{1}{4},-\frac{3}{4}, \frac{3}{2}, 0,0\right)+k_1\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2},-1,1,0\right) \\
& +k_2\left(\frac{1}{4},-\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, 0,1\right)
\end{aligned}
$$

其中 $k_1, k_2$ 可取 $K$ 内任意数．

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