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基础解系的求法

## 2．基础解系的求法
根据上一段落所说的，我们只要找到齐次线性方程组（1）的 $n-r$个自由未知量，就可以获得它的基础解系。在第一章§ 3 中我们已经知道可以利用矩阵消元法来寻找方程组的自由未知量，所以矩阵消元法也就可以用来求齐次线性方程组的基础解系。具体说，如果我们通过初等行变换把齐次线性方程组的系数矩阵（因为常数项为零，不必考虑增广矩阵）化为阶梯形，那么，阶梯形中阶梯的个数 $r$ 即为系数矩阵的秩 $\mathrm{r}(A)$ 。把每个阶梯左角处对应的未知量保留在方程组左端，其余 $n-r$ 个未知量移到右端，此时，右端 $n-r$ 个未知量任取一组值，都可以唯一决定左端 $r$ 个未知量的值。所以，右端 $n-r$ 个未知量就是一组自由未知量（注意自由未知量的选取并不是唯一的）．

`例3.1` 求数域 $K$ 内齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4-x_5 & =0 \\
x_1-x_2+2 x_3-x_4 & =0 \\
4 x_1-2 x_2+6 x_3+3 x_4-4 x_5 & =0 \\
2 x_1+4 x_2-2 x_3+4 x_4-7 x_5 & =0
\end{aligned}\right.
$$

的一个基础解系。
解 把系数矩阵化为阶梯形

$$
\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\
4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\
2 & 4 & -2 & 4 & -7
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
0 & 2 & -2 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

现在 $\mathrm{r}(A)=3$ ，基础解系中应有 $n-r=5-3=2$ 个向量。写出阶梯形矩阵对应的方程组：

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4-x_5 & =0, \\
2 x_2-2 x_3-2 x_4-x_5 & =0, \\
3 x_4-x_5 & =0 .
\end{aligned}\right.
$$

移项，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2-3 x_4 & =x_5 \\
2 x_2-2 x_4 & =2 x_3+x_5 \\
3 x_4 & =x_5
\end{aligned}\right.
$$

现在 $x_3, x_5$ 是自由未知量。
（i）取 $x_3=1, x_5=0$ ，得一个解向量

$$
\eta_1=(-1,1,1,0,0) .
$$

（ii）取 $x_3=0, x_5=1$ ，得另一个解向量

$$
\eta_2=\left(\frac{7}{6}, \frac{5}{6}, 0, \frac{1}{3}, 1\right) .
$$

$\eta_1, \eta_2$ 即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为

$$
k_1 \eta_1+k_2 \eta_2
$$

其中 $k_1, k_2$ 为数域 $K$ 内任意数．

`例3.2` 求数域 $K$ 内齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_2-x_3+x_4-x_5 & =0, \\
x_1+x_3+2 x_4-x_5 & =0, \\
x_1+x_2+3 x_4-2 x_5 & =0, \\
2 x_1+2 x_2+6 x_4-3 x_5 & =0
\end{aligned}\right.
$$

的一个基础解系。
解 先做矩阵消元法

$$
\begin{array}{r}
{\left[\begin{array}{rrrrr}
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 3 & -2 \\
2 & 2 & 0 & 6 & -3
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 3 & -2 \\
2 & 2 & 0 & 6 & -3
\end{array}\right]} \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 2 & -2 & 2 & -1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{array}
$$

$$
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & 0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$\mathbf{r}(A)=3$ ，故基础解系中应包含 $n-r=5-3=2$ 个向量。写出阶梯形矩阵的对应方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1 \quad+x_3+2 x_4-x_5 & =0 \\
x_2-x_3+x_4-x_5 & =0 \\
x_5 & =0
\end{aligned}\right.
$$

移项，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-x_5 & =-x_3-2 x_4 \\
x_2-x_5 & =x_3-x_4 \\
x_5 & =0
\end{aligned}\right.
$$

$x_3, x_4$ 为自由未知量。
（i）取 $x_3=1, x_4=0$ ，得一个解向量

$$
\eta_1=(-1,1,1,0,0) .
$$

（ii）取 $x_3=0, x_4=1$ ，得另一个解向量

$$
\eta_2=(-2,-1,0,1,0) .
$$

于是 $\eta_1, \eta_2$ 为方程组的一个基础解系．方程组的全部解可表为
$$
k_1 \eta_1+k_2 \eta_2,
$$

其中 $k_1, k_2$ 为数域 $K$ 内任意数．

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