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线性方程组的基础解系

## 3 线性方程组的基础解系

前面通过研究数域 $K$ 上的线性方程组引进了代数学上的两个新的研究对象：数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间 $K^m$ 和 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵。到目前为止，我们仅对它们作了一些初步的探讨，获得一些初步的知识。但是仅仅利用这点尚属粗浅的知识，我们已经可以对第一章 § 3 所提出的线性方程组的三个理论问题给出完满的解答．这说明我们所进入的这个新领域确实使我们的知识在理论上大大前进了一步。

我们已经知道，数域 $K$ 上一个含 $n$ 个未知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 和 $m$个方程的线性方程组等价于 $K^m$ 内的一个向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\beta .
$$

它的一组解 $x_1=k_1, x_2=k_2, \cdots, x_n=k_n$ 是 $K$ 上一个 $n$ 元有序数组，从而是 $K^n$ 中的一个向量 $\eta=\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ ，我们称它为方程组（或上述向量方程）的一个**解向量**。引入这一概念，就进一步把我们的讨论纳入 $K$ 上向量空间的轨道中了。

下面我们先来讨论数域 $K$ 上的齐次线性方程组。前面已指出，它是线性方程组理论的核心，解决了它，其他部分即可迎刃而解。

### 1．齐次线性方程组的基础解系
考查数域 $K$ 上的齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=0 .
\end{array}\right. ...(1)
$$

它等价于 $K^m$ 内的向量方程
$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=0
$$

其中 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 为（1）的系数矩阵 $A$ 的列向量组。
齐次线性方程组（1）的解具有如下性质：
1）如果 $\eta_1=\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right), \eta_2=\left(l_1, l_2, \cdots, l_n\right)$ 是方程组（1）的两个解向量，则

$$
\eta_1+\eta_2=\left(k_1+l_1, k_2+l_2, \cdots, k_n+l_n\right)
$$

也是方程组（1）的解向量；
2）如果 $\eta=\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)$ 是方程组（1）的一个解向量，则对 $K$内任意数 $k$ ，有

$$
k \eta=\left(k k_1, k k_2, \cdots, k k_n\right)
$$

也是方程组（1）的解向量。
这两条性质只要直接代入向量方程进行验证就可以了。例如对性质1），有

$$
\begin{aligned}
& k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n=0 \\
& l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2+\cdots+l_n \alpha_n=0
\end{aligned}
$$

两式相加得

$$
\left(k_1+l_1\right) \alpha_1+\left(k_2+l_2\right) \alpha_2+\cdots+\left(k_n+l_n\right) \alpha_n=0,
$$

这表明 $\eta_1+\eta_2$ 也是方程组（1）的解向量。性质2）请读者自己验证。
从上面两条性质立即推出：设 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_l$ 是方程组（1）的一组解向量，那么，对 $K$ 内任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_l$ ，线性组合 $k_1 \eta_1+k_2 \eta_2 +\cdots+k_l \eta_l$ 仍为方程组（1）的一个解向量。由此立即产生如下的问题：有没有可能找出方程组（1）的一个解向量组，它们中没有＂多余＂的向量（即线性无关），而由它们作所有可能的线性组合，就能得出方程组（1）的全部解向量呢？为了从理论上严格说清这个问题，我们来引进一个新的概念．

定义 齐次线性方程组（1）的一组解向量 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 如果满足如下条件：
（i）$\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性无关；
（ii）方程组（1）的任一解向量都可被 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性表示，那么，就称 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 是齐次线性方程组（1）的一个**基础解系**．

如果能找出方程组（1）的一个基础解系，就等于找到全部解向量，那么方程组（1）有多少解，解与解之间的关系这两个理论问题就完满地解决了。这样，探讨齐次线性方程组的理论课题就归结为讨论它的基础解系了。

应当指出：如果齐次线性方程组（1）只有零解，那么它就没有基础解系。但为着叙述上的方便，我们说这样的齐次线性方程组的基础解系包含零个向量。

为了研究方程组（1）的基础解系，先需要一个简单的命题。

**命题3.1 如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，而向量 $\beta$ 可被它线性表示，则表示法是唯一的。**

证 设 $\beta$ 有两种表示法

$$
\begin{aligned}
\beta & =k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s \\
& =l_1 \alpha_1+l_2 \alpha_2+\cdots+l_s \alpha_s
\end{aligned}
$$

则有

$$
\left(k_1-l_1\right) \alpha_1+\left(k_2-l_2\right) \alpha_2+\cdots+\left(k_s-l_s\right) \alpha_s=0 .
$$

因为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，故必有
$$
k_1-l_1=k_2-l_2=\cdots=k_s-l_s=0
$$

即两个表示法相同．
齐次线性方程组（1）的系数矩阵为

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right]
$$

> **定理3.1 数域 $K$ 上的齐次线性方程组（1）的基础解系存在，且任一基础解系中解向量个数为 $n-r$ ，其中 $n$ 为未知量个数，而 $r$ 为系数矩阵 $A$ 的秩 $\mathrm{r}(A)$ ．**

证 因为方程组（1）的任意两个基础解系（如果有的话）是互相线性等价的，因而秩相等。它们又是线性无关的，秩即等于其向量个数，故任意两个基础解系中包含相同数目的向量。因此，我们只要找出一个基础解系，其中包含 $n-r$ 个向量，定理就得证了。

设矩阵 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 。如果 $\mathrm{r}(A)=r=n$ ，即 $A$ 的列向量组线性无关，则方程组（1）只有零解，其基础解系包含

$$
n-r=n-n=0
$$

个向量，定理成立．
下面设 $r<n$ 。为了叙述简明，不妨设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 为 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组。把方程组（1）写成向量形式

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=0
$$

因为 $\alpha_{r+1}, \alpha_{r+2}, \cdots, \alpha_n$ 均能被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示，按命题1．3，它们的任一线性组合也能被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示。再由命题3．1，表示法是唯一的。因此，任给 $x_{r+1}, x_{r+2}, \cdots, x_n$ 一组 $K$ 内数值

$$
x_{r+1}=k_{r+1}, x_{r+2}=k_{r+2}, \cdots, x_n=k_n,
$$

则因 $\beta=-\left(k_{r+1} \alpha_{r+1}+\cdots+k_n \alpha_n\right)$ 能唯一地表成 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 的线性组合，所以存在 $K$ 内唯一的一组数 $k_1, \cdots, k_r$ 使

$$
k_1 \alpha_1+\cdots+k_r \alpha_r+k_{r+1} \alpha_{r+1}+\cdots+k_n \alpha_n=0
$$

这说明：
（i）方程（2）中未知量 $x_{r+1}, \cdots, x_n$ 任取一组数值，都可唯一确定未知量 $x_1, \cdots, x_r$ 的一组值，从而得到方程组（1）的一组解；

（ii）方程组的两组解 $\eta_1, \eta_2$ ，如它们在 $x_{r+1}, \cdots, x_n$ 处取的值相同

$$
\begin{aligned}
& \eta_1=\left(*, \cdots, *, k_{r+1}, \cdots, k_n\right) ; \\
& \eta_2=\left(*, \cdots, *, k_{r+1}, \cdots, k_n\right)
\end{aligned}
$$

（其中星号 $*$ 表示该处数值无需具体标出），则 $\eta_1=\eta_2$ 。
未知量 $x_{r+1}, \cdots, x_n$ 称为方程组的自由未知量。如果让这 $n-r$ 个自由未知量中某一个取值 1 ，其余取值零，就得到方程组（1）的一组解向量．这样一共可得 $n-r$ 个解向量：

$$
\begin{gathered}
\eta_1=(*, \cdots, *, 1,0, \cdots, 0) \\
\eta_2=(*, \cdots, *, 0,1, \cdots, 0) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots   \\
\eta_{n-r}=(*, \cdots, *, 0, \cdots, 0,1)
\end{gathered} ...(3)
$$

我们来证明 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 是方程组（1）的一个基础解系。
（i）先证 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 线性无关．因（利用（3）式）

$$
\begin{aligned}
& \quad k_1 \eta_1+k_2 \eta_2+\cdots+k_{n-r} \eta_{n-r}=\left(*, \cdots, *, k_1, k_2, \cdots, k_{n-r}\right)=0, \\
& \quad k_1=k_2=\cdots=k_{n-r}=0 .
\end{aligned}
$$

按定义知 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 线性无关。
（ii）设 $\eta=\left(k_1, \cdots, k_r, k_{r+1} \cdots, k_n\right)$ 为方程组（1）的任一组解，命

$$
\begin{aligned}
\eta^{\prime} & =k_{r+1} \eta_1+k_{r+2} \eta_2+\cdots+k_n \eta_{n-r} \\
& =\left(*, \cdots, *, k_{r+1}, k_{r+2}, \cdots, k_n\right)
\end{aligned}
$$

$\eta^{\prime}$ 也是方程组（1）的一组解，它与 $\eta$ 在 $x_{r+1}, \cdots, x_n$ 处取相同的值，按前面的说明（ii），$\eta=\eta^{\prime}$ 。从而

$$
\eta=k_{r+1} \eta_1+k_{r+2} \eta_2+\cdots+k_n \eta_{n-r}
$$

综合（i），（ii）即知 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_{n-r}$ 是方程组（1）的一个基础解系，它恰好包含 $n-r$ 个向量．

这个定理的证明过程实质上指出了求方程组（1）的基础解系的具体办法：只要设法找到方程组的某一组自由未知量，由它们可以唯一确定其他未知量的值，那么，轮流让某个自由未知量取值 1 ，其余取值 0 ，确定出方程组的一个解向量，这样得到方程组的一组解向量，它们就是一个基础解系。定理3．1 又指明：不管这组自由未知量如何选法，其中未知量的数目都是 $n-r$ 个。

定理 3.1 有一个明显然而重要的推论．
推论 如果齐次线性方程组系数矩阵 $A$ 的秩 $r$ 等于未知量个数 $n$ ，则它只有零解；而如果 $r<n$ ，它必有非零解．或者说，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的秩 $r$ 小于 $n$ 。

请读者注意：求方程组（1）的基础解系时，自由未知量值的选取必须遵循上面说的法则，否则求出的解向量组未必就是基础解系。

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