最后更新: 2025-09-05 09:58 查看: 95 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的行秩与列秩

由命题 2.1 和 $2.2, A$ 的行秩等于其标准形的行秩，$A$ 的列秩等于其标准形的列秩，而标准形的行秩和列秩相等．由此，我们得到如下一个重要结论：

**命题 2.3 矩阵的行秩等于列秩。**

定义 一个矩阵 $A$ 的行秩或列秩称为该矩阵的秩，记做 $\mathrm{r}(A)$ 。
因此， $\mathrm{r}(A)$ 既是 $A$ 的行向量组的极大线性无关部分组中向量的个数，也是 $A$ 的列向量组的极大线性无关部分组中向量的个数．从命题2．1和2．2可以得到矩阵秩的如下计算方法：利用初等行变换或列变换把它化为阶梯形（不必化为标准形），容易看出，阶梯形矩阵的秩就等于其阶梯数．如果要求向量组的秩，可以把它按横的方式排
成一个矩阵，也可按坚的方式排成一个矩阵，然后计算矩阵的秩就可以了。

`例2.1` 求 $K^5$ 内下面向量组的秩：

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(1,-1,0,1,1), & \alpha_2=(2,-2,0,2,2), \\
\alpha_3=(1,1,1,0,0), & \alpha_4=(2,0,1,1,1) .
\end{array}
$$

解 把它们作为行排成 $4 \times 5$ 矩阵，再用初等变换将矩阵化为阶梯形

$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1
\end{array}\right] } \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

最后阶梯形矩阵的秩为 2 ，故原矩阵秩为 2 ，因而向量组的秩也是 2 。如果再使用列初等变换，最后的阶梯矩阵又可以进一步化为如下标准形

$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$

它包含两个 1 ，秩为 2 。
`例2.2` 求 $K^4$ 内下面向量组的极大线性无关部分组：

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(2,0,1,1), & \alpha_2=(-1,-1,-1,-1) \\
\alpha_3=(1,-1,0,0), & \alpha_4=(0,-2,-1,-1)
\end{array}
$$
解 在本例中要求的是极大线性无关部分组，而不只是秩．我们采用如下办法：把这向量组作为行排成一个矩阵，同时把该向量的希腊字母写在它的右方

$$
A=\left[\begin{array}{rrrrr}
2 & 0 & 1 & 1 & \alpha_1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & \alpha_2 \\
1 & -1 & 0 & 0 & \alpha_3 \\
0 & -2 & -1 & -1 & \alpha_4
\end{array}\right] .
$$
然后对上面的矩阵做行初等变换（现在不能做列初等变换了），在这过程中右边的用希腊字母标出的向量也跟着变。这样，在变换过程中，每个行向量永远等于右边用希腊字母表示的向量．

$$
\begin{gathered}
A \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 0 & \alpha_3 \\
2 & 0 & 1 & 1 & \alpha_1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & \alpha_2 \\
0 & -2 & -1 & -1 & \alpha_4
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrcc}
1 & -1 & 0 & 0 & \alpha_3 \\
0 & 2 & 1 & 1 & \alpha_1-2 \alpha_3 \\
0 & -2 & -1 & -1 & \alpha_2+\alpha_3 \\
0 & -2-1-1 & \alpha_4
\end{array}\right] \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrrc}
1 & -1 & 0 & 0 & \alpha_3 \\
0 & 2 & 1 & 1 & \alpha_1-2 \alpha_3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \alpha_1+\alpha_2-\alpha_3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \alpha_1-2 \alpha_3+\alpha_4
\end{array}\right] .
\end{gathered}
$$

矩阵化成阶梯形后，可看出其秩为 2 ，故原向量组的秩为 2 ，其极大线性无关部分组向量个数为 2 。另一个方面，最后两个行向量为零，这表示

$$
\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0, \quad \alpha_1-2 \alpha_3+\alpha_4=0
$$

从这两个向量方程解出两个向量

$$
\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2 ; \quad \alpha_4=\alpha_1+2 \alpha_2 .
$$

于是整个向量组可被 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，因而原向量组与 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性等价。已知其秩为 2 ，那么 $\alpha_1, \alpha_2$ 的秩也是 2 ，因而它线性无关。这说明 $\alpha_1, \alpha_2$ 即为原向量组的一个极大线性无关部分组。

数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 可经初等行变换化为阶梯形矩阵 $B$ ．容易看出，如果 $B$ 的每个阶梯最左边不为 0 的数所在列分别设为 $\alpha_{i_1}^{\prime}, \alpha_{i_2}^{\prime}, \cdots, \alpha_{i_r}^{\prime}$ ，它就是 $B$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组，再由命题 2.2 的推论即得 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组．

例 2.3 求 $K^4$ 内下列向量组的一个极大线性无关部分组：

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(1,1,4,2) ; & \alpha_2=(1,-1,-2,4) ; \\
\alpha_3=(0,2,6,-2) ; & \alpha_4=(-3,-1,3,4) ; \\
\alpha_5=(-1,0,-4,-7) ; & \alpha_6=(-2,1,7,1) .
\end{array}
$$

解 把它们作为列向量排成 $4 \times 6$ 矩阵 $A$ ，再对 $A$ 作初等行变换（不能作列变换）化为阶梯形矩阵 $B$ ：
$$
A=\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
1 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\
4 & -2 & 6 & 3 & -4 & 7 \\
2 & 4 & -2 & 4 & -7 & 1
\end{array}\right] \xrightarrow{\text { 行 }}\left[\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 0 & -3 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -2 & -2 & -1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]=B
$$

$B$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组是第 $1,2,4$ 个列向量，故 $A$ 的列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6$ 的一个极大线性无关部分组是 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \alpha_4$ ．

上面所介绍的，是求一个向量组的极大线性无关部分组的一般性方法。

下面来介绍向量组的极大线性无关部分组和秩（也就是矩阵的秩）的理论在化学中的一种应用。

例 2.4 考查氨水氧化为二氧化氮的化学反应，反应式为

$$
\begin{aligned}
4 \mathrm{NH}_3+5 \mathrm{O}_2 & =4 \mathrm{NO}+6 \mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \\
4 \mathrm{NH}_3+3 \mathrm{O}_2 & =2 \mathrm{~N}_2+6 \mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \\
4 \mathrm{NH}_3+6 \mathrm{NO} & =5 \mathrm{~N}_2+6 \mathrm{H}_2 \mathrm{O}, \\
2 \mathrm{NO}+\mathrm{O}_2 & =2 \mathrm{NO}_2 \\
2 \mathrm{NO} & =\mathrm{N}_2+\mathrm{O}_2 \\
\mathrm{~N}_2+2 \mathrm{O}_2 & =2 \mathrm{NO}_2 .
\end{aligned}
$$

在化学中要求出描述此系统所需的最少独立化学反应式．
解 设在上述反应中各种物质的相对分子质量 $M_{\mathrm{r}}$ 为

$$
\begin{array}{lll}
M_{\mathrm{r}}\left(\mathrm{NH}_3\right): x_1, & M_{\mathrm{r}}\left(\mathrm{O}_2\right): x_2, & M_{\mathrm{r}}(\mathrm{NO}): x_3 \\
M_{\mathrm{r}}\left(\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\right): x_4, & M_{\mathrm{r}}\left(\mathrm{~N}_2\right): x_5, & M_{\mathrm{r}}\left(\mathrm{NO}_2\right): x_6
\end{array}
$$

那么，从上面化学反应式可得

$$
\left\{\begin{aligned}
4 x_1+5 x_2-4 x_3-6 x_4 & =0, \\
4 x_1+3 x_2-6 x_4-2 x_5 & =0, \\
4 x_1+6 x_3-6 x_4-5 x_5 & =0, \\
x_2+2 x_3 & -2 x_6=0, \\
-x_2+2 x_3-x_5 & =0, \\
2 x_2+x_5-2 x_6 & =0,
\end{aligned}\right.
$$

本题的任务不是要求解上面的齐次线性方程组，而是要弄清该
方程组中哪些方程是独立的，哪些方程可由其他方程作整系数线性组合得出。可由其余方程线性组合得出的方程认为是多余的，可以去掉。现在写出上面齐次线性方程组的系数矩阵，并设该矩阵的行向量组（每个行向量代表一个方程，亦即代表一个化学反应式）为 $\alpha_1, \alpha_2$ ， $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6$ ，现在问题是要求它的一个极大线性无关部分组，并将其余向量用它们线性表示．按例 2.2 办法计算：
 ![图片](/uploads/2025-09/3b083e.jpg)
  ![图片](/uploads/2025-09/626bed.jpg)
   ![图片](/uploads/2025-09/054dc5.jpg)
   
   
  现在知道：原矩阵秩为 $3, \alpha_1, \alpha_5, \alpha_6$ 是它的一个极大线性无关部分组，且

$$
\alpha_2=\alpha_1+2 \alpha_5, \quad \alpha_3=\alpha_1+5 \alpha_5, \quad \alpha_4=\alpha_5+\alpha_6 .
$$

这表示第一，五，六反应式是最少的一组独立反应式，第二，三，四反应式都能被它们表示出来．

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