最后更新: 2025-09-05 09:58 查看: 45 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵的行秩与列秩

由命题 2.1 和 $2.2, A$ 的行秩等于其标准形的行秩，$A$ 的列秩等于其标准形的列秩，而标准形的行秩和列秩相等．由此，我们得到如下一个重要结论：

**命题 2.3 矩阵的行秩等于列秩。**

定义 一个矩阵 $A$ 的行秩或列秩称为该矩阵的秩，记做 $\mathrm{r}(A)$ 。
因此， $\mathrm{r}(A)$ 既是 $A$ 的行向量组的极大线性无关部分组中向量的个数，也是 $A$ 的列向量组的极大线性无关部分组中向量的个数．从命题2．1和2．2可以得到矩阵秩的如下计算方法：利用初等行变换或列变换把它化为阶梯形（不必化为标准形），容易看出，阶梯形矩阵的秩就等于其阶梯数．如果要求向量组的秩，可以把它按横的方式排
成一个矩阵，也可按坚的方式排成一个矩阵，然后计算矩阵的秩就可以了。

`例2.1` 求 $K^5$ 内下面向量组的秩：

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(1,-1,0,1,1), & \alpha_2=(2,-2,0,2,2), \\
\alpha_3=(1,1,1,0,0), & \alpha_4=(2,0,1,1,1) .
\end{array}
$$

解 把它们作为行排成 $4 \times 5$ 矩阵，再用初等变换将矩阵化为阶梯形

$$
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & -2 & 0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1
\end{array}\right] } \\
\rightarrow\left[\begin{array}{rrrrr}
1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

最后阶梯形矩阵的秩为 2 ，故原矩阵秩为 2 ，因而向量组的秩也是 2 。如果再使用列初等变换，最后的阶梯矩阵又可以进一步化为如下标准形

$$
\left[\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
$$

它包含两个 1 ，秩为 2 。
`例2.2` 求 $K^4$ 内下面向量组的极大线性无关部分组：

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(2,0,1,1), & \alpha_2=(-1,-1,-1,-1) \\
\alpha_3=(1,-1,0,0), & \alpha_4=(0,-2,-1,-1)
\end{array}
$$
解 在本例中要求的是极大线性无关部分组，而不只是秩．我们采用如下办法：把这向量组作为行排成一个矩阵，同时把该向量的希腊字母写在它的右方

$$
A=\left[\begin{array}{rrrrr}
2 & 0 & 1 & 1 & \alpha_1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & \alpha_2 \\
1 & -1 & 0 & 0 & \alpha_3 \\
0 & -2 & -1 & -1 & \alpha_4
\end{array}\right] .
$$
然后对上面的矩阵做行初

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