最后更新: 2025-09-09 09:48 查看: 78 次纠错评论(0) 课件开VIP

矩阵的秩

## 矩 阵 的 秩

> 此为数学系的《高等代数》里对矩阵秩的定义，非数学系请参考 《线性代数》里矩阵秩的定义，矩阵的秩反应的是方程有效的个数，详见 [线性代数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=212)

在上一节中，我们在数域 $K$ 上线性方程组和 $K$ 上 $m$ 维向量空间之间建立了联系，并讨论了 $m$ 维向量空间的一些基本概念和性质。下面我们把它们再应用到线性方程组理论中去。我们知道，一个线性方程组可以用一个矩阵来代表，因此，我们把矩阵当作一个中间桥梁．首先把上一节的结果应用于矩阵，然后再把在矩阵中所获得的结果应用于线性方程组。

给定数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$
它的每一列可以看做是一个 $m$ 维向量，它有 $n$ 个列，组成一个 $m$ 维向量组，我们称之为矩阵 $A$ 的列向量组．同样，它的每一行可以看做一个 $n$ 维向量，它有 $m$ 个行，组成一个 $n$ 维向量组，我们称之为矩阵 $A$ 的行向量组．

定义 一个矩阵 $A$ 的行向量组的秩称为 $A$ 的行秩，它的列向量组的秩称为 $A$ 的的列秩．

设由（1）式给出的矩阵 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$（用坚排的形式写出），我们可把 $A$ 简单地写成

$$
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right),
$$

当它的行向量组用 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$（写成横的一行的形式）表示时，我们可以把 $A$ 简单写成

$$
A=\left[\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_m
\end{array}\right] .
$$
矩阵 $A$ 的行向量组属于 $K^n$ ，而列向量组属于 $K^m$ ，是两个不同的向量空间（当 $m \neq n$ 时）．但它们的分量却同由 $A$ 的 $m n$ 个元素 $a_{i j}$ 组成。由此可以推断其行向量组与列向量组的秩之间应当存在某种联系，但这个联系现在隐藏在一大堆数据（即 $A$ 的 $m n$ 个元素）后面，我们看不清楚。为了让这一较为深入的客观联系显露出来，我们需要对 $A$ 做简化工作，把复杂的矩阵 $A$ 简化成一个很简单的形式，从而使其行向量组与列向量组的秩之间的联系水落石出。

在第一章§3求解一个复杂的线性方程组时，我们使用初等变换把它化为简单的阶梯形方程组，后者的解立即可以求出。现在，我们也对矩阵使用同样的办法给以简化，使简化后的矩阵其行秩与列秩的关系立即可以看出。

定义 对数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的行（列）作如下变换：
（i）互换两行（列）的位置；
（ii）把某一行（列）乘以 $K$ 内一个非零常数 $c$ ；
（iii）把第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $k$ 倍，这里 $k \in K$ 且 $i \neq j$ 。上述三种变换中的每一种都称为矩阵 $A$ 的初等行（列）变换。
如果把矩阵 $A$ 看做某个线性方程组的增广矩阵，那么它的行变换与方程组的初等变换一致。但解方程组时不允许做初等列变换，而矩阵本身可以做初等列变换。

注意矩阵的初等行（列）变换都是可逆的。因为：
1）如 $A$ 经过互换 $i, j$ 两行（列）变成矩阵 $B$ ，则 $B$ 经互换 $i, j$ 两行（列）就变回矩阵 $A$ ；

2）如 $A$ 第 $i$ 行（列）乘以非零常数 $c$ 后变为矩阵 $B$ ，则 $B$ 的第 $i$行（列）乘以 $1 / c$ 即变回矩阵 $A$ ；

3）如 $A$ 的第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $k$ 倍后变成矩阵 $B$ ，则 $B$ 的第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $-k$ 倍后即变回矩阵 $A$ 。

由此可知：如果矩阵 $A$ 经过若干次初等行、列变换化为矩阵 $B$ ，则 $B$ 也可经过若干次初等行、列变换化为矩阵 $A$ ．

在第一章§3已证明：线性方程组作初等变换时，所得方程组与原方程组同解，所以只需解最后的阶梯形方程组，就求得原方程组的解。现在我们同样必须证明一个矩阵 $A$ 作初等行或列变换时，其行秩和列秩都保持不变．这样只需讨论化简后的矩阵的行秩、列秩的关系就可以知道原矩阵的行秩、列秩的关系了。下面分别证明 $A$ 的行秩、列秩在初等行及列变换下都保持不变．

> **命题 2.1 矩阵 $A$ 的行秩在初等行变换下保持不变；矩阵 $A$ 的列秩在初等列变换下也保持不变。**

证 只证行秩在初等行变换下不变，列秩的证法相同，不必重复．

设 $A$ 的行向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ ．
（i）互换 $A$ 的 $i, j$ 两行相当于把 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中 $\alpha_i$ 与 $\alpha_j$ 两向量调换一下位置，所得新向量组显然与原向量组线性等价；
（ii）把 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $c \neq 0$ ，所得新矩阵的行向量组为 $\alpha_1, \cdots$ ， $c \alpha_i, \cdots, \alpha_m$ ．因为

$$
\alpha_i=\frac{1}{c} \cdot\left(c \alpha_i\right), \quad\left(c \alpha_i\right)=c \cdot \alpha_i
$$

故新向量组与原向量组能互相线性表示，即线性等价；
（iii）把 $A$ 的第 $j$ 行加上第 $i$ 行的 $k$ 倍后，所得新矩阵的行向量
组为

$$
\alpha_1, \cdots, \alpha_i, \cdots, \alpha_j+k \alpha_i, \cdots, \alpha_m
$$

（凡未写出的都与原来相同）．因为

$$
\begin{gathered}
\alpha_j=\left(\alpha_j+k \alpha_i\right)+(-k) \cdot \alpha_i \\
\quad\left(\alpha_j+k \alpha_i\right)=\alpha_j+k \cdot \alpha_i
\end{gathered}
$$

故新向量组与原向量组能互相线性表示，即线性等价．
根据命题1．5的推论2，线性等价的向量组的秩相同，故矩阵 $A$经过一次初等行变换后其行秩不变。那么，经过任何次初等行变换后行秩也不会变化。

在进一步讨论之前，先介绍一个概念。把矩阵 $A$ 的行与列互换之后，得到一个 $n \times m$ 矩阵

$$
A^{\prime}=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m 1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m 2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$

$A^{\prime}$ 称为矩阵 $A$ 的转置矩阵。在本书中，我们固定用 $A^{\prime}$ 表示矩阵 $A$ 的转置矩阵，下面不再重复说明．注意 $A^{\prime}$ 中元素的下角标不再代表它所在的位置．
例如，设

$$
A=\left[\begin{array}{rrrrr}
-1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\
2 & 4 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 2
\end{array}\right],
$$

则其转置矩阵为

$$
A^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
3 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 2
\end{array}\right] .
$$

因为矩阵 $A$ 的行向量组变成 $A^{\prime}$ 的列向量组，所以 $A$ 的行秩等于 $A^{\prime}$ 的列秩。同样，$A$ 的列向量组变成 $A^{\prime}$ 的行向量组，所以 $A$ 的列秩等于 $A^{\prime}$ 的行秩．
命题 2.2 矩阵 $A$ 的行秩在初等列变换下保持不变；矩阵 $A$ 的列秩在初等行变换下也保持不变。

证 分两步证明．
1）先证 $A$ 的列秩在初等行变换下保持不变。设 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，其列秩为 $r$ 。不妨设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 为列向量组的一个极大线性无关部分组。假定 $A$ 经初等行变换后所得新矩阵的列向量组为 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_n^{\prime}$ ，我们只要证 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 是它的一个极大线性无关部分组就可以了。
（i）先证 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 线性无关。以 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 为列向量排成一矩阵 $B$ 。因 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关，故以 $B$ 为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解；另一方面，以 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 为列向量排成矩阵 $B_1$ ，因为 $B$ 由 $A$ 的前 $r$ 列组成，对 $A$ 作行变换也就对 $B$ 作同样的行变换，即 $B_1$ 是 $B$ 经初等行变换得到。由第一章命题3．1，以 $B_1$ 为系数矩阵的齐次线性方程组和以 $B$ 为系数矩阵的齐次线性方程组同解，因而也只有零解。故 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 线性无关。
（ii）再证任一 $\alpha_i^{\prime}$ 可被 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 线性表示。为此，考查以 $\alpha_1$ ， $\alpha_2, \cdots, \alpha_r, \alpha_i$ 为列向量组的矩阵 $\bar{B}$ 。因 $\alpha_i$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示，故以 $\bar{B}$ 为增广矩阵的线性方程组有解；另一方面，以 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}, \alpha_i^{\prime}$为列向量组的矩阵 $\bar{B}_1$ 可由 $\bar{B}$ 经初等行变换得到。由第一章命题 3．1，以 $\bar{B}_1$ 为增广矩阵的线性方程组和以 $\bar{B}$ 为增广矩阵的线性方程
组同解，因而也是有解的．这说明 $\alpha_i^{\prime}$ 可被 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}, \cdots, \alpha_r^{\prime}$ 线性表示．
2）现在证 $A$ 的行秩在初等列变换下不变。为此考查 $A^{\prime} . A$ 的列向量组是 $A^{\prime}$ 的行向量组，对 $A$ 做初等列变换等价于对 $A^{\prime}$ 做初等行变换。这可图示如下（设 $A$ 经初等列变换后化为 $B$ ）：
 ![图片](/uploads/2025-09/28803e.jpg)
根据 1），$A^{\prime}$ 的列秩在初等行变换下不变。于是我们有：$A$ 的行秩 $= A^{\prime}$ 的列秩 $=B^{\prime}$ 的列秩 $=B$ 的行秩。这说明 $A$ 的行秩在初等列变换下不变． I

推论 设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$A$ 经若干次初等行变换化为矩阵 $B$ ．设 $A$ 的列向量组是 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, B$ 的列向量组是 $\alpha_1^{\prime}, \alpha_2^{\prime}$ ， $\cdots, \alpha_n^{\prime}$ ．我们有如下结论：
（i）如果 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组，则 $\alpha_{i_1}^{\prime}, \alpha_{i_2}^{\prime}, \cdots, \alpha_{i_r}^{\prime}$ 是 $B$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组．而且，当

$$
\alpha_i=k_1 \alpha_{i_1}+k_2 \alpha_{i_2}+\cdots+k_r \alpha_{i_r}
$$

时，有 $\alpha_i^{\prime}=k_1 \alpha_{i_1}^{\prime}+k_2 \alpha_{i_2}^{\prime}+\cdots+k_r \alpha_{i_r}^{\prime}$ ．
（ii）如果 $\alpha_{i_1}^{\prime}, \alpha_{i_2}^{\prime}, \cdots, \alpha_{i_r}^{\prime}$ 是 $B$ 的列向量的一个极大线性无关部分组，则 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关部分组。而且，当

$$
\alpha_i^{\prime}=k_1 \alpha_{i_1}^{\prime}+k_2 \alpha_{i_2}^{\prime}+\cdots+k_r \alpha_{i_r}^{\prime}
$$

时，有 $\alpha_i=k_1 \alpha_{i_1}+k_2 \alpha_{i_2}+\cdots+k_r \alpha_{i_r}$ ．
证 命题 2.2 证明的第 1）部分就是此推论的第 1 个结论．由于初等变换是可逆的，故 $B$ 也可经若干次初等行变换化为 $A$ ，于是本推论的第 2 个结论也成立。

综合命题 2.1 和 2.2 ，矩阵 $A$ 的行秩在行和列的初等变换下都保持不变，其列秩也有同样的性质．我们来看一看，同时对 $A$ 做行和列的初等变换能把它变成什么样子。

如果一个 $m \times n$ 矩阵其所有元素都是 0 ，则称为零矩阵，记做 0.显然，零矩阵的行秩 $=$ 列秩 $=0$ ．下面设 $A \neq 0$ ．

1）在矩阵 $A$ 中，如果 $a_{11}=0$ ，我们就在矩阵中找一个不为零的元素，设为 $a_{i j}$ 。先对换 $1, i$ 两行，再对换 $1, j$ 两列，这就把 $a_{i j}$ 调换到第 1 行第 1 列的位置上．所以我们总可以假定 $a_{11} \neq 0$ ．

2）若 $a_{11} \neq 0$ ，利用初等行变换把 $A$ 变成如下形状

$$
A \rightarrow\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
0 & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & b_{m 2} & \cdots & b_{m n}
\end{array}\right]
$$

然后再利用初等列变换把 $A$ 进一步变为
 ![图片](/uploads/2025-09/95ccac.jpg)
 如此继续对右下角的 $(m-1) \times(n-1)$ 矩阵重复上述步骤．
经过连续施行上述初等行、列变换之后，矩阵 $A$ 可变成下列三种阶梯形之一
 ![图片](/uploads/2025-09/20e998.jpg)
 上述三种阶梯形矩阵称为 $A$ 的标准形．设标准形中 1 的个数为 $r$ ，则标准形的行秩和列秩都是 $r$ 。这是因为：它的前 $r$ 个行向量即为其行向量组的极大线性无关部分组；它的前 $r$ 个列向量也是其列向量组的极大线性无关部分组．

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