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矩阵的秩

## 矩 阵 的 秩

> 此为数学系的《高等代数》里对矩阵秩的定义，非数学系请参考 《线性代数》里矩阵秩的定义，矩阵的秩反应的是方程有效的个数，详见 [线性代数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=212)

在上一节中，我们在数域 $K$ 上线性方程组和 $K$ 上 $m$ 维向量空间之间建立了联系，并讨论了 $m$ 维向量空间的一些基本概念和性质。下面我们把它们再应用到线性方程组理论中去。我们知道，一个线性方程组可以用一个矩阵来代表，因此，我们把矩阵当作一个中间桥梁．首先把上一节的结果应用于矩阵，然后再把在矩阵中所获得的结果应用于线性方程组。

给定数域 $K$ 上一个 $m \times n$ 矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right],
$$
它的每一列可以看做是一个 $m$ 维向量，它有 $n$ 个列，组成一个 $m$ 维向量组，我们称之为矩阵 $A$ 的列向量组．同样，它的每一行可以看做一个 $n$ 维向量，它有 $m$ 个行，组成一个 $n$ 维向量组，我们称之为矩阵 $A$ 的行向量组．

定义 一个矩阵 $A$ 的行向量组的秩称为 $A$ 的行秩，它的列向量组的秩称为 $A$ 的的列秩．

设由（1）式给出的矩阵 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$（用坚排的形式写出），我们可把 $A$ 简单地写成

$$
A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right),
$$

当它的行向量组用 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m$（写成横的一行的形式）表示时，我们可以把 $A$ 简单写成

$$
A=\left[\begin{array}{c}
\beta_1 \\
\beta_2 \\
\vdots \\
\beta_m
\end{array}\right] .
$$
矩阵 $A$ 的行向量组属于 $K^n$ ，而列向量组属于 $K^m$ ，是两个不同的向量空间（当 $m \neq n$ 时）．但它们的分量却同由 $A$ 的 $m n$ 个元素 $a_{i j}$ 组成。由此可以推断其行向量组与列向量组的秩之间应当存在某种联系，但这个联系现在隐藏在一大堆数据（即 $A$ 的 $m n$ 个元素）后面，我们看不清楚。为了让这一较为深入的客观联系显露出来，我们需要对 $A$ 做简化工作，把复杂的矩阵 $A$ 简化成一个很简单的形式，从而使其行向量组与列向量组的秩之间的联系水落石出。

在第一章§3求解一个复杂的线性方程组时，我们使用初等变换把它化为简单的阶梯形方程组，后者的解立即可以求出。现在，我们也对矩阵使用同样的办法给以简化，使简化后的矩阵其行秩与列秩的关系立即可以看出。

定义 对数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的行（列）作如下变换：
（i）互换两行（列）的位置；
（ii）把某一行（列）乘以 $K$ 内一个非零常数 $c$ ；
（iii）把第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $k$ 倍，这里 $k \in K$ 且 $i \neq j$ 。上述三种变换中的每一种都称为矩阵 $A$ 的初等行（列）变换。
如果把矩阵 $A$ 看做某个线性方程组的增广矩阵，那么它的行变换与方程组的初等变换一致。但解方程组时不允许做初等列变换，而矩阵本身可以做初等列变换。

注意矩阵的初等行（列）变换都是可逆的。因为：
1）如 $A$ 经过互换 $i, j$ 两行（列）变成矩阵 $B$ ，则 $B$ 经互换 $i, j$ 两行（列）就变回矩阵 $A$ ；

2）如 $A$ 第 $i$ 行（列）乘以非零常数 $c$ 后变为矩阵 $B$ ，则 $B$ 的第 $i$行（列）乘以 $1 / c$ 即变回矩阵 $A$ ；

3）如 $A$ 的第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $k$ 倍后变成矩阵 $B$ ，则 $B$ 的第 $j$ 行（列）加上第 $i$ 行（列）的 $-k$ 倍后即变回矩阵 $A$ 。

由此可知：如果矩阵 $A$ 经过若干次初等行、列变换化为矩阵 $B$ ，则 $B$ 也可经过若干次初等行、列变换化为矩阵 $A$ ．

在第一章§3已证明：线性方程组作初等变换时，所得方程组与原方程组同解，所以只需解最后的阶梯形方程组，就求得原方程组的解。现在我们同样必须证明一个矩阵 $A$ 作初等行或列变换时，其行秩和列秩都保持不变．这样只需讨论化简后的矩阵的行秩、列秩的关系就可以知道原矩阵的行秩、列秩的关系了。下面分别证明 $A$ 的行秩、列秩在初等行及列变换下都保持不变．

> **命题 2.1 矩阵 $A$ 的行秩在初等行变换下保持不变；矩阵 $A$ 的列秩在初等列变换下也保持不变。**

证 只证行秩在初等行变换下不变，列秩的证法相同，不

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