最后更新: 2025-09-05 09:50 查看: 71 次纠错评论(0) 课件开VIP

集合内的等价关系

## 3．集合内的等价关系
设 $A$ 是一个非空的集合．如果在 $A$ 的元素之间定义了一种关系，记做＂～＂，满足如下条件：
（i）反身性：对任意 $a \in A$ ，有 $a \sim a$ ；
（ii）对称性：若 $a \sim b$ ，则 $b \sim a$ ；
（iii）传递性：若 $a \sim b, b \sim c$ ，则 $a \sim c$ ，则称此关系为 $A$ 内的一个等价关系。

例如，在平面上全体三角形组成的集合中，＂相似＂是一个等价关系．这是因为：任一三角形与自己相似（反身性）；若 $\triangle A B C$ 相似于 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，则 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 相似于 $\triangle A B C$（对称性）；若 $\triangle A B C$ 相似于 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 又相似于 $\triangle A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ ，则 $\triangle A B C$ 相似于 $\triangle A^{\prime \prime} B^{\prime \prime} C^{\prime \prime}$ （传递性）。显然，在三角形集合中，＂全等＂也是一个等价关系。又例如，在整数集合中，＂两个数的差是 3 的倍数＂具有上述三条性质：以 $a, b, c$ 表示任意三个整数，则 $a-a=0=0 \times 3$（反身性）；$a-b=m \times 3$ （ $m$ 为整数），则 $b-a=(-m) \times 3$（对称性）；$a-b=m \times 3, b-c=$
$n \times 3$ ，则 $a-c=(m+n) \times 3$（传递性）．再例如：$n$ 元线性方程组构成的集合中，＂同解＂是一个等价关系。

与等价关系密切相关的是等价类的概念。确切地说，设 $S$ 是一个集合，＂～＂是 $S$ 中的任一等价关系，$a$ 为 $S$ 的任一元素，则把 $S$ 中与 $a$ 等价的所有元素构成的子集合称为 $a$ 所在的等价类。如果用 $\bar{a}$表示 $a$ 所在的等价类，即有

$$
\bar{a}=\{s \in S \mid s \sim a\} .
$$

一个简单的事实是：
$a \sim b$ 的充分必要条件是 $\bar{a}=\bar{b} \quad(\forall a, b \in S)$.
我们先说明必要性．设 $a \sim b$ ，则对任一 $s \in \bar{a}$ ，由等价类的定义，有 $s \sim a$ 。而 $a \sim b$ ，由传递性，有 $s \sim b$ ，此即 $s \in \bar{b}$ ，所以 $\bar{a} \subseteq \bar{b}$ 。反之，由等价关系的对称性，有 $b \sim a$ 。由同样的推理得知 $\bar{b} \subseteq \bar{a}$ 。所以 $\bar{a}=\bar{b}$ 。再说明充分性．设 $\bar{a}=\bar{b}$ ，由等价类的定义立即得到 $a \in \bar{a}=\bar{b}$ ，进而 $a \sim b$ ．这就完成了上述事实的证明。

等价关系的重要性在于：对于任一集合 $S$ 中的任一给定的等价关系，$S$ 等于所有等价类的并集，而且不同的等价类没有公共元素。换句话说，$S$ 等于所有等价类的无交并。这是因为：$S$ 显然包含所有等价类的并集；而 $S$ 中任一元素都属于它所在的等价类，所以 $S$ 含于所有等价类的并集．这就证明了 $S$ 等于所有等价类的并集．再有，
如果等价类 $\bar{a}$ 与 $\bar{b}$ 有公共元素 $c$ ，则由上面刚刚证明的事实知， $\bar{a}=\bar{c} =\bar{b}$ 。这说明：如果 $\bar{a} \neq \bar{b}$ ，则 $\bar{a}$ 与 $\bar{b}$ 必无公共元素。

数学中的一个重要方法是：为了研究某个集合的某一问题，在此集合中引入相应的等价关系，然后寻求各等价类中形式最简单、性质最好的元素，从而使问题的研究得以简化。例如，本节刚刚引入的线性等价是 $m$ 维向量组构成的集合中的一个等价关系（注意：此集合中的每个元素都是一个向量组，而不是单个的向量）。上面定义的＂极大线性无关部分组＂就是相应于这个等价关系的等价类中最简单的元素．数学中的这个研究方法将在本书以下各章中反复地得到体现．

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