最后更新: 2025-09-05 09:50 查看: 46 次纠错评论(0) 课件开VIP

向量组的秩

## 向量组的秩
在一个向量组中，如果有一个向量可被其余向量线性表示，那么，在一定意义下，用其余向量就可以代表它，因而在许多情况下，把这样的向量去掉是无关大局的．为了把这种想法严格地表达清楚，我们先引进一个概念。

定义 给定 $K^m$ 内两个向量组

$$
\begin{array}{llll}
\alpha_1, & \alpha_2, & \cdots, & \alpha_r,   ...(I)\\
\beta_1, & \beta_2, & \cdots, & \beta_s ...(II)
\end{array}
$$

如果向量组（II）中每一个向量都能被向量组（I）线性表示，反过来，向量组（I）中每个向量也都能被向量组（II）线性表示，则称向量组（I）和向量组（II）**线性等价**。

`例1.8` 给定 $K^m$ 内两个向量组

$$
\begin{array}{r}
\alpha, \alpha, \beta, ...(I) \\
\alpha, \beta, ...(II)
\end{array}
$$

则（I）与（II）线性等价．这是因为：
（i）（II）中每个向量能被（1）线性表示：

$$
\begin{aligned}
& \alpha=1 \cdot \alpha+0 \cdot \alpha+0 \cdot \beta ; \\
& \beta=0 \cdot \alpha+0 \cdot \alpha+1 \cdot \beta .
\end{aligned}
$$

（ii）（I）中每个向量也能被（II）线性表示：

$$
\alpha=1 \cdot \alpha+0 \cdot \beta ; \quad \beta=0 \cdot \alpha+1 \cdot \beta .
$$

在上述例子中，（II）实际上是（I）的一个部分组，是剔除（I）中的 ＂多余＂向量所得到的．这个简单的例子说明引入向量组线性等价概念的重要意义。因为给定一个向量组，其中很可能包含有＂多余＂的向量。于是，我们自然就想把这些＂多余＂的向量剔除掉，也就是设法用一个与它线性等价的部分组来取代它，而这个部分组中不再包含有 ＂多余＂的向量．这就是本段落所要解决的问题．

为说明向量组线性等价概念的基本性质，我们先来证明一个命题。

> 命题13 给定 $K^m$ 内两个向量组
$$
\begin{array}{lll}
\alpha_1, & \alpha_2, & \cdots, \\
\beta_1, & \beta_2, & \cdots,
\end{array}
$$
且（II）中每一个向量 $\beta_i$ 均能被向量组（I）线性表示。那么，当向量 $\gamma$可被向量组（II）线性表示时，它也就能被向量组（I）线性表示。

证 设 $\gamma=l_1 \beta_1+l_2 \beta_2+\cdots+l_s \beta_s$ ．又设
$$
\begin{gathered}
\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 r} \alpha_r, \\
\beta_2=k_{21} \alpha_1+k_{22} \alpha_2+\cdots+k_{2 r} \alpha_r, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\beta_s=k_{s 1} \alpha_1+k_{s 2} \alpha_2+\cdots+k_{s r} \alpha_r .
\end{gathered}
$$

以 $l_1, l_2, \cdots, l_s$ 分别乘上面的第 $1,2, \cdots, s$ 个等式，然后相加起来，得

$$
\begin{aligned}
\gamma=\sum_{i=1}^s l_i \beta_i= & \left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i 1}\right) \alpha_1+\left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i 2}\right) \alpha_2+\cdots \\
& +\left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i s}\right) \alpha_r
\end{aligned}
$$

即 $\gamma$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示。
向量组线性等价的概念具有下列三条基本性质：
1）反身性：每个向量组和它自身线性等价；
2）对称性：如果（I）和（II）线性等价，则（I）与（I）线性等价；
3）传递性：如果（I）和（II）线性等价，（II）和（II）线性等价，则（I）和（III）线性等价。

性质1），2）是显然的。性质3）可由命题1．3推得：因（III）中每个向量能被（II）线性表示，（II）又被（I）线性表示，故（II）中每个向量能被 （I）线性表示。反之，按同样理由，（I）中每个向量也能被（III）线性表示，故（I）与（III）线性等价．
下面给出本段落的主要概念．
定义 给定 $K^m$ 内向量组

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s,
$$

如果它的一个部分组

$$
\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r}
$$

满足如下两个条件：
（i）向量组（I）中每个向量都能被（I）线性表示；
（ii）向量组（II）线性无关，则称向量组（II）是向量组（I）的极大线性无关部分组．

显然，上面定义中的向量组（I）和（I）是线性等价的。因为：（II）是（I）的部分组，（I）中每个向量当然都能被（I）线性表示，而条件（i）
又保证了（I）中每个向量都能被（II）线性表示．所以，一个向量组的极大线性无关部分组的实质是：从原向量组中挑出一部分来组成一个新向量组，使新向量组与原向量组线性等价，从而在一定意义下可用新向量组来代表原向量组。另一方面，新向量组线性无关，即其中没有＂多余＂的向量（因为这时其中任一向量都不能被其余向量线性表示，因而这些向量互相之间没有依赖关系，是互相＂独立＂的）。

例1．9 给定向量组

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(1,0,0), & \alpha_2=(0,1,0) \\
\alpha_3=(0,0,1), & \alpha_4=(1,1,1) \\
\alpha_5=(1,1,0) &
\end{array}
$$

则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是它的一个极大线性无关部分组．因为：
（i）所给向量组能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出

$$
\begin{aligned}
& \alpha_1=1 \cdot \alpha_1+0 \cdot \alpha_2+0 \cdot \alpha_3 \\
& \alpha_2=0 \cdot \alpha_1+1 \cdot \alpha_2+0 \cdot \alpha_3 \\
& \alpha_3=0 \cdot \alpha_1+0 \cdot \alpha_2+1 \cdot \alpha_3 \\
& \alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3 \\
& \alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+0 \cdot \alpha_3
\end{aligned}
$$

（ii）$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，这从本节例 1.7 即知．
请读者自己验证：向量组 $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$ 也是它的一个极大线性无关部分组．由此可知，一个向量组的极大线性无关部分组不是唯一的．于是产生了一个问题：同一个向量组的不同的极大线性无关部分组中向量的个数是不是总是一样多呢？下面来回答这个问题．先证明几个命题。

**命题1.4** 给定 $K^m$ 内两个向量组

$$
\begin{array}{llll}
\alpha_1, & \alpha_2, & \cdots, & \alpha_r, \\
\beta_1, & \beta_2, & \cdots, & \beta_s,
\end{array}
$$

如果向量组（I）中每个向量都能被（II）线性表示，且 $r>s$ ，则向量组 （I）线性相关。

证 设
$$
\begin{gathered}
\alpha_1=a_{11} \beta_1+a_{12} \beta_2+\cdots+a_{1 s} \beta_s, \\
\alpha_2=a_{21} \beta_1+a_{22} \beta_2+\cdots+a_{2 s} \beta_s, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\alpha_r=a_{r 1} \beta_1+a_{r 2} \beta_2+\cdots+a_{r s} \beta_s .
\end{gathered}
$$

分别用 $x_1, \cdots, x_2, x_r$ 乘上面第 $1,2, \cdots, r$ 个等式，然后相加，得

$$
\sum_{m=1}^r x_m \alpha_m=\left(\sum_{m=1}^r a_{m 1} x_m\right) \beta_1+\left(\sum_{m=1}^r a_{m 2} x_m\right) \beta_2+\cdots+\left(\sum_{m=1}^r a_{m s} x_m\right) \beta_s .
$$

考查齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{m=1}^r a_{m 1} x_m=a_{11} x_1+a_{21} x_2+\cdots+a_{r 1} x_r=0, \\
\sum_{m=1}^r a_{m 2} x_m=a_{12} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{r 2} x_r=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\sum_{m=1}^r a_{m s} x_m=a_{1 s} x_1+a_{2 s} x_2+\cdots+a_{r s} x_r=0,
\end{array}\right.
$$

它有 $s$ 个方程，$r$ 个未知量，因为 $s<r$ ，由第一章命题 3.2 ，它在 $K$ 内必有一组非零解

$$
x_1=k_1, \quad x_2=k_2, \quad \cdots, \quad x_r=k_r .
$$
此时有

$$
\sum_{m=1}^r k_m \alpha_m=k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_r \alpha_r=0
$$

故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性相关．
命题1．5 给定 $K^m$ 内向量组

$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s,
$$

设它的某一个极大线性无关部分组为

$$
\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r},
$$

又有另一个向量组

$$
\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t,
$$

设它的某一个极大线性无关部分组为

$$
\beta_{j_1}, \beta_{j_2}, \cdots, \beta_{j_i} .
$$
如果（I）与（I）线性等价，则 $r=l$ ．
证 因为（I＇）与（I）线性等价，（I）与（II）线性等价，（II）与（II）线性等价，由线性等价关系的传递性知，（I＇）与（I＇）线性等价。（I＇）可被 （ $\mathrm{I}^{\prime}$ ）线性表示且（ $\mathrm{I}^{\prime}$ ）线性无关，由命题1．4知 $r \leqslant l$ 。反过来，（I＇）又被 （ $\mathrm{I}^{\prime}$ ）线性表示，（ $\mathbb{I}^{\prime}$ ）也是线性无关的，故 $l \leqslant r$ 。由此即得 $r=l$ 。

> 推论1 一个向量组的任意两个极大线性无关部分组中包含的向量个数相同．

证 在命题1．5中，取（I）与（II）为同一向量组即可。
由推论 1 ，可给出如下重要概念。

> **定义 一个向量组的极大线性无关部分组中包含的向量个数称为该向量组的秩．全由零向量组成的向量组的秩为零．**

例1.9 所给的向量组的秩为 3 。

**推论2 两个线性等价的向量组的秩相等。**

在本节的最后，我们再来指出一个重要的事实：如果检查一下上面几个命题的证明过程，不难看出，它们只以命题1．1为基础，而不依赖于向量的具体坐标表达式。由于这一点，使得我们有可能对 $m$维向量空间的概念从理论上进一步抽象化．我们将在第四章中来做这个工作。

下面来介绍求一个向量组的极大线性无关部分组的篮选法．

## 极大线性无关组的构造

命题1.6 给定 $K^m$ 内向量组
$$
\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n ...(I)
$$
其中 $\alpha_1 \neq 0$ ．对（I）作如下筛选：首先，$\alpha_1$ 保持不动．若 $\alpha_2$ 可被 $\alpha_1$ 线性表示，则去掉 $\alpha_2$ ，否则保留 $\alpha_2$ 。继续这一筛选，一般说，若 $\alpha_i$ 可被前面保留下来的向量线性表示，就去掉 $\alpha_i$ ，否则保留 $\alpha_i$ 。经 $n$ 次筛选后，设最后保留下来的向量组是

$$
\alpha_{i_1}=\alpha_1, \alpha_{i_2}, \cdots, \alpha_{i_r} . ...(II)
$$

则（II）为（I）的一个极大线性无关部分组。
证 先证（II）线性无关．设有

$$
k_1 \alpha_{i_1}+k_2 \alpha_{i_2}+\cdots+k_r \alpha_{i_r}=0
$$

若 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ 不全为 0 ，设自右至左第一个不为 0 的是 $k_s$ ，即 $k_{s+1}=$
$\cdots=k_r=0$ ，因 $\alpha_1 \neq 0$ ，故 $s>1$（若 $s=1$ ，则 $k_1 \alpha_1=0$ ，矛盾）．于是

$$
k_1 \alpha_{i_1}+\cdots+k_{s-1} \alpha_{i_{s-1}}+k_s \alpha_{i_s}=0
$$

移项后得

$$
\alpha_{i_s}=-\frac{k_1}{k_s} \alpha_{i_1}-\cdots-\frac{k_{s-1}}{k_s} \alpha_{i_{s-1}} .
$$

这说明 $\alpha_{i_s}$ 可被前面保留下来的向量线性表示，这与筛选法矛盾．故必有 $k_1=k_2=\cdots=k_r=0$ ，即（II）线性无关。
（I）中不属于（II）的向量都是篮选中被去掉的向量，即能被（II）中前若干向量线性表示的向量，从而可被（II）线性表示（令其余向量前面系数取 0 ）。

综合上述两方面的论述，即知（II）为（I）的一个极大线性无关部分组．

命题1．6表明，如果一个向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中至少包含一个非零向量（我们可以重排其次序，使非零向量排在最前面），此时其极大线性无关部分组必存在，故其秩 $\geqslant 1$ ．

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