最后更新: 2025-09-05 09:50 查看: 24 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量组的秩

## 向量组的秩
在一个向量组中，如果有一个向量可被其余向量线性表示，那么，在一定意义下，用其余向量就可以代表它，因而在许多情况下，把这样的向量去掉是无关大局的．为了把这种想法严格地表达清楚，我们先引进一个概念。

定义 给定 $K^m$ 内两个向量组

$$
\begin{array}{llll}
\alpha_1, & \alpha_2, & \cdots, & \alpha_r,   ...(I)\\
\beta_1, & \beta_2, & \cdots, & \beta_s ...(II)
\end{array}
$$

如果向量组（II）中每一个向量都能被向量组（I）线性表示，反过来，向量组（I）中每个向量也都能被向量组（II）线性表示，则称向量组（I）和向量组（II）**线性等价**。

`例1.8` 给定 $K^m$ 内两个向量组

$$
\begin{array}{r}
\alpha, \alpha, \beta, ...(I) \\
\alpha, \beta, ...(II)
\end{array}
$$

则（I）与（II）线性等价．这是因为：
（i）（II）中每个向量能被（1）线性表示：

$$
\begin{aligned}
& \alpha=1 \cdot \alpha+0 \cdot \alpha+0 \cdot \beta ; \\
& \beta=0 \cdot \alpha+0 \cdot \alpha+1 \cdot \beta .
\end{aligned}
$$

（ii）（I）中每个向量也能被（II）线性表示：

$$
\alpha=1 \cdot \alpha+0 \cdot \beta ; \quad \beta=0 \cdot \alpha+1 \cdot \beta .
$$

在上述例子中，（II）实际上是（I）的一个部分组，是剔除（I）中的 ＂多余＂向量所得到的．这个简单的例子说明引入向量组线性等价概念的重要意义。因为给定一个向量组，其中很可能包含有＂多余＂的向量。于是，我们自然就想把这些＂多余＂的向量剔除掉，也就是设法用一个与它线性等价的部分组来取代它，而这个部分组中不再包含有 ＂多余＂的向量．这就是本段落所要解决的问题．

为说明向量组线性等价概念的基本性质，我们先来证明一个命题。

> 命题13 给定 $K^m$ 内两个向量组
$$
\begin{array}{lll}
\alpha_1, & \alpha_2, & \cdots, \\
\beta_1, & \beta_2, & \cdots,
\end{array}
$$
且（II）中每一个向量 $\beta_i$ 均能被向量组（I）线性表示。那么，当向量 $\gamma$可被向量组（II）线性表示时，它也就能被向量组（I）线性表示。

证 设 $\gamma=l_1 \beta_1+l_2 \beta_2+\cdots+l_s \beta_s$ ．又设
$$
\begin{gathered}
\beta_1=k_{11} \alpha_1+k_{12} \alpha_2+\cdots+k_{1 r} \alpha_r, \\
\beta_2=k_{21} \alpha_1+k_{22} \alpha_2+\cdots+k_{2 r} \alpha_r, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\beta_s=k_{s 1} \alpha_1+k_{s 2} \alpha_2+\cdots+k_{s r} \alpha_r .
\end{gathered}
$$

以 $l_1, l_2, \cdots, l_s$ 分别乘上面的第 $1,2, \cdots, s$ 个等式，然后相加起来，得

$$
\begin{aligned}
\gamma=\sum_{i=1}^s l_i \beta_i= & \left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i 1}\right) \alpha_1+\left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i 2}\right) \alpha_2+\cdots \\
& +\left(\sum_{i=1}^s l_i k_{i s}\right) \alpha_r
\end{aligned}
$$

即 $\gamma$ 可被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示。
向量组线性等价的概念具有下列三条基本性质：
1）反身性：每个向量组和它自身线性等价；
2）对称性：如果（I）和（II）线性等价，则（I）与（I）线性等价；
3）传递性：如果（I）和（II）线性等价，（II）和（II）线性等价，则（I）和（III）线性等价。

性质1），2

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