最后更新: 2025-09-04 18:21 查看: 84 次纠错评论(0) 课件开VIP

向量组的线性相关与线性无关

## 1．向量组的线性相关与线性无关
为了深入讨论线性方程组，我们在上面引进了数域 $K$ 上的 $m$ 维向量空间 $K^m$ ．在下面将会看到，在线性方程组的理论中，齐次线性方程组处于核心的地位。在第一章§3，我们指出：齐次线性方程组所要讨论的基本课题，是它有无非零解。这个基本课题转化到 $K^m$ 中来，就是如下一个重要的概念。

定义 给定 $K^m$ 中一个向量组

$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right], \quad \alpha_2=\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right], \cdots, \alpha_s=\left[\begin{array}{c}
a_{1 s} \\
a_{2 s} \\
\vdots \\
a_{m s}
\end{array}\right],
$$

如果齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 s} x_s=0, \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 s} x_s=0, \\
\quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m s} x_s=0
\end{array}\right.
$$

有非零解，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ **线性相关**；如果齐次线性方程组 （3）只有零解，则称此向量组**线性无关**．

在第一章§ 3 中已指出可用矩阵消元法来判断一个齐次线性方程组有无非零解，现在我们可以把它用于判断一个向量组是线性相关还是线性无关。这就是说，如果我们以所给的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$作为列排成一个矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_s
\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 s} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m s}
\end{array}\right] \text {, }
$$

它就是齐次线性方程组（3）的系数矩阵，只要对它作消元运算，把它化为阶梯形就可以了。

`例1.2` 给定 $K^5$ 内向量组

$$
\begin{array}{ll}
\alpha_1=(7,0,0,0,0), & \alpha_2=(-1,3,4,0,0) \\
\alpha_3=(1,0,1,1,0), & \alpha_4=(0,0,1,1,-1) .
\end{array}
$$

判断它们是否线性相关．
解 把它们坚起来排成一个 $5 \times 4$ 矩阵

$$
A=\left[\begin{array}{rrrr}
7 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

用矩阵消元法把 $A$ 化为阶梯形：

$$
\begin{aligned}
A & \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
7 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
7 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right] \\
& \rightarrow\left[\begin{array}{rrrr}
7 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
最后的阶梯形矩阵对应的齐次线性方程组显然只有零解，故以 $A$ 为系数矩阵的齐次线性方程组也只有零解，即 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。

在上面的定义中，如果 $s>m$ ，则齐次线性方程组（3）中未知量个数 $s>$ 方程个数 $m$ ，按第一章命题 3.2 ，它必有非零解，从而不必作矩阵消元法即可判断向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关．

前面已指出：数域 $K$ 上的线性方程组等价于 $K^m$ 内的向量方程．把齐次线性方程组（3）改写成 $K^m$ 内的向量方程，就是

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_s \alpha_s=0
$$

所以 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关就等价于存在 $K$ 内一组不全为零的数 $k_1$ ， $k_2, \cdots, k_s$ ，使

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0 .
$$

于是我们得到向量组线性相关与线性无关的第一个等价定义。

>定义 给定 $K^m$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 。如果存在 $K$ 内不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使$k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0$ 则称向量组线性相关．否则称为线性无关．

这个定义比起前面的定义来，是变抽象了，因为它完全没有具体涉及到 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 中每个向量的分量。正因为如此，它具有更大的普遍性，在第四章中我们就会看到这一点．

`例1.3` 给定 $K^4$ 内向量组

$$
\alpha_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right], \quad \alpha_2=\left[\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3 \\
1
\end{array}\right] .
$$

判断它是否线性相关。
解 考查向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
-x_1 \\
0 \\
2 x_1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
2 x_2 \\
-x_2 \\
3 x_2 \\
x_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
x_1+2 x_2 \\
-x_1-x_2 \\
3 x_2 \\
2 x_1+x_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right] .
$$

两向量相等，则分量相同，故得

$$
x_1+2 x_2=0, \quad-x_1-x_2=0, \quad 3 x_2=0, \quad 2 x_1+x_2=0 .
$$

显然有 $x_1=0, x_2=0$ ．即不存在不全为零的数 $k_1, k_2$ ，使 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2=$ 0 ．于是 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关．
从例1．3看出：可以把线性相关与线性无关的定义换一种说法，这就是第二个等价定义。

> 定义 给定 $K^m$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 。如果由 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0$
必定推出 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ ，则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关。否则称为线性相关。

这个定义的逻辑结构比前两个定义复杂，比较难于掌握。正确地理解和运用这个定义的关键是记住：＂由

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

必定推出 $k_1=k_2=\cdots=k_s=0$ ．＂这句话等价于向量方程

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_s \alpha_s=0
$$

只有零解．
向量组线性相关与线性无关还有第四种说法，我们用命题的形式叙述出来．

> 命题1.2 $K^m$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geqslant 2)$ 线性相关的充分必要条件是其中存在一个向量能被其余向量线性表示．

证 分两方面证明它．
必要性 由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关推断有一个向量能被其余向量线性表示。

因为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，故存在一组不全为零的数 $k_1, k_2$ ， $\cdots, k_s$ ，使

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_s \alpha_s=0
$$

设 $k_i \neq 0$ ．于是

$$
\begin{aligned}
& k_i \alpha_i=-k_1 \alpha_1-\cdots-k_{i-1} \alpha_{i-1}-k_{i+1} \alpha_{i+1}-\cdots-k_s \alpha_s, \\
& \alpha_i=-\frac{k_1}{k_i} \alpha_1-\cdots-\frac{k_{i-1}}{k_i} \alpha_{i-1}-\frac{k_{i+1}}{k_i} \alpha_{i+1}-\cdots-\frac{k_s}{k_i} \alpha_s .
\end{aligned}
$$

即 $\alpha_i$ 能被 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_s$ 线性表示．
充分性 设有某 $\alpha_i$ 能被 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_s$ 线性表示，推出 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关．

设
$$
\alpha_i=k_1 \alpha_1+\cdots+k_{i-1} \alpha_{i-1}+k_{i+1} \alpha_{i+1}+\cdots+k_s \alpha_s .
$$

移项，得

$$
k_1 \alpha_1+\cdots+k_{i-1} \alpha_{i-1}+(-1) \cdot \alpha_i+k_{i+1} \alpha_{i+1}+\cdots+k_s \alpha_s=0 .
$$

于是有一组不全为零的数：$k_1, \cdots, k_{i-1}, k_i=-1, k_{i-1}, \cdots, k_s$ 使

$$
k_1 \alpha_1+\cdots+k_{i-1} \alpha_{i-1}+k_i \alpha_i+k_{i+1} \alpha_{i+1}+\cdots+k_s \alpha_s=0,
$$

故 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关．
推论 如果 $K^m$ 内向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geqslant 2)$ 中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组线性无关。

单由一个向量 $\alpha$ 组成的向量组线性相关的充分必要条件是有 $K$内非零数 $k$ ，使 $k \alpha=0$ ，而这显然与 $\alpha=0$ 等价．反之，若 $\alpha \neq 0$ ，则它组成的向量组线性无关。

`例1.4` 给定 $K^m$ 内向量组 $\alpha, 0, \beta$ ，此向量组线性相关。这是因为：取

$$
k_1=0, k_2=1, k_3=0
$$

这是不全为零的一组数．我们有

$$
k_1 \alpha+k_2 \cdot 0+k_3 \beta=0 \cdot \alpha+1 \cdot 0+0 \cdot \beta=0 .
$$

从例1．4立刻可以看出，一个向量组中如包含有一个零向量，那么它必线性相关。

`例1.5`给定 $K^m$ 内向量组 $\alpha,-\alpha, \beta$（其中 $\alpha, \beta$ 为任意两个同维数的向量），此向量组线性相关．这是因为：取

$$
k_1=1, k_2=1, k_3=0
$$

这是一组不全为零的数，有

$$
k_1 \alpha+k_2(-\alpha)+k_3 \beta=\alpha+(-\alpha)+0 \cdot \beta=0 .
$$

`例1.6` $ K^m$ 内向量组 $k \alpha, \alpha, \beta$ 线性相关。因为其中第1个向量能被其余两个向量线性表示

$$
(k \alpha)=k \cdot \alpha+0 \cdot \beta .
$$

最后再来举一个重要的例子。

`例1.7` 给定 $K^n$ 中如下 $n$ 个向量：
$$
\begin{aligned}
\varepsilon_1 & =(1,0,0, \cdots, 0), \\
\varepsilon_2 & =(0,1,0, \cdots, 0), \\
\cdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\varepsilon_n & =(0,0, \cdots, 0,1),
\end{aligned}
$$

称之为数域 $K$ 上 $n$ 维向量空间的 $n$ 个坐标向量。我们来证明 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ ， $\cdots, \varepsilon_n$ 线性无关。若

$$
k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+\cdots+k_n \varepsilon_n=0,
$$

则因为

$$
k_1 \varepsilon_1+k_2 \varepsilon_2+\cdots+k_n \varepsilon_n=\left(k_1, k_2, \cdots, k_n\right)=0,
$$

故必有 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ ，因而向量组 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n$ 线性无关．

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